备考2024届高考数学一轮复习讲义第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值

第3讲导数与函数的极值、最值课标要求命题点五年考情命题分析预测借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.导函数图象的应用该讲一直是高考的重点和难点.基本考法为求极值、最值，已知函数极值、最值求参数值（或范围），难度中等；综合考法为通过研究函数的性质解决不等式、零点、极值点偏移等问题，更突出应用，难度偏大.预计2025年高考命题常规，在复习备考时，要会构造函数，进而通过研究新构造函数的性质，数形结合解决问题.利用导数研究函数的极值2023新高考卷ⅡT11；2023新高考卷ⅡT22；2023全国卷乙T21；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T10；2021全国卷乙T20；2019全国卷ⅠT20利用导数研究函数的最值2022新高考卷ⅠT22；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T6；2021新高考卷ⅠT15；2019全国卷ⅢT201.函数的极值条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0x0附近的左侧f'（x）①＜0，右侧f'（x）②＞0图象极值f（x0）为极大值③f（x0）为极小值极值点x0为极大值点x0为④极小值点极小值点和极大值点统称为⑤极值点，极小值和极大值统称为⑥极值.易错警示（1）极值点不是点，若函数f（x）在x＝x1时取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）.（2）极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.（3）有极值的函数一定不是单调函数.（4）导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.2.函数的最大（小）值如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.辨析比较函数极值与最值的区别与联系极值最值区别（1）极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得；（2）在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有.（1）最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；（2）最值（最大值或最小值）最多有一个.联系（1）极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处必定是极值；（2）在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f（x）若有唯一的极值，则这个极值就是最值.1.[易错题]下列说法正确的是（C）A.函数的极大值比极小值大B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的C.函数的最大值不一定是极大值，极大值也不一定是最大值D.f'（x0）＝0是x0为可导函数y＝f（x）的极值点的充分不必要条件解析对于A，由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大；对于B，函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值不一定；对于C，由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D，在函数的极值点处f'（x0）＝0，但是使f'（x0）＝0成立的x0未必是极值点，如当x0为定义域的左右端点时f'（x0）可以等于0，但此时x0不是极值点.2.设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则下列结论一定正确的是（D）A.∀x∈R，f（x）≤f（x0） B.－x0是y＝f（－x）的极小值点C.－x0是y＝－f（x）的极小值点 D.－x0是y＝－f（－x）的极小值点解析极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上f（x0）是否最大，故A错误；因为函数f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，所以－x0是y＝f（－x）的极大值点，故B错误；因为函数f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是y＝－f（x）的极小值点，而－x0是否为y＝－f（x）的极小值点不确定，故C错误；因为函数f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，所以－x0是y＝－f（－x）的极小值点，选项D正确.3.[2024辽宁省部分学校联考]函数f（x）＝（－2x＋4）ex在区间[1，＋∞）上的最大值为2e.解析f'（x）＝（－2x＋2）ex，当x∈[1，＋∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2e.4.若函数f（x）＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是（－∞，－6）∪（6，＋∞）.解析由已知，得f'（x）＝3x2－2ax＋2.因为函数f（x）有极值，所以f'（x）＝0有变号零点，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞6或a＜－6，所以实数a的取值范围为（－∞，－6）∪（6，＋∞）.研透高考明确方向命题点1导函数图象的应用例1（1）[浙江高考]函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（D） A B C D解析根据题意，已知导函数的图象与x轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数f（x）在这些零点处取得极值，根据f（x）有两个极小值和一个极大值可排除A，C；记导函数f'（x）的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上f'（x）＜0，在（x1，x2）上f'（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，由x2＞0排除B.故选D.（2）[多选/2024陕西省汉中市联考]设f'（x）是函数f（x）的导函数，y＝f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（BC）A.函数一定有三个零点B.函数一定有三个极值点C.函数有最小值D.函数图象一定经过坐标原点解析易知函数f（x）在（－∞，0），（1，2）上单调递减，在（0，1），（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）一定有三个极值点0，1，2，B正确；函数f（x）有最小值，为f（0），f（2）中的较小者，C正确；函数f（x）的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0，A错误；函数f（x）的图象不一定过原点，D错误.故选BC.方法技巧根据函数图象判断极值的方法（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点.（2）由y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性，进而求得极值（点）.注意要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.训练1[多选]已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（AB）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（e）＜f（d）＜f（c）C.x＝c时，f（x）取得最大值D.x＝d时，f（x）取得最小值解析由f'（x）的图象可知，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（c，e）时，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减.对于A，因为a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；对于C，由单调性知f（c）为极大值，当x＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；对于D，由单调性知f（e）＜f（d），D错误.命题点2利用导数研究函数的极值角度1求函数的极值例2[全国卷Ⅱ]若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（A）A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1解析因为f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f'（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，将x＝－2代入解得a＝－1，所以f'（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f'（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f'（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值＝f（1）＝－1，故选A.方法技巧求可导函数f（x）的极值的步骤（1）确定函数的定义域，求导数f'（x）；（2）求方程f'（x）＝0的根；（3）判断f'（x）在方程f'（x）＝0的根附近的左右两侧的符号；（4）求出极值.角度2已知函数的极值（点）求参数例3（1）[多选/2023新高考卷Ⅱ]若函数f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（A.bc＞0 B.ab＞0C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0解析因为函数f（x）＝alnx＋bx＋cx2（a≠0），所以函数f（x＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2+8ac>0（2）[开放题/2023北京市第五十五中学4月调研]已知函数f（x）＝（x－a）（x－3）2（a∈R），当x＝3时，f（x）有极大值.写出符合上述要求的一个a的值：4（答案不唯一，满足a＞3即可）.解析由题意得，f'（x）＝（x－3）2＋（x－a）×2（x－3）＝（x－3）（x－3＋2x－2a）＝（x－3）（3x－2a－3），令f'（x）＝0，解得x＝3或x＝2a当2a+33＞3，即a＞3时，f（x）在（－∞，3）上单调递增，在（3，2a+33）上单调递减，所以f（x所以a＞3，a可取4，故答案为4（答案不唯一，满足a＞3即可）.方法技巧已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值以及极值点处导数为0列方程（组），利用待定系数法求解.验证因为f'（x0）＝0不是x0为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.注意若函数y＝f（x）在区间（a，b）上存在极值点，则y＝f（x）在（a，b）上不是单调函数，即函数y＝f'（x）在区间（a，b）内存在变号零点.训练2（1）[多选]曲线f（x）＝a（x＋1）ex在点（－1，f（－1））处的切线方程为y＝1ex＋b，则下列说法正确的是（ACA.a＝1，b＝1e B.f（x）的极大值为C.f（x）的极小值为－1e2 D.f（解析依题意，f'（x）＝aex＋a（x＋1）ex＝（ax＋2a）ex，f'（－1）＝ae－1＝1e，解得a＝1，所以f（x）＝（x＋1）ex，f'（x）＝（x＋2）ex.又f（－1）＝0，所以1e×（－1）＋b＝0，所以b＝1e，故A正确.令f'（x）＝0，解得x＝－2，当x∈（－∞，－2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（－∞，－2）上单调递减；当x∈（－2，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（－2，＋∞）上单调递增.所以当x＝－2时，函数f即f（－2）＝－1e2，f（x）的极大值不存在，故B，D错误，C正确.（2）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝4，b＝－11.解析f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意，得f'(1）=0，f（1）=10，即2a＋b+3=0，a2＋a＋b+1=10，解得a=4，b＝－11或a＝－3，b=3.当a＝4，b＝－11时，f'（x）＝3x2－3，b＝3时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2，在x＝1附近的左右两侧，恒有f'（x）＞0，不变号，此时函数f（x）在x＝1处无极值.综上，a＝4，b＝－11.命题点3利用导数研究函数的最值角度1求函数的最值例4[2022全国卷乙]函数f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（D）A.－π2，π2 B.－3C.－π2，π2＋2 D.－3π2解析由f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1，x∈[0，2π]，得f'（x）＝－sinx＋sinx＋（x＋1）cosx＝（x＋1）cosx.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去）或x＝π2或x＝3因为f（π2）＝cosπ2＋（π2＋1）sinπ2＋1＝2＋π2，f（3π2）＝cos3π2＋（3π2＋1）sin3π2＋1＝－3π2，又f（0）＝cos0＋（0＋1）sin0＋1＝2，f（2π所以f（x）max＝f（π2）＝2＋π2，f（x）min＝f（3π2）＝－方法技巧求函数f（x）在[a，b]上的最值的方法（1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（递减），则f（a）为最小（大）值，f（b）为最大（小）值；（2）若函数f（x）在区间（a，b）内有极值，则要先求出函数在（a，b）内的极值，再与f（a），f（b）比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；（3）函数f（x）在区间（a，b）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.角度2已知函数的最值求参数例5[全国卷Ⅲ]已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b.（1）讨论f（x）的单调性.（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.解析（1）对f（x）＝2x3－ax2＋b求导，得f'（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝a3若a＞0，则当x∈（－∞，0）∪（a3，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（0，a3）时，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，0）和（a3，＋∞）上单调递增，在（0，若a＝0，则f（x）在R上单调递增.若a＜0，则当x∈（－∞，a3）∪（0，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（a3，0）时，f'（x）＜0.故f（x）在（－∞，a3）和（0，＋∞）上单调递增，在（a3（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a＜0时，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b，所以b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝0，b＝－1，与a＜0矛盾，所以a＜0不存在.（ii）当a＝0时，由（1）知，f（x）在[0，1]上单调递增，所以由f（0）＝－1，f（1）＝1得a＝0，b＝－1.（iii）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，a3）上单调递减，在（a3，1）上单调递增，所以f（x）在[0，1]上的最小值为f（a3）＝－a327＋b＝－1，最大值为f（f（1）＝2－a＋b.若－a327