备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第8讲函数模型的应用

第8讲函数模型的应用课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.利用函数图象刻画实际变化过程2022北京T7；2020北京T15本讲主要考查实际情境载体下的数学模型的构建及应用，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式综合命题，各种题型均有可能，属中档题.在2025年高考备考的过程中要注重对情境创新试题的训练，并能构建模型解决问题.已知函数模型求解实际问题2023新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T4；2020新高考卷ⅠT6；2020全国卷ⅢT4构造函数模型求解实际问题1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0指数函数模型f（x）＝abx＋c（a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）对数函数模型f（x）＝mlogax＋n（m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）幂函数模型f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）对勾函数模型f（x）＝ax＋bx（a＞0，b＞02.指数、对数、幂函数模型性质的比较y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越①快越来越②慢随n值变化而各有不同图象的变化随x的增大逐渐表现为与③y轴平行随x的增大逐渐表现为与④x轴平行随n值变化而各有不同联系存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax1.下列说法正确的是（D）A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大B.幂函数增长比一次函数增长更快C.某种商品进价为每件100元，按进价增加10％后出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利D.在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度会超过并远远大于y＝xα（α＞0）的增长速度2.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（B）A.f（x）＞g（x）＞h（x） B.g（x）＞f（x）＞h（x）C.g（x）＞h（x）＞f（x） D.f（x）＞h（x）＞g（x）3.[2021全国卷甲]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（1010≈1.259）（CA.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解析由题可知，4.9＝5＋lgV⇒lgV＝－0.1⇒V＝10－110＝11010≈4.[2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（C）A.y＝log0.95x B.y＝log0.995x C.y＝log1.005x D.y＝log1.05x解析由题意得x＝（1＋51000）y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x，故选研透高考明确方向命题点1利用函数图象刻画实际变化过程例1[北京高考]为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－f（b）－f（a）b－a给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是①②③.解析由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在t2时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.方法技巧判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法（1）构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.训练1[多选/2023江西省宜春市模拟]周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ABD）A.乙的速度为300米/分B.25分钟后甲的速度为400米/分C.乙比甲晚14分钟到达B地D.A，B两地之间的路程为29400米解析因为乙比甲早出发5分钟，由题图知乙的速度为15005＝300（米/分），故选项A正确；设甲的原速度为v，由题图可知25×300－（25－5）v＝2500，解得v＝250米/分，所以25分钟后甲的速度为250×85＝400（米/分），故选项B正确；根据题图知，当x＝86时，甲到达B地，此时乙距离B地还有250×20＋400×（86－25）－300×86＝3600（米），3600300＝12（分），所以乙比甲晚12分钟到达B地，故选项C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，A，B两地之间的路程为300×（86＋12）＝29400（米），故选项D正确命题点2已知函数模型求解实际问题例2（1）[2024武汉部分学校调考]某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30％，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（C）A.49％ B.51％ C.65.7％ D.72.9％解析当t＝2时，（1－30％）N0＝N0e－2k，所以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.当t＝6时，N＝N0e－6k＝N0（e－2k）3＝0.73N0＝0.343N0，所以前6（2）[多选/2023新高考卷Ⅰ]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ACD）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2解析由已知，知60≤20×lgp1p0≤90，解得1000p0≤p1≤1000010P0；50≤20×lgp2p0≤60，解得10010p0≤p2≤1000p0；20×lgp3p0＝40，解得p3＝100p0.易知A，C正确.10p3＝1000p0≥p2，故B错误.100p2≥1000010p方法技巧已知函数模型求解实际问题的步骤（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练2[2024贵州黔东南模拟]已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式y＝ax－10－2x＋100，其中10＜x＜55，a为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润最大为（A.1500元 B.1200元C.1000元 D.800元解析将x＝15，y＝110代入y＝ax－10－2x＋100，得a＝200.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润为g（x）＝（x－10）（200x－10－2x＋100）＝－2x2＋120x－800＝－2（x－30）2＋1000，其中10＜x＜55，所以当x命题点3构造函数模型求解实际问题例3（1）[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（A）A.10 B.9 C.8 D.7解析设经过n层PP棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为y，则y＝80×（1－13）n＝80×（23）n，令80×（23）n≤2，解得（23）n≤140，两边取常用对数得nlg23≤lg140，即nlg32≥lg40，即n（lg3－lg2）≥1＋2lg2.因为lg2≈0.301，lg3≈0.477，所以（0.477－0.301）n≥1.602，解得n≥9.102，因为n∈（2）[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收费8元（起步价），超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案二：3千米及3千米以内收费12元（起步价），超过3千米不超过10千米的部分每千米收费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正确的是（C）A.方案二比方案一更优惠B.乘客甲打车行驶4千米，他应该选择方案二C.乘客乙打车行驶12千米，他应该选择方案二D.乘客丙打车行驶16千米，他应该选择方案二解析设乘客打车行驶x千米，f（x）为按照方案一收费的费用，g（x）为按照方案二收费的费用，[x]为不超过实数x的最大整数，则f（x）＝8g（x）＝12对于A，当x＝1时，f（1）＝8，g（1）＝12，此时选择方案一更优惠，所以A错误；对于B，因为f（4）＝14，g（4）＝14.5，f（4）＜g（4），所以乘客甲应选择方案一，所以B错误；对于C，因为f（12）＝38，g（12）＝36.5，f（12）＞g（12），所以乘客乙应选择方案二，所以C正确；对于D，因为f（16）＝50，g（16）＝50.5，f（16）＜g（16），所以乘客丙应选择方案一，所以D错误.故选C.方法技巧构建函数模型解决实际问题的步骤（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.训练3[2024江苏省江都中学、仪征中学联考]网店模式和实体店模式各有特色，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x（单位：万件）与投入实体店体验安装的费用t（单位：万元）之间满足