2022年东北四市一模试题高考冲刺模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.若双曲线E：__匕（。＞0力＞0）的一个焦点为尸（3,0）,过/点的直线/与双曲线E交于A、8两点,

/b2

且AB的中点为P（-3,-6）,则£的方程为（）

2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l-x)},则4n5=()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1)

3.sin80°cos50°+cos140°sin10°=()

1D.1

A.B.V3c.——

2V22

4.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）

5.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天

数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是（）

发芽所需天数1234567>8

种子数43352210

A.2B.3C.3.5D.4

Z-2020+3Z.

6.若2=:--------,贝N!|Iz的虚部是（)

1+z

A.iB.2iC.-1D.1

7.已知集合A={2,3,4},集合3={m,加+2},若AD8={2},则〃z=()

A.0B.1C.2D.4

x+y-l>0

8.已知实数x，y满足不等式组《2x—y+420,则|3x+4y|的最小值为（

)

4x+y-4<0

A.2B.3

9.若2，">2">1,则()

mn

C.In(m-n)>0

11.空气质量指数AQ/是反映空气状况的指数，AQ/指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQ/

指数变化趋势，下列叙述错误的是（）

A.这20天中42/指数值的中位数略高于100

B.这20天中的中度污染及以上（42/指数>150）的天数占!

C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

12.设S={x|2x+l>0},T={x|3x-5<0},则S?T()

B.{x|x<-1},,5、.15、

A.0C.{x|x>—}D・{f-^1--<x<—}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，两个同心圆O的半径分别为2和0，A3为大圆。的一条直径，过点3作小圆。的切线交大圆于另一

点C,切点为M,点P为劣弧BC上的任一点（不包括两点），则丽川丽+而）的最大值是

14.已知P为椭圆三+工=1上的一个动点，A（-2,l）,8（2,-1）,设直线AP和8P分别与直线x=4交于"，N

82

两点，若AABP与AMNP的面积相等，则线段。尸的长为.

15.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为.

x-y>0

16.已知实数x,j‘满足约束条件<x+y—440,则z=2%+'的最大值是.

y>\

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知等差数列｛二t的前〃项和为二一，且二；+二：=4，二=二才

:.：：求数列｛二7的通项公式；

;求数列.的前"项和二.

18.（12分）如图，在直三棱柱ABC—AB|G中，AB=BC=AAi=\,AC=6,点DE分别为AC和AG的中点.

(I)棱A4上是否存在点P使得平面PBO1平面钻£?若存在，写出处的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(D)求二面角A—BE—。的余弦值.

19.(12分)已知椭圆£「+与=l(a>b〉0)的左，右焦点分别为冗，F2,|片g|=2,M是椭圆E上的一个动

a~b~

点，且g的面积的最大值为由.

(1)求椭圆E的标准方程，

(2)若4。,0),3(0/)，四边形A5CZ)内接于椭圆E,AB//CD,记直线AO,BC的斜率分别为人，自，求证：匕心

为定值.

20.(12分)已知函数/(x)=f-ainx-l(aeR)

(1)若函数/(x)有且只有一个零点，求实数”的取值范围；

(2)若函数g(x)=e*+x2一ex-/(x)-120对xe[l,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

33r

21.(12分)设/(x)=(a-4)log"x-----x+----(。〉0且。。1).

a-\a-\

(1)证明:当a=4时，lnx+/(x)W0；

(2)当时〃x)W0,求整数。的最大值.(参考数据：Zn2«0.69,/n3«1.10,Zn5«1.61,Zn7«1.95)

22.(10分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打

车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天

的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；

日平均气温(℃)642-2-5

网上预约订单数100135150185210

(D经数据分析，一天内平均气温xc与该出租车公司网约订单数y(份)成线性相关关系，试建立y关于x的回归

方程，并预测日平均气温为-7P时，该出租车公司的网约订单数；

(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于-5。(2,若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则

从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.

附：回归直线夕=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

,Z（七一了）（外一歹）£x/一欣•9_

b=-...-----------------=--------------、&=y-bx

22

£（七一元）2Jx,-nx

i=li=l

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

求出直线/的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组,

求得的值，即可得到答案.

【详解】

由题意，直线/的斜率为％=即「=咨=1,

可得直线/的方程为>=尤一3,

22

把直线/的方程代入双曲线二一与=1,可得S2—a2）x2+6a2x—9/—a%2=o,

ah

设4（和乂）,5*2，%），则％+工2，

a~-b~

由43的中点为网—3,-6）,可得半r=-6,解答/=2〃，

a-b~

又由/+〃=。2=9,即。2+2/=9，解得a=6,b=娓,

22

所以双曲线的标准方程为工-匕=1.

36

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关

系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

2.B

【解析】

求出集合8,利用集合的基本运算即可得到结论.

【详解】

由l-x>0,得X<1,则集合3={x|x<l},

所以，Ac3={—1,()}.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合8是解决本题的关键，属于基础题.

3.D

【解析】

利用10°=90°-80°,140'=90°+50°,根据诱导公式进行化简，可得sin80°cos50°—cos80°sin50°,然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

由80°=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10"=sin(90°-80)=cos10

cos140°=cos(90+50)=-sin50,

所以原式=sin80"cos500-cos80°sin50'=sin(80-50)

所以原式=5皿30。=，

2

故sin800cos500+cos140sin10--

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

4.D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为A,B,C,2本不同的数学书编号为。力，从中任意取出2本，所有的可能为:

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个，恰好都是数学书的只有"一种，.•.所求概率为尸=木.

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

5.C

【解析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.

【详解】

3+4

由图表可知，种子发芽天数的中位数为^-=3.5,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查中位数的计算，属基础题.

6.D

【解析】

通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：。+6的形式，即可得到复数的虚部.

【详解】

严2。+37__(l+3i)(l-i)_l+2z-3z2

由题可知z=2+i,

1+z―1+z—(l+z)(l-z)-—1-z2

所以z的虚部是1.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.

7.A

【解析】

根据帆=2或加+2=2,验证交集后求得机的值.

【详解】

因为AnB={2},所以加=2或加+2=2.当m=2时，人口8={2,4},不符合题意，当帆+2=2时，加=0.故选

【点睛】

本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.

8.B

【解析】

3

作出约束条件的可行域，在可行域内求z=3x+4y的最小值即为|3x+4），|的最小值，作y=-jx,平移直线即可求解.

【详解】

x+y-l>0

作出实数X，）'满足不等式组,2x-y+4Z0的可行域，如图（阴影部分）

4x+y-4<0

故Zmin=3xl+0=3，

即|3x+4y|的最小值为3.

故选：B

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题.

9.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2Hl>2">1=2°,：.m>n>0,故5正确；

而当，〃=!，〃=工时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数塞的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数募或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

10.C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

\c2cos2x2*+1c

・f(x)=coszx+---------=--------xcos2x,

2-J+12r+l

xcos(-2x)=-xcos2x=-/(%)»

/(r)=2~x-12x-l

函数/(x)为奇函数，

.,•排除选项A,B-,

又•.•当时，/(X)>(),

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

11.C

【解析】

结合题意，根据题目中的2()天的AQ/指数值，判断选项中的命题是否正确.

【详解】

对于A,由图可知20天的AQ/指数值中有10个低于10(),1()个高于10(),其中第10个接近100,第11个高于100,

所以中位数略高于10(),故A正确.

对于3,由图可知20天的AQ/指数值中高于150的天数为5,即占总天数的工，故3正确.

4

对于C,由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C错误.

对于O,由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质

量比中旬的空气质量好，故O正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.

12.D

【解析】

集合S,7是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可

【详解】

r={x|3x-5<0}=

则ScT=

故选。

【点睛】

本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4而-8

【解析】

以。为坐标原点，A8所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为）‘轴，建立平面直角坐标系，从而可得4（-2,0）、

8（2,0）,C（0,2）,然后利用向量数量积的坐标运算可得而7•（而+而）=12cos6-6+4sin6-2,再

根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

以。为坐标原点，所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为）'轴，

建立平面直角坐标系，

则A（-2,0）、B（2,0）,

由O8=2,OM=0,且

所以NBOM=45。，所以M（Ll）,即府=（3,1）

又QM平分BC,所以N8OC=9（T，则C（0,2）,

则jBP=(2cos^-2,2sin^),CP=(2cos0.2sin0-2),

所以而+方=(4cos9-2,4sin。-2),

所以府•(即+而)=12cos6—6+4sin6—2=VFS71^sin(9+e)—8

(.31)

=4VT5sin(9+0)—8,

所以府•（而+而）的最大值是49-8.

故答案为：4V10-8

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档

题.

107

14.

T-

【解析】

先设P点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出

来，从而可求得点P的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得

【详解】

如图，设P(%,%),—2\/2WX。<2>/2,瓯±±2,

由得

S^BP=5AMNP,Jp4||P8|sinZAP8=；|MH|NPkinNMPN,

|PA|\PN\|x+2||4-x|5

由smZAP3=smZMPNH°得网=两'，局0=扃'解0得/=屋

本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点

的横坐标表示.

【解析】

甲被选中，只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有C；种方法，从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有C；种方法，根

据公式即可求得概率.

【详解】

甲被选中，只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有C；种方法，从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有C；种方

注p1XC：2

'法'P=7T蓝

2

故答案为:1.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的计算，考查学生分析问题的能力，难度容易.

1

16.-

4

【解析】

令-3x+y=f,所求问题的最大值为2%,只需求出*,即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.

【详解】

作出可行域，如图

令—3x+y=f,则y=3x+f,显然当直线经过8(1,1)时，f最大，fi?max=-2,

故z=2-3x+'的最大值为2-2=—.

4

故答案为：

【点睛】

本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17-(1)1⑵13i;,

【解析】

二：先设出数列的公差为心结合题中条件，求出首项和公差，即可得出结果.

(2)利用裂项相消法求出数列的和.

【详解】

解：二：设公差为d的等差数列缶,'的前n项和为工，

且a?+aj=IO'S'=24-

则有:

a；+a；+2d=JO

4a2+—d=24

解得：a；=3，d=2,

所以:ir=2n+J

(2)由于：/=2n+J'

所以:Sj.=n-+2n*

则：

Sfifir+X2Sin+a

则：，

■=绰一/1彳+”・+白一击+'击)

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和

转化能力，属于基础题型.

311

18.(I)存在点P满足题意，且以==,证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取4a的中点为连接所，AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

30,平面ACG，即3D，A/，若能证明则可得证，可通过@2\加3及△A0F我们反推出点P对

应位置应在24==处，进而得证；

4

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,OF分别为X，V，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点P满足题意，且尸A

4

证明如下：

取AG的中点为尸，连接Eb,AF,DF.

则所〃A4〃A8,所以AFu平面

因为=。是AC的中点，所以3O_LAC.

在直三棱柱ABC—44a中，平面ABC,平面ACG，且交线为AC,

所以8。，平面ACC,所以LAE.

在平面ACG内，”=丝=3,ZPAD^ZADF=90°,

ADDF2

所以Rt/\PAD^Rt/\ADF,从而可得AFA.PD.

又因为PDcBD=D,所以平面P3D.

因为Abu平面ME,所以平面尸班)，平面ME.

(II)如图所示，以O为坐标原点，以DB,DC,£)F分别为X，Vz轴建立空间直角坐标系.

易知0(0,0,0),BQ,O,O\彳0,-日,0

所以而=_:,乎,0,通=膏,0),丽=(；,0,0).

设平面ABE的法向量为送=(x,y,z),则有

m-BE=——x-\---y+z=(),

'44取y=2,得而=卜26,2,->/5).

m-AB=-x-\----y=0.

22

同理可求得平面BDE的法向量为几=(0,4,-G).

inn8+311

则cos比叱丽飞2+4+3/16+3=后

由图可知二面角A—BE—。为锐角，所以其余弦值为号.

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

22

19.(1)土+二=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△加6弱的面积取得最大值

求出九c,即可得答案;

(2)根据题意可知A(2,0),B(0,上),因为AB//CD,所以可设直线CZ)的方程为

y=—3工+机(〃2/6),。(须,必),。(々,％)，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到4当的关系，再代入斜

率公式可证得上42为定值.

【详解】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，

当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，AMFR的面积取得最大值百.

c=\

所以＜gx2cxZ?=G,所以。=2,b=6

a2=〃+。2

故椭圆E的标准方程为上+汇=1.

43

(2)根据题意可知A(2,0),B(0忑),因为AB//CD,

所以可设直线CD的方程为y=--^-x+m(mW6),。(内,必)

，。(%2，办

22

-*----1-------11

43

由＜l9消去y可得6/-4百蛆+4m2-12=0,

V3

y----x+m

2

所以x+x-2"”,即X_2币mX.

/7IA।IA一3，R尸人|一人2

旦+

直线AO的斜率Z=y_

Xj—2%|一2

直线5c的斜率”_必一6_一/々+加一6

长2一—

所以

「公一产」故k他为定值.

（%j—2）X24

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，求解时注意坐标法的运用.

20.(1)(-oo,0]u{2}；(2)[0,+oo).

【解析】

-n/（’I）,再讨论

（1）求导得到/（外=工~^,讨论和a>0两种情况，计算函数的单调性，得至叮（X）而“

X

£=1,£<1,后〉1三种情况,计算得到答案.

（2）计算得至!|g'（x）=g+，—e,g〃（x）=e'-g,讨论aNO,a<0两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得

XX

到答案.

【详解】

r2r2-

(1)f(x)=x2-Inx-1,fr(x)=-----

x

①当。40时广。）>0恒成立，所以f（x）单调递增，因为/⑴=0,所以/（X）有唯一零点，即符合题意;

a

②当a>0时，令/'(x)=0,x

2

上单调递增，函数小心=/唱）。

上单调递减,+00

/

(i)当即J]=l,a=2,/(x)min=/(1)=0所以a=2符合题意,

(ii)当即聆<1,0<。<2时/胃〈/⑴=0，

122」

因为6吃+l—l=e7+l〉0,e^<1，

故存在x,e(e；4)，/(%)=/⑴=。所以0<a<2不符题意

(iii)当左〉l,a〉2时/($)>/⑴=0，

因为f(a—1)=(Q_if_Qln(a-1)-1=a(a—2-ln(a-1)),

设a-\—t>1,Q—2—ln(a—1)=/—1—Int,

所以"⑺=1—；>0,力⑺单调递增，即力⑺〉力(1)=0,/(a—1)>0,a-1>,

故存在％e(4,a—1),使得/(马)=/⑴=。，。>2,不符题意；

综上，。的取值范围为(7,0]U{2}。

(2)g(x)=alnx+e*-ex,g'(x)=@+e*-e,g"(x)="一二。

xx

①当a20时，g'(x)N0恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)2g(l)=0,

即a20符合题意；

②当。<0时，g"(x)>0恒成立，所以g'(x)单调递增，

.，八、八，八，、。a(l-ln(e-a))八

又因为g(D=a<0,g(ln(e-a)=--------«=——---------->0,

In(e-a)In(e-a)

所以存在与e(l,ln(e-a)),使得g'(x())=。，且当x€(1,不)时，g'(x)<0。

即g(x)在(1,%)上单调递减，所以g(x0)<g⑴=0,a<(),不符题意。

综上，”的取值范围为[0,+8).

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.

21.(1)证明见解析；(2)a=5.

【解析】

⑴将〃=4代入函数解析式可得/(幻=—%+1,构造函数g(x)=lnx-x+l,求得g'(x)并令g'(x)=O,由导函

数符号判断函数单调性并求得最大值，由g(x)"1ax=()即可证明g(x)<0恒成立，即不等式得证.

(2)对函数求导，变形后讨论当。>1时的函数单调情况：当(._4)(猛—1)13时,可知满足题意；将不等式化简后

Ina

构造函数g(a)=，2—5a+4-31na,a>l,利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为g(3),分别

依次代入检验g(3),g(4),g(5),g(6)…的符号，即可确定整数。的最大值；当(上4乂"-1)>3时不满足题意,因

为求整数。的最大值，所以0<。<1时无需再讨论.

【详解】

(1)证明：当。=4时代入/(x)可得/(x)=T+l,

令g(x)=lnx-x+l,XG(0,+OO),

则g'(x)=工一1二、^，

XX

令g'(x)=O解得x=l,

当xe(O,l)时g<x)>0,所以8(%)=111%-工+1在刀6(0,1)单调递增，

当xe(l,+oo)时g'(x)<0,所以g(x)=lnx—x+1在xe(l,+oo)单调递减，

所以g(*)max=g(l)=lnl—l+l=O,

则g(x)=lnx—x+1VO,即lnx+.f(x)W0成立.

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