微积分 第七版 课件 3.5 函数的最值

第五节

函数的最值本节学习目标0102能熟练计算可导函数的最值掌握可导函数极值的另一种判断方法掌握可导函数最值的判断方法03一、求可导函数极值另一种方法1.定理3.5已知点x0为可导函数f(x)的驻点,且二阶导数f″(x)在驻点x0处及其左右连续,那么:(1)如果二阶导数值f″(x0)<0,则驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(2)如果二阶导数值f″(x0)>0,则驻点x0为可导函数f(x)的极小值点3证:考虑驻点x0处及其左右很小范围内任意点x,由于二阶导数f″(x)连续,若二阶导数值f″(x0)≠0,根据§1.7连续函数性质3,则二阶导数f″(x)与二阶导数值f″(x0)同号.(1)由于二阶导数值f″(x0)<0,从而二阶导数f″(x)<0,说明一阶导数f'(x)单调减少.这意味着当点x从驻点x0的左方变化到右方时,一阶导数f'(x)逐渐减小,注意到可导函数f(x)在驻点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,因而这时一阶导数f'(x)变号,且从正号变化到负号,根据§3.3定理3.2,所以驻点x0为可导函数f(x)的极大值点;4(2)由于二阶导数值f″(x0)>0,从而二阶导数f″(x)>0,说明一阶导数f'(x)单调增加这意味着当点x从驻点x0的左方变化到右方时,一阶导数f'(x)逐渐增大,注意到可导函数f(x)在驻点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,因而这时一阶导数f'(x)变号,且从负号变化到正号,根据§3.3定理3.2,所以驻点x0为可导函数f(x)的极小值点.5例1求函数f(x)=x2e-x的极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x6令一阶导数f'(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.再计算二阶导数f″(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)'=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在驻点x=0处的二阶导数值f″(0)=2>07根据定理3.5,于是驻点x=0为极小值点;又得到在驻点x=2处的二阶导数值f″(2)=-2e-2<0根据定理3.5,于是驻点x=2为极大值点.所以函数f(x)=x2e-x的极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.这个结果与§3.4例5得到的结果是相同的.82.函数的最值点与极值点函数的最值点与极值点是不同的概念,不可混淆.极值点只能是给定区间内部的点,不能是给定区间的端点;而最值点可以是给定区间内部的点,也可以是给定区间的端点.一般情况下,最值点不一定是极值点,极值点也不一定是最值点,但在一定条件下,它们又有着紧密的联系.9可导函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点x0,且为极大值点,这时函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))左右很小范围内的曲线段当然向下延伸,又由于可导函数f(x)没有极小值,从而函数曲线y=f(x)不可能再向上延伸,只能继续向下延伸,因而唯一极大值f(x0)也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即唯一极大值点x0也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最大值点.10可导函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点x0,且为极小值点,这时函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))左右很小范围内的曲线段当然向上延伸,又由于可导函数f(x)没有极大值,从而函数曲线y=f(x)不可能再向下延伸,只能继续向上延伸。因而唯一极小值f(x0)也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最小值,即唯一极小值点x0也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最小值点.11二、函数的最值点判定综合上面的讨论,得到下面的定理.1.定理3.6已知可导函数f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)内只有一个极值点x0,那么:(1)如果点x0为极大值点,则唯一极大值点x0也为可导函数f(x)在区间I上的最大值点(2)如果点x0为极小值点,则唯一极小值点x0也为可导函数f(x)在区间I上的最小值点122.求函数的最值点步骤开区间内的可导函数不一定存在最大值或最小值,但若满足定理3.4的条件,则开区间内的可导函数存在最大值或最小值.在这种情况下,求可导函数f(x)在定义域内的最值的步骤如下:步骤1确定可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f'(x);13步骤3令一阶导数f'(x)=0,得到唯一驻点x0;步骤4计算二阶导数f″(x),判断二阶导数值f″(x0)的正负号,确定唯一驻点x0为唯一极大值点还是唯一极小值点,进而得到它为最大值点还是最小值点,计算最值点x0处的函数值f(x0)即为最值.14例2求函数f(x)=x2-8x+7在定义域内的最值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2x-8令一阶导数f'(x)=0,得到唯一驻点x=4.再计算二阶导数f″(x)=2它是常数.15当然,在唯一驻点x=4处也不例外,有二阶导数值f″(4)=2>0根据定理3.5,于是唯一驻点x=4为唯一极小值点,再根据定理3.6,这个唯一极小值点x=4也为最小值点.所以函数f(x)=x2-8x+7在定义域D=(-∞,+∞)内有最小值,最小值为f(4)=-9.16例3求函数f(x)=(1-x)ex在定义域内的最值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex令一阶导数f'(x)=0,注意到指数函数ex恒大于零,得到唯一驻点x=0.17再计算二阶导数f″(x)=-(ex+xex)=-(1+x)ex得到在唯一驻点x=0处的二阶导数值f″(0)=-1<0于是唯一驻点x=0为唯一极大值点,也为最大值点.所以函数f(x)=(1-x)ex在定义域D=(-∞,+∞)内有最大值,最大值为f(0)=1.18闭区间上的可导函数当然连续,根据§1.7连续函数性质1,它一定存在最大值与最小值.如何求出这个最大值与最小值?由于这个最大值与最小值一定在相应开区间内的极值点或两个端点处取得,又可导函数的极值点一定在驻点中产生,因而所求最大值与最小值一定在相应开区间内的驻点或两个端点处取得.19三、可导函数的最大值与最小值综合上面的讨论,求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:步骤1计算一阶导数f'(x),并令一阶导数f'(x)=0,求出可导函数f(x)在开区间(a,b)内的所有驻点;步骤2计算可导函数f(x)在这些驻点处的函数值,同时计算可导函数f(x)在两个端点处的函数值f(a),f(b);20特别地,若可导函数f(x)在开区间(a,b)内单调,则可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值分别在两个端点处取得.步骤3比较上述计算得到的函数值大小,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.21例4求函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间[-1,3]上的最大值与最小值.解:计算一阶导数f'(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一阶导数f'(x)=0,得到驻点x=-2,x=0及x=2,容易看出驻点x=0与x=2在开区间(-1,3)内,而驻点x=-2不在开区间(-1,3)内22再计算函数f