山东省济南育英中学2023年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

山东省济南育英中学2023年高一数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（）A.10 B.13C.15 D.202．已知函数，，如图所示，则图象对应的解析式可能是（）A. B.C. D.3．已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度5．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为A.1 B.2C.3 D.46．设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知函数若则的值为（）.A. B.或4C. D.或48．函数，对任意的非零实数，关于的方程的解集不可能是A B.C. D.9．设，则等于（）A. B.C. D.10．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B.C. D.11．已知则的值为（）A. B.2C.7 D.512．函数在的图象大致为A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是________14．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.15．将函数y=sin2x+π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的16．两条平行直线与的距离是__________三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．计算：（1）；（2）18．计算下列各式（式中字母均是正数）.（1）（2）19．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题问题：已知集合，（1）当时，求；（2）若________，求实数的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.21．已知函数，.（1）若角满足，求；（2）若圆心角为，半径为2的扇形的弧长为，且，，求.22．设函数，（1）求函数的值域；（2）设函数，若对，，，求正实数a的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、B【解析】如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52则|AC|·|BD|=，当时，|AC|·|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四边形ABCD面积的最大值为13故选B点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小2、C【解析】利用奇偶性和定义域，采取排除法可得答案.【详解】显然和为奇函数，则和为奇函数，排除A，B，又定义域为，排除D故选：C3、B【解析】由在上最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若，则函数在上单调递增，所以的最小值为，不合题意，则，要使函数在上的最大值为如果，即，则，解得，不合题意；若，即，则解得即，则如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，只有函数的图象开口向上，即当与）有一个交点时，方程有一个根，得，此时函数有二个不同的零点，要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，所以，即实数a的取值范围为故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题4、D【解析】化简得到，根据平移公式得到答案.【详解】；故只需向右平移个单位长度故选：【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于三角函数的变换的理解的掌握情况.5、B【解析】由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.【名师点睛】集合基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图6、D【解析】由题意，根据图象得到，，，，，推出.令，，而函数.即可求解.【详解】【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.7、B【解析】利用分段讨论进行求解.【详解】当时，，（舍）；当时，，或（舍）；当时，，；综上可得或.故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，侧重考查分类讨论的意识.8、D【解析】由题意得函数图象的对称轴为设方程的解为，则必有，由图象可得是平行于x轴的直线，它们与函数的图象必有交点，由函数图象的对称性得的两个解要关于直线对称，故可得；同理方程的两个解也要关于直线对称，同理从而可得若关于的方程有一个正根，则方程有两个不同的实数根；若关于的方程有两个正根，则方程有四个不同的实数根综合以上情况可得，关于的方程的解集不可能是．选D非选择题9、B【解析】由全集，以及与，找出与的补集，求出补集的并集即可【详解】，，则故选：B10、C【解析】先推导出函数的周期为，可得出，然后利用函数的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数是上的奇函数，且，，，所以，函数的周期为，则.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.11、B【解析】先算，再求【详解】，故选：B12、C【解析】当时,,去掉D;当时,,去掉B;因为，所以去A，选C.点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】根据题意解得：，得出，由此可得出实数的取值范围.【详解】根据题意解得：，由于“”是“”必要条件，则，.因此，实数的取值范围是：.故答案为：.14、2【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以考点：向量的坐标运算与向量夹角15、f【解析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案.【详解】函数y=sin2x+π得到y=sin再向右平移π4个单位，得到y=故最终所得到的函数解析式为：fx故答案为：fx16、【解析】直线与平行，，得，直线，化为，两平行线距离为，故答案为.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）；（2）.【解析】（1）根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，直接计算，即可得出结果；（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】（1）原式=（2）原式==18、（1）2；（2）.【解析】（1）利用对数的运算性质即得；（2）利用指数幂的运算法则运算即得.【小问1详解】；【小问2详解】.19、（1）（2）【解析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；【小问1详解】解：由，解得，所以，当时，，所以【小问2详解】解：若选①，则，所以，解得，即；若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即；若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即；20、（1）函数在区间上单调递增，证明见解析（2）函数为奇函数，在区间上的值域为【解析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.【小问1详解】在区间上单调递增，证明如下：，，且，有.因为，，且，所以，.于是，即.故在区间上单调递增.【小问2详解】的定义域为.因为，所以为奇函数.由（1）得在区间上单调递增，结合奇偶性可得在区间上单调递增.又因为，，所以在区间上的值域为.21、（1）（2）或【解析】（1）对已知式子化简变形求出，从而可求出的值，（2）先对化简变形得，再由可求出，再利用弧长公式可求得结果【小问1详解】∵，∴，∴.【小问2详解】∵∴，∴，∵，∴或.∴或.22、（1）；（2）.【解析】(1)由题可得，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由