河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高三下学期开学收心联考数学试题

2023—2024学年第二学期高三年级收心考试数学考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则为（）A.i B. C.7 D.13.已知，是第四象限角，则（）A. B. C. D.4.已知平面向量，.若，则（）A.或1 B. C.1 D.5.“”是“直线与曲线相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知，分别为双曲线的上、下焦点，过作与轴平行的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.7.若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（）A.4 B.3 C.2 D.18.已知直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，，，，，的中点分别为，，则直线被该球面截得的弦长为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列是公比大于1的等比数列，下面叙述正确的是（）A.当时，数列是递增数列 B.当时，数列是递减数列C.当时，数列是递增数列 D.当时，数列是递减数列10.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则（）A.四面体每组对棱互相垂直B.四面体每个面的面积相等C.从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°D.连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分11.已知函数，则（）A.的图象关于对称 B.的图象关于直线对称C.的最大值是3 D.的最小值是12.已知，，且，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为______.14.若函数是上的偶函数，则实数______.15.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为______.16.为了筛查出人群中感染某种病毒的个体，需要检测每个人的某种生物样本，检测结果若为阴性，说明人体未被感染，若为阳性，则需进一步做出医学判断.为提高检测效率，降低检测成本，可采用10人一组的混采检测方法：将10人的该种生物样本合入同一管中进行检测，若该管结果为阴性，则判断这10人均未被感染，若结果为阳性，则对该管中的每个人的样本分别进行单管检测.若按此方法进行检测，设待检人数为，其中感染该病毒的人数为.当时，检测的次数为______；当时，检测次数的估计值为______（结果取整数）.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求；（2）若，求的面积.18.（本题满分12分）为了研究体育锻炼对某年龄段的人患某种慢性病的影响，某人随机走访了200个该年龄段的人，得到的数据如下：慢性病体育锻炼合计经常不经常未患病10070170患病102030合计11090200（1）定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率与的值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析经常进行体育锻炼是否对患该种慢性病有影响.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小题满分12分）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小.20.（本题满分12分）如图，在矩形中，，.沿对角线折起，形成一个四面体，且.（1）是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大.21.（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为，且椭圆经过点.过右焦点作直线交椭圆于，两点，是直线上任意一点.（1）求的方程；（2）设直线，，的斜率分别为，，，证明.22.（本题满分12分）已知函数，为的导函数.（1）证明：；（2）设函数有两个极值点，.①求实数的取值范围；②证明：.

2023-2024学年第二学期高三年级收心考试数学参考答案1.C【解析】，则.故选：C.2.B【解析】，，.故选B.3.D【解析】，，是第二或第四象限角，∴.故选：D.4.B【解析】，，由解得，或，∵，∴.故选：B.5.C【解析】若直线与曲线相切，设切点为，则解得反之，若，可知直线与曲线相切.故选：C.6.B【解析】双曲线的渐近线方程为，，，.若为等边三角形，则，，∴，.故选：B.7.C【解析】由得可知和都是函数的零点，因为函数是单调递增函数，所以，.故选：C.8.A【解析】将直三棱柱扩展为一个正四棱柱，可求出球半径.球心到直线的距离为，则直线被该球面截得的弦长为.故选：A.9.AD【解析】当时，，数列是递增数列；当时，，数列是递减数列，故选：AD.10.BD【解析】A.四面体每组对棱不一定相互垂直，错误；B.四面体每个面都全等，面积相等，正确；C.从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°，错误；D.连接四面体每两组对棱中点组成菱形，对角线相互垂直平分，正确.故选：BD.11.BC【解析】令，，，.对，不恒成立，A错误；对，恒成立，B正确.故选：BC.12.BCD【解析】，在单调递增，在单调递减，在单调递增；，，因为，，，，注意到，所以.所以A错误，BCD正确.故选：BCD.13.0【解析】14.1【解析】由题意得函数是上的奇函数，则，∴.15.【解析】设圆的标准方程为，由，解得，∴圆的标准方程为.16.；25【解析】（1）待检人数为，需要先检测次，再检测结果为阳性的小组，10人检测10次，共需要检测次数为；（2）设检测次数为，则，23，33.，，，.17.【解析】（1）因为，，.所以，即，所以……3分于是.因为，所以……5分（2）由（1）可知，于是.根据正弦定理，，得，因此……8分故的面积……10分18.【解析】（1）……3分.……6分（2）将列联表中的数据代入公式计算得……10分根据小概率值的独立性检验，我们推断经常锻炼对患有某种慢性病有影响，此推断犯错误的概率不大于0.01……12分19.【解析】（1）由已知，所以……3分所以数列是首项为，公比的等比数列，所以，即……6分（2）已知，①当时，.当时，，②①-②得，也适合，所以……8分设函数，则函数是上的减函数，且，，所以当时，，即；当时，，即.因此，当时，；当时，.……12分20.【解析】（1）若，因为，，所以平面，所以.有，即，所以；若，因为，，所以平面，所以.有，即，所以，无解.故不成立.所以不存在，使得，同时成立.……4分（2）要使四面体的体积最大，因为的面积为定值，所以只需三棱锥的高最大即可，此时平面平面，过点作于点，则平面，以为原点分别以，为轴轴建立空间直角坐标系，则，，……6分显然平面的法向量为.设平面的一个法向量为，，由得得……9分取，得，，∴.∴，……11分所以二面角的正弦值为：.……12分21.【解析】（1）由已知得..把点代入椭圆的方程得.解得，.所以椭圆的方程为.……4分（2）当直线的斜率为0时，的方程：，不妨设，，，，，，，所以……6分当直线的斜率不为0时