数学建模讲义

Email:数学建模讲义1最优化模型

---线性规划

2参考书目1.薛定宇，陈阳泉。高等应用数学问题的matlab求解。清华大学出版社。2.陈宝林。最优化理论与算法。清华大学出版社.3.谢金星，薛毅。优化建模与lindo/lingo优化软件.清华大学出版社.3优化模型应用的广泛性（1）

系统分析，即生产计划和经营决策中的优化问题。例如：合理计划生产:运输，分配，布局，选址，指派，下料、配料等优化问题（linearprogramming）;合理开发（或配置）资源:可再生资源的持续开发,不可再生资源的优化配置（linearprogramming）合理运行设备:设备的最有运行（维修）方案.合理组合投资:追求最大受益、最小风险的投资组合方案（Multiobjectiveprogramming）4（2）工程设计和控制中的非线性分析（Non-linearprogrammingandoptimalcontrol）例如：结构系统最优设计（人字架设计）机械零件或部件的最优化设计(轮轴颈,凸轮设计)化工设备最优设计（单件或连锁设备优化设计）电力网络和水力网络的优化设计（平衡条件）5历届数模竞赛所涉及的优化问题：94年A题逢山开路（工程设计优化问题）目标：工程造价最低决策：在若干约束下选择一条最佳线路95年B题：天车调度问题（生产操作优化问题）目标：年钢产量最大决策：天车调度的最优方案设计96年A题：最优捕鱼策略（开发资源优化问题）目标：可持续捕捞的努力量及最大捕捞量决策：在平衡条件下确定五年内最佳捕捞方案697年A题：零件参数设计（产品参数优化设计）目标：产品总造价最低（产品质量损失费用零件制造成本费用）决策：零件参数的最佳水平组合方案98年A题：组合投资问题（风险决策优化问题）目标（二目标）：收益最大，风险最小决策：组合投资方案99年A题：自动化车床管理（排队-更新问题）目标：生产工序的效益（费用最低）最大决策：最佳检验间隔河刀具更换策略799年B题：钻井布局问题(生产计划优化问题)目标：最大限度利用初步、勘探时的旧井数决策：在规定精度的前提下确定系统勘探时的最佳网络分布02年A题：车灯线光源的优化设计目标：线光源的功率最小决策:在满足设计规范的条件下,计算线光源的长度B题：彩票中的数学目标：最大限度地吸引彩民积极购买彩票决策：在保证彩民和彩票公司的利益上如何设置最佳彩票方案8优化模型的一般形式x:决策变量f(x):目标函数gi(x)0:约束条件可行解：满足约束条件的解最优解：取得最值的可行解次优解：一个较满意的可行解可行集（域）：所有可行解组成的集合，9线性规划(LP)非线性规划(NLP)整数规划(IP)主要内容10线性规划1、两个引例。2、线性规划模型3、线性规划的性质。4、线性规划的主要算法。5、用数学软件包求解线性规划问题6、建模案例选讲：投资的收益与风险11例1：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解：设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：12故目标函数为：约束条件为：13线性规划模型：14某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？例2：任务分配问题15解：

设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：16线性规划的标准形式：2.线性规划的模型线性规划的模型结构：目标函数：约束变量：变量符号：目标函数：约束变量：变量符号：173.线性规划的性质18

线性规划是最优化方法发展最迅速，成就最大的一个分支，线性规划发展的爆炸时期是20世纪50年代至60年代，其奠基人应是苏联数学家Cantolovch和美国数学家G.B.Danfzig。

1947年Dantzig提出了轰动数学界的单纯形法，为求解多维线性规划问题提供了一般的有效的工具；

1950-1965年匈牙利的两位数学家H.W.Kuhn和A.W.Tucker建立了线性规划的对偶理论，为求结鞍点问题提供了数学工具，两位年轻的数学家建立了约束极值的最优形条件，称为K-T条件。为求解非线性规划奠定了理论基础；4.线性规划的算法19

1958年美国数学家R.E.Gomery提出整数规划的割平面法；

1960年RantzigandP.Wolfe研究成功线性规划的分解算法，该算法为求解大规模线性规划提供了强有力的工具；

1979年-1984年苏联数学家L.G.Khachiyan和美国数学家N.A.Karmarka先后提出并完成了线性规划的多项式算法轰动了整个数学界。20线性规划的主要算法单纯形法（1947年美国Dantzig）

修正单纯形法，对偶单纯形法。非多项式时间方法，对中小规模问题非常有效，应用广泛。椭球方法（1979年苏联L.G.Khachiyan）

多项式时间方法，理论价值高，不常用，效果不理想。时间复杂度为Karmarkar方法（1984美国N.A.Karmarka）

内点方法，多项式时间方法，理论价值高，有效，时间复杂度为，对大规模问题也十分有效.21单纯形法算法思想

从一个可行域的某个顶点出发（基本可行解）出发，转换到另一个更好的顶点（使目标函数值有所改善的基本可行解，通过不断改进基本可行解），最终达到目标函数最优的顶点(求得问题的最优解)。22

Karmarkar内点方法算法思想

通过射影变换把原问题转化为在球域上极小化另一个线性函数。求出问题在球域上的最优解后，再用逆变换将该解返回到原决策空间里去，从而得到原问题的近似解。重复以上过程，得到的点列在多项式时间内收敛于原问题的最优解.235.求解线性规划问题的算法软件Matlab

可以求解任意规模的线性规划问题。Lingo

可以求解任意规模的线性规划问题，特别是整数线性规划问题,但是不易得到功能强大的版本.24用MATLAB优化工具箱解线性规划1、模型：命令：x=linprog(c，A，b)2、模型：命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].253、模型：

命令：[1]x=linprog(c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB)[2]

x=linprog(c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,x0)注意：[1]若没有等式约束:,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中x0表示初始点264、命令：[x,fval]=linprog(…)返回最优解x及x处的目标函数值fval.注意：在linprog函数中，其中有一选择“largescale”，如果命令为“on”，则表示利用大规模的线性规划算法求解，如果命令为“off”，则表示利用中小规模的线性规划算法求解。求解大规模的线性规划利用的是Karmarkar内点方法，求解中小规模的线性规划利用的是一种修正的单纯形法27解:编写M文件xxgh1.m如下：

c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)28解:编写M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)29S.t.改写为：例3:问题一的解答30编写M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)31结果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。32例4:问题二的解答改写为：33编写M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%调用linprog函数：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)34结果为：x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9个一级检验员。注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解。35投资的收益和风险36二、基本假设和符号规定37二、基本假设和符号规定38三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}39三、模型的建立与分析404.模型简化：41四、模型1的求解

由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：42a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）43计算结果：44五、结果分析3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力