2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学模拟试卷及答案解析

2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

主视图左视图

△

俯视图

A.长方体B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

2.已知NA是锐角，tanA=l,那么/A的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

4.已知，如图，点A,B,C在00上，NA=72°,则NOBC的度数是（）

5.在平面直角坐标系中，点A,3坐标分别为（1,0）,（3,2）,连接48,将线段平移

后得到线段Ab,点A的对应点4坐标为（2,1）,则点片坐标为（）

A.（4,2）B.（4,3）C.（6,2）D.（6,3）

6.二次函数），=/+公+。的图象如图所示，若点A（0,yi）和B（-3,*）在此函数图象

上，则yi与”的大小关系是（）

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A.yi>y2B.y\<y2C.y\—y2D.无法确定

7.如图，将△AOB绕点。按逆时针方向旋转40°后得到若乙4OB=15°,则/

AO。的度数是()

8.如图所示，已知二次函数〉二疗+力什，的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,

对称轴为直线x=\.直线y=-x+c与抛物线y=ax1+bx+c交于C,D两点，D点在x轴

下方且横坐标小于3,则下列结论：①a-b+c<0；@2a+b+c>Q；③x(ax+b)Wa+b；

④a>-1.其中正确的有()

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.已知二次函数y=xi+bx+c的图象过点A(1,/«),B(3,〃z),则二次函数y=x1+hx+c

的对称轴是.

10.如图1,在平面直角坐标系中点A(2,0),B(0,1),以A8为顶点在第一象限内作正

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方形4BCD反比例函数yi=当(x>0)、*=§(x>0)分别经过C、。两点(1)如图

2,过C、。两点分别作x、y轴的平行线得矩形CE。凡现将点。沿»=§(x>0)的

图象向右运动，矩形CEQF随之平移；

①试求当点E落在川=勺(x>0)的图象上时点。的坐标.

②设平移后点力的横坐标为“，矩形的边CE与川=勺(尤>0),”=*(Q0)的图象

均无公共点，请直接写出a的取值范围.

11.如图，。。与正五边形ABCDE的两边AE,CQ分别相切于A,C两点，则/OC8的度

12.在RtZ\A8C中，ZC=90",如果/A=a,AB=3,那么AC等于.

13.已知在RtZXABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,0c与斜边AB相切，那么0C的

半径为.

14.在平面直角坐标系中，△ABC和△4'B'C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，

且点3(3,1),B'(6,2).若点A(2,3),则A'的坐标为.

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15.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A8,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40m,点

C是油的中点，且CQ=10m,则这段弯路所在圆的半径为m.

16.如图，抛物线丫=/+〃+2和抛物线）,=/-2x-2的顶点分别为点M和点N,线段MN

经过平移得到线段PQ，若点。的横坐标是3,则点P的坐标是,MN平移到尸Q

三.解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）

17.（5分）计算：sin30°+2cos60°Xtan600-sin2450.

1

18.（5分）如图,在RtzMBC中，ZC=90°,tanA=5，BC=2,求AB的长.

19.（5分）已知二次函数y=-2^-4犬+6.

（1）用配方法求出函数的顶点坐标；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接

写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

20.（5分）如图，已知在△ABC中，/A=90°,请用尺规作OP,使得圆心P在AC边上,

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且OP与AB,BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法）.

21.（5分）如图，A,B,C是。。上的点，sin44=*半径为5,求BC的长.

22.（5分）如图，水渠两边A8〃C£>,一条矩形竹排EFG”斜放在水渠中，NAE尸=45°,

NEG£>=105°,竹排宽EF=2米，求水渠宽.

四.解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

23.（6分）茶叶是安徽省主要经济作物之一.2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利

益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/依，并根据历年的相关数据整理出第x天（1

WxW15,且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如表.假定该茶

厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入=日销售额一日制

茶成本）.

制茶成本（元Jkg）150+1Ox

制茶量（kg）40+4尤

（1）求出该茶厂第10天的收入；

（2）设该茶厂第x天的收入为y（元），试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最

大值及此时x的值.

24.（6分）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，点力是半圆的中点，连接CD交

。8于点E,点F是AB延长线上一点，CF=EF.

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(1)求证：FC是。。的切线;

(2)若CF=5,tanA=*,求00半径的长.

25.(6分)如图，在△ABC中，N8AC=90°,ZB=60°,A8=2.ADJ_8c于。.E为

边BC上的一个(不与8、C重合)点，且AELEF于E,NEAF=NB,AF相交于点E

(1)填空：AC=；ZF=.

(2)当8£>=£>E时，证明：△ABC四△EAF.

(3)△EAF面积的最小值是.

(4)当的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围.

Ac*

BDEC

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A,将点A向右

平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

(1)①直接写出抛物线的对称轴是；

②用含。的代数式表示6;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.点A恰好为整点，若抛物线在点A,B之间的部

分与线段A8所围成的区域内(不含边界)恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出。

的取值范围.

五.解答题(共2小题，满分14分，每小题7分)

27.(7分)已知等边△ABC,点。为BC上一点，连接AO.

(1)若点E是AC上一点，且CE=BD,连接BE,BE与AO的交点为点P,在图(1)

中根据题意补全图形，直接写出/APE的大小；

(2)将AO绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接交AC于点。，在图(2)中根

据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CQ的数量关系，并证明.

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A

图1图2

28.(7分)对于平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)和点8(3,0),线段43和

线段A8外的一点P,给出如下定义：若45°WNAP8W90。时，则称点尸为线段AB的

可视点，且当出=PB时，称点P为线段AB的正可视点.

(1)①如图1,在点PM3,6),尸2(-2,-5),23(2,2)中，线段AB的可视点是；

②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点尸的坐标：.

(2)在直线y=x+8上存在线段AB的可视点，求〃的取值范围；

(3)在直线y=-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出，"的取值范围.

图1备用图

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2020-2021学年北京市昌平区九年级上学期期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A.长方体B.圆锥C.圆柱D.三棱柱

【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和

左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，

故选：D.

2.已知NA是锐角，tanA=l,那么/A的度数是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：:/A是锐角，tanA=l,

...NA的度数是:45°.

故选：C.

3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D.

4.已知，如图，点A,B,C在00上，NA=72°,则NO8C的度数是（）

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A.12°B.15°C.18°D.20°

【解答】解：根据圆周角定理得/BOC=2NA=2X72°=144°,

\"OB=OC,

：./OBC=NOCB,

1

:.NOBC=；(180°-144°)=18°.

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，点A,8坐标分别为(1,0),(3,2),连接AB,将线段AB平移

后得到线段A5,点A的对应点4坐标为(2,1),则点后坐标为()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

【解答】解：..工(1,0)平移后得到点4'的坐标为(2,1),

...向右平移1个单位，向上平移了1个单位，

：.B(3,2)的对应点坐标为(4,3),

故选：B.

6.二次函数y=7+bx+c的图象如图所示，若点A(0,yi)和8(-3,*)在此函数图象

上，则V与>2的大小关系是()

A.y\>yiB.y\<yiC.yi—yiD.无法确定

【解答】解：点4(0,yi)和B(-3,>2)在抛物线对称轴x=-2的两侧，且点4比

点8离对称轴要远，因此yi>中,

故选：A.

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7.如图，将△A08绕点。按逆时针方向旋转40°后得到△（%»£）,若NAO8=15°,贝叱

A。。的度数是（）

【解答】解：；将△408绕点。按逆时针方向旋转40°后得到△C。/）,

AZAOB=ZCOD=\5°,ZAOC=ZBOD=40Q,

：.ZAOD=ZAOB+ZBOD=55°,

故选：B.

8.如图所示，已知二次函数y=or2+w+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

对称轴为直线x=1.直线y=-x+c与抛物线y^ax2+bx+c交于C,。两点，D点在x轴

下方且横坐标小于3,则下列结论：①a-匕+c<0；@2a+b+c>0；③xCax+b）Wa+人；

@«>-1.其中正确的有（）

【解答】解：①由图象可知：抛物线的对称轴为x=l时,

.•.点（3,y）关于直线x=l对称的点为（-1,y）,

：x=3时，yVO,

*.x=-1,y<0

Aa-b+c<Of故①正确;

②令y=0代入y=-x+c,

，x=c,

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由图象可知：1VCV2,

由图象可知：——1,

2。+/?=0,

：.2a+b+c=c>0,故②正确；

③由图象可知：尸1时，y的最大值为a+8+c,

当x取全体实数时，aP+bx+cWa+b+c,

即无Cax+b)故③正确；

④联立LU，

化简得：tzx2+(b+1)x=0,

•*.x=0或x=-

即。的横坐标为一号，

由于b--2a,aVO,且-.'IV3,

*•-b-\>3a,

...”<-1,故④错误，

故选:B.

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.已知二次函数y—x^+bx+c的图象过点A(1,小)，B(3.m),则二次函数y=x1+bx+c

的对称轴是直线x=2.

【解答】解：•.•点A(1,朋)，B(3,m)的纵坐标相等，

两点关于抛物线的对称轴对称，

，抛物线的对称轴为：直线犬=导=2.

故答案为：直线x=2.

10.如图1,在平面直角坐标系中点A(2,0),8(0,1),以AB为顶点在第一象限内作正

方形ABCD.反比例函数yi=§(x>0)、*=§(x>0)分别经过C、。两点(1)如图

2,过C、O两点分别作x、y轴的平行线得矩形CEDF,现将点D沿*=号(x>0)的

图象向右运动，矩形CEQF随之平移；

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①试求当点E落在>-1="(x>0)的图象上时点D的坐标(4,1).

x2

②设平移后点力的横坐标为m矩形的边CE与yi=§(x>0),”=§(x>0)的图象

均无公共点，请直接写出。的取值范围4VaVg+l.

【解答】解：①如图，过点C、。分别作CMLy轴，ONLx轴，垂足为M、N,

由于ABCD是正方形，易证0△BMCgZXDVA(AAS)

：.OA=BM=DN=2,OB=AN=CM=\,

：.C(1,3),D(3,2)

・・,反比例函数yi=((x>0)>)?=§(x>0)分别经过C、£>两点,

•>21=1X3=3,七=3X2=6,

二・反比例函数yi=g(x>0)>y2=(x>0),

当点。沿”=§(x>0)的图象向右运动时，设点E(x,y),则点。(x+2,y)

由题意得：孙=3且(x+2)y=6,

解得：x=2,)=|，

3

・・・点。(4,-),

2

3

故答案为：(4,

2

②由①得，当。>4时，点E离开#=勺(40)、

当点C落到(x>0)时，设点。(x,y),则点C(%-2,y+1)

由题意得，xy=6且(x-2)(y+1)=6,

解得：X=V13+1,y=络工，(均取正值)

.,.4<a<V13+1.

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11.如图，。。与正五边形4BCOE的两边4E,8分别相切于A,C两点，则NOCB的度

【解答】解：：。。与正五边形ABCZJE的两边AE,C。分别相切于A,C两点,

J.OAVAE,OCLCD,

...NOAE=/OC£)=90°,

VZBCD=108°,

；.OC8=108°-90°=18°

故答案为18.

12.在RtZXABC中，NC=90°,如果乙4=a,AB=3,那么AC等于3cosa.

【解答】解：如图所示：ZA—a,AB=3,

ACAC

3。=而=方

故AC=3cosa.

故答案为：3cosa.

13.已知在RtZWBC中，NC=90°,AC=3,8c=4,G)C与斜边AB相切，那么OC的

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半径为_g_

【解答】解：RtZVlBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4；

由勾股定理，得：AB2=32+42=25,

."8=5；

又YAB是OC的切线，

：.CD±AB,

J.CD^rx

SMBC=^AC*BC=^AB'r,

...，=_至12'

故答案为：--

14.在平面直角坐标系中，△ABC和△/!'B'C'是以坐标原点。为位似中心的位似图形,

且点B(3,1),B'(6,2).若点A(2,3),则A'的坐标为(4,6)

【解答】解：△A8C和△△'B'C是以坐标原点。为位似中心的位似图形，点8(3,

1),B'(6,2),

则AABC和△?!'B'C的相似比为1：2,

•.•点A(2,3),

；.A'的坐标为(2X2,3X2),即(4,6),

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故答案为（4,6）.

15.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A8,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40w,点

C是油的中点，且CD=10〃?，则这段弯路所在圆的半径为25〃葭

：.AD^DB=20m,

在RtZXAOO中，OA1=OD2+AD2,

设半径为r得:尸=（r-10）2+2。2,

解得：r—25m,

,这段弯路的半径为25m

故答案为：25.

16.如图，抛物线y=/+2x+2和抛物线y=/-2x-2的顶点分别为点M和点M线段VN

经过平移得到线段PQ,若点。的横坐标是3,则点土的坐标是（1,5）,MN平移

【解答】解：如图，连接PM,QN,MQ、PN.

由y=7+2x+2=(x+1)2+1,y=/-2x-2=(x-1)2-3,知“(-i,i),N(1,-

3).

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:点。的横坐标是3,点。在抛物线y=f-2t-2上，

.R=32-2X3-2=1.

：.Q(3,1).

线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ.

...点P的坐标是(1,5),

J.PNLMQ,且PN与MQ相互平分，

平行四边形PMNQ是菱形.

一11

根据平移的性质知，S阴账部分=5菱形PMNQ=]PN・MQ=2x4X8—16.

三.解答题（共6小题，满分30分，每小题5分）

17.（5分）计算：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin245°.

【解答】解：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin245°

=1+2x|xV3-（^）2,

=V3.

18.（5分）如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,tan>4=BC=2,求A8的长.

【解答】解：・.•在RtaABC中，ZC=90°,

..BC1

''VdnA=AC=3-

•:BC=2,

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VAB2=AC2+BC2=40,

：.AB=2V10.

19.（5分）己知二次函数y=-*-4x+6.

（1）用配方法求出函数的顶点坐标；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接

写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.

【解答】解：（1）y=-2（尤+1）2+8,

二抛物线的顶点坐标为（-I,8）；

（2）当y=0时，-2（x+1）2+8=0,解得xi=l,X2=-3,抛物线y=-2A?-4x+6与

x轴的交点坐标为（1,0）,（-3,0）,

所以将抛物线y=-2/-4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点,

平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4,0）.

20.（5分）如图，已知在△ABC中，ZA=90°,请用尺规作。P,使得圆心P在AC边上，

且。尸与A8,BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法）.

【解答】解：如图所示，则OP为所求作的圆.

3fcH------fL--------4c

4

21.（5分）如图，A,B,C是。。上的点，sinA=*半径为5,求BC的长.

/--------

【解答】证明：方法I：连接OB,OC,过点。作OCBC,如图1

第17页共30页

A

D

图1图2

•OB=OC,且0D_L5C,

1

・ZBOD=ZCOD=寺/BOC,

1

*ZA=*3OC,

4

・N88=NA,sinA=sinZBO£>=^,

•在中，

•sin/-BOD=—百，

•OB=5,

BD4

・—=一，BO=4,

55

*BD=CD,

・5C=8.

方法H：作射线3。，交OO于点。，连接OC,如图2.

•・,3。为。。的直径，

：.ZBCD=90°，

:/BDC=NA,

4

,.sinA=sinZ5DC=^,

••在RtZiBOC中，

BC4

*.sinZBDC=丽=引

・・OB=5,BD=10,

.BC4

♦——，

105

•.BC=8.

22.（5分）如图，水渠两边48〃C。，一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中，ZAEF=45°,

Z£GD=105°,竹排宽EF=2米，求水渠宽.

第18页共30页

【解答】解：过F作于P,延长PF交CO于。,

则FQLCD,

：.ZEPF=ZFQG=90°,

•・,四边形是矩形，

：.ZEFG=90°,

VZAEF=45°,

：.ZGFQ=ZEFP=45°,

：.ZFGQ=45°,

VEF=2,

:・P卢+P修=E^=4,

•：PF=PE,

：.PF=PE=V2,

•:AB"CD、

AZAEG=ZEGD=[05°,

VZAEF=45°,

：.ZFEG=60°

：.FG=V3EF=2V3,

.\FQ2+Ge2=FG2=12,

：.FQ=QG=V6,

：.PQ=PF+FQ=(V24-V6)(米)，

四.解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）

第19页共30页

23.（6分）茶叶是安徽省主要经济作物之一.2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利

益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/依，并根据历年的相关数据整理出第x天（1

WxW15,且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如表.假定该茶

厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入=日销售额一日制

茶成本）.

制茶成本（元Jkg）150+1Ox

制茶量（kg）40+4x

（1）求出该茶厂第10天的收入；

（2）设该茶厂第x天的收入为y（元），试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最

大值及此时x的值.

【解答】解：（1）当x=10时，制茶成本为：150+10x=150+10X10=250（元/千克）；

制茶量为：40+4x=40+4X10=80（依）；

该茶厂第10天的收入为：（400-250）X80=12000（元）.

.•.该茶厂第10天的收入为12000元；

（2）根据题意得：

y=f400-（150+10x）]<40+4x）

=-40JV2+600X+10000

=-40（x-7.5）2+12250,

-40<0,1WXW15,且x是正整数，

；.x=7或8时，y取得最大值12240元.

与x之间的函数关系式为y=-40x2+600x+10000,x=7或8时，y取得最大值12240

元.

24.（6分）如图，AB是。。的直径，点C是圆上一点，点。是半圆的中点，连接CQ交

OB于点E,点F是AB延长线上一点，CF=EF.

（1）求证：尸C是。。的切线：

（2）若CF=5,taM=*,求半径的长.

第20页共30页

c

D

【解答】(1)证明：如图，连接0D

丁点。是半圆的中点,

AZAOD=ZBOD=90°,

：.ZODC+ZOED=90°,

OD=OC,

：.ZODC=ZOCD.

又,：CF=EF,

：./FCE=ZFEC.

♦：/FEC=/OED,

：.ZFCE=ZOED.

：.ZFCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90°,

即FC1OC,

・・・FC是。。的切线;

(2)解：・・，@也=2,

^BC1

.在RtAA5C中，—=一,

AC2

,ZACB=ZOCF=90°,

.ZACO=ZBCF=NA,

•△ACFs^CBF,

BFCFBC1

CFAFAC2

.AF=10,

,CF1=BF^F.

sAF-BF15

•A0=-=甲

第21页共30页

c

D

25.(6分)如图，在△ABC中，ZBAC=90°，ZB=60°,AB=2.AQ_LBC于。.E为

边BC上的一个(不与8、C重合)点，且AELEF于E,ZEAF=ZB,AF相交于点F.

(1)填空：AC=2u；。尸=30°.

(2)当8D=OE时，证明：△4BCZZXE4F.

(3)尸面积的最小值是—.

—2—

(4)当的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围_2<4E<2b

【解答】解：(1)；NB4C=90°,NB=60°,AB=2,tanB=卷,

：.AC=AB-lanB=2tan60°=2百;

"CAELEF,

：.ZAEF=90°,

,.•/E4F=/8=60°,

尸=90°-ZEAF=9Q°-60°=30°.

故答案为：2百，30°；

(2)证明：当BZ)=QE时，

:ADLBC于D,

：.AB=AE,

VZAEF=90°,ZBAC=90°,

NAEF=ABAC,

又NEAF=NB,

」.△ABC丝△EAF(ASA)；

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(3)VZAEF=90°,ZEAF=60Q,tan/EAF=髭，

AEF=AE-tanZEAF=AE-tan60°=昌E,

.,•SAE4F=^AE'EF=^AEXy[3AE=^AE2,

AC

当AE_L3C时，AE最短，SAEAF最小，此时/AE8=90°,sin8=器，

.•.AE=AB・sinB=2sin60°=2x亨=6，

c_73.„2_>/3_3>/3

SJ\,EAF—~^AE—xv3l――2~，

...△E4F面积的最小值是苧，

3x/3

故答案为：—:

(4)当△E4F内心恰好落在AC上时，设△EA尸的内心为N,连接EM如图:

：N是△EAF的内心，

平分NEAF,EN平分NAEF,

/.ZEAC=^ZAEF=1x60°=30°,

VZBAC=90°,

...NBAE=/8AC-NE4c=90°-30°=60°,

又；NB=60°,

...△A8E是等边三角形，

'.AE=AB=2,

为8c上的一点，不与8、C重合，由（1）可知4C=2g,

.•.当△E4F的内心在△ABC的外部时，2<AE<2聒.

故答案为：2VAE<1W.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线），=公2+法+C,与>轴交于点4,将点A向右

平移2个单位长度，得到点8,点8在抛物线上.

（1）①直接写出抛物线的对称轴是直线x=l；

②用含a的代数式表示b；

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(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.点A恰好为整点，若抛物线在点A,B之间的部

分与线段A3所围成的区域内(不含边界)恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a

的取值范围.

【解答】解：(1)①与8关于对称轴x=l对称，

.••抛物线对称轴为直线x=l,

故答案为直线x=l；

②：抛物线y=ax1+bx+c与y轴交于点4,

AA(0,c)

点4向右平移2个单位长度，得到点B(2,c),

•••点B在抛物线上，

.•・4q+2b+c=c,

:・b=-2a.

(2)方法一：如图1,若a>0,

VA(0,c),B(2,c),

区域内(不含边界)恰有1个整点。的坐标为(1，c-1),则理另一个整点E(l,c

-2)不在区域内，

•把x=1代入抛物线y=ajc2+hx+c得y=a+h+c=-a+c,

•••根据题意得卜——a,解得

如图2,若〃V0,

同理可得卜+1<c-a,解得-2Wa<-1

+2>c—a

综上，符合题意的a的取值范围为-2Wa<-1或1VaW2.

方法二：；AB=2,点A是整点，

点C到AB的距离大于1并且小于等于2.

•••点C到AB的距离表示为c-a,减去c的差的绝对值,

...l〈|c-a-c|W2,即lV|aW2,

-2Wa<-1或l<a<2.

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五.解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）

27.（7分）已知等边△A8C,点。为BC上一点，连接AO.

（1）若点E是AC上一点，且CE=BD,连接BE,BE与AD的交点为点P,在图（1）

中根据题意补全图形，直接写出/4PE的大小；

（2）将A。绕点A逆时针旋转120°,得到AF,连接B尸交AC于点Q,在图（2）中根

据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CQ的数量关系，并证明.

图1图2

【解答】（1）补全图形图1,

AB=BC

证明：在△ABQ和△8EC中，Z.ABD=4=60°

BD=CE

:.AABDqABEC(SAS)

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：.ZBAD=ZCBE.

,/ZAPE是△A3P的一个外角，

，ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=ZABC=60Q；

(2)补全图形图2,AQ=^CDf

AB=BC

证明：在△ABD和△BEC中，\z.ABD=zC=60°

BD=CE

：./\ABD^/\BECCSAS)

:・NBAD=NCBE,

•・•ZAPE是△ABP的一个外角，

・•・NAPE=ZBAD+ZABP=NCBE+/ABP=N43c=60°.

•・•A尸是由AO绕点A逆时针旋转120°得到，

a

：.AF=ADfZDAF=\20.

VZAPE=60Q,

AZAPE+ZDAF=1S0°.

J.AF//BE,

.*.Z1=ZF,

*.•△ABg/\BEC,