2022年上海市虹口区复兴高级中学高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={2,3,4},集合8={m,m+2},若AA8={2},则m=()

A.0B.1C.2D.4

2.下列结论中正确的个数是()

①已知函数/(x)是一次函数，若数列{4}通项公式为%=/(〃)，则该数列是等差数列；

②若直线/上有两个不同的点到平面a的距离相等，贝”//a；

③在ZVU9C中，44cosA>cosB"是"B>A"的必要不充分条件；

④若a〉0,6〉0,2a+/?=4,则成>的最大值为2.

A.1B.2C.3D.0

3.已知集合4=卜*一2%一3<0},集合8={x|x—120},则为(Ac3)=().

A.S,l)U[3,+<x>)B.(-OO,1]U[3,+8)

C.(-8』)U(3,+8)D.(1,3)

4.棱长为2的正方体ABC。-44GA内有一个内切球。，过正方体中两条异面直线AB,AA的中点P，。作直

线，则该直线被球面截在球内的线段的长为()

历

A.B.V2-1c.V2D.1

2

5."a手B”是cosa#cos/3"忸()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知抛物线。：丁=40匹(0>0)的焦点为尸，过焦点的直线与抛物线分别交于A、8两点，与)'轴的正半轴交于

|FB|

点S,与准线/交于点T,且|/%|=2|AS|,则焉=()

II

27

B.2D.3

52

7.在（l+g）（2x+l）3展开式中的常数项为（）

A.1B.2C.3D.7

8-已知a4°'£l'般【°‘9'’an"言焉，则（

A.2a+夕=-B.a+/3=—

兀TC

C.a-/3=—D.a+2（3=—

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A.32B.—C.16D.—

33

io.关于函数/（尤）=一4111%-5］在区间1£,万］的单调性，下列叙述正确的是（）

\6J\27

A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减

f717T\

11.已知。、夕G，a丰B，则下列是等式sina—sin/=。-2/成立的必要不充分条件的是（）

A.sina>sin/?B.sinavsin4

C.cosa>cos/?D.cosavcos〃

——2x+3,x411

12.已知函数大幻=<,，若关于x的方程Ax）=Ax-7恰有4个不相等的实数根，则实数A的取值范

Inx,x>12

围是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知命题P：Vx>0,%3>0，那么P是.

2

14.在平面直角坐标系中，双曲线工-的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为.

4

15.已知（1+2x）"=%+qx+a/?+…+即3。,则q-Z%"1--10al0+1lan=.

r2v2

16.已知点P是椭圆一+==1（“>。>0）上一点，过点「的一条直线与圆/+y2=。2+从相交于4,8两点，若存

a~b"

在点P,使得|PA|-|PB|=a2—〃，则椭圆的离心率取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断

加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取

男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.

安全意识强安全意识不强合计

男性

女性

合计

（I）求。的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；

（II）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2x2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别

有关；

(in)在(H)的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数x的分布列及期望.

2

2n(ad-bc)

附：K=-------------------------------,其中〃=a+b+c+d

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k]0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

18.(12分)已知函数/(x)=(l+J^tan'cos2x.

(I)若。是第二象限角，且sina=半，求/(£)的值；

(II)求函数/(x)的定义域和值域.

19.(12分)为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷

作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.

男女

6936799

951080156

9944273457778

885110607

4332525

(I)由以上数据绘制成2X2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？

男女总计

合格

不合格

总计

(D)从上述样本中，成绩在60分以下(不含60分)的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为X,求X

的分布列及数学期望.

附：

P伊认)0.1000.0500.0X00.001

攵02.7063.8416.63510.828

n(ad-bc)2

n-a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)在直角坐标系中，直线/过点P(l,2),且倾斜角为a,以直角坐标系的原点。为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2(3+sin2。)=12.

(1)求直线/的参数方程和曲线C的直角坐标方程，并判断曲线C是什么曲线；

(2)设直线/与曲线C相交与N两点，当|PMHPN|=2,求a的值.

21.(12分)已知函数/(力=%3-f_g_]6)x,g(x)=alnx,aeR.函数=—的导函数〃(x)

在I，4上存在零点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若存在实数。，当xe[O,同时，函数/(x)在x=()时取得最大值，求正实数》的最大值；

(3)若直线/与曲线y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在.丫轴上的截距为―⑵求实数。的值.

22.(10分)在AA8c中，GasinC=ccosA.

(I)求角A的大小；

(II)若氏80=百，b+c=2+2g,求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据w=2或利+2=2,验证交集后求得机的值.

【详解】

因为AC8={2},所以m=2或，〃+2=2.当机=2时，AD6={2,4},不符合题意，当加+2=2时，机=0.故选

【点睛】

本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.

2.B

【解析】

根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；

【详解】

解：①已知函数fW是一次函数，若数列仅“}的通项公式为。“=/(«),

可得。向-a,,=%(%为一次项系数)，则该数列是等差数列，故①正确；

②若直线/上有两个不同的点到平面a的距离相等，贝”与a可以相交或平行，故②错误；

③在AABC中，B,Ae(O,7)，而余弦函数在区间(0,乃)上单调递减，故“(»54>以九3”可得“6>4'',由"6>A”

可得“cosA>cos故"cos4>cos3"是"B>A”的充要条件，故③错误；

④若。〉0力〉0,2。+匕=4,则4=2a+0N2j^工，所以当且仅当2a=6=2时取等号，故④正确；

综上可得正确的有①④共2个；

故选：B

【点睛】

本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运

算能力和推理能力，属于中档题.

3.A

【解析】

算出集合A、8及AAB,再求补集即可.

【详解】

由工2一2%—3<0,得所以A={x[-l<x<3},又3={工|%21},

所以AcB={x|lKx<3},故Q(AcB)={x|x<l或xN3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

4.C

【解析】

连结并延长尸0,交对棱C1"于K,则A为对棱的中点，取MN的中点“，则推导出O”〃KQ,且OH=

—1RQ=J在?，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长.

22

【详解】

如图，

MN为该直线被球面截在球内的线段

连结并延长尸。，交对棱GOi于R,

则R为对棱的中点，取MN的中点则

1万

：.OH//RQ,且07/=—畋=",

一22

二MH=^OM--OH1=J12-（曰=，

；・MN=2MH=6.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

5.B

【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

a=J3=>cosa=cos/3所以cosa丰cos/3=>a手0（逆否命题）必要性成立

当a=-B=cosa=cos0,不充分

故是必要不充分条件，答案选B

【点睛】

本题考查了充分必要条件，属于简单题.

6.B

【解析】

过点A作准线的垂线，垂足为M,与y轴交于点N,由|E4|=2|AS|和抛物线的定义可求得|TS|,利用抛物线的性

质询+画=方可构造方程求得忸目，进而求得结果.

【详解】

过点A作准线的垂线，垂足为M,AM与＞轴交于点N,

由抛物线解析式知：F（p,O）,准线方程为x=一〃.

14

=-A-

•.•冏=2|AS|,33-

A12

由抛物线定义知：|A目=MM=1P，.•』AS|=5|A曰=§p,.•.|"|=2〃，

.•.|75|=|SF|=2p.

1121311,,

由抛物线性质面+函=而=万得：而*西=＞解得：阿Ip,

.但却=4。

一两一/一.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.

7.D

【解析】

求出（2x+l）3展开项中的常数项及含x的项，问题得解。

【详解】

(2x+l)3展开项中的常数项及含x的项分别为：

《⑴'(2力。=I,G(2x)，F=6x,

所以(1+：)(2尤+1)3展开式中的常数项为：Ixl+Jx6x=7.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

8.C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函数的商数关系式，化简可得tana==tan|f+，］,即可求得结果.

l-si二n2/714)

【详解】

cosipcos2sin2(51+tan/?(n

tana——zi-=tan+LJ,

1-sinipcos-/?+sin~/7-2sincos(31-tan/?(4J

TTTT

所以&=一+尸，即。一尸=一.

44

故选:C.

【点睛】

本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数，难度较易.

9.D

【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何

体的体积.

【详解】

由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为-x2x2x2+-xlx2x2x2=—.

2323

故选D.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.

10.C

【解析】

先用诱导公式得/(无)=-sin=cosx+(，再根据函数图像平移的方法求解即可.

【详解】

函数/⑴=-sin［x-高=cos(x+的图象可由y=cosx向左平移1个单位得到，如图所示,/(©在兀］上先

递减后递增.

故选：C

【点睛】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.

11.D

【解析】

构造函数〃(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,利用导数分析出这两个函数在区间(后马上均为减函数，由

TTTT

sina-sin/?=a-2〃得出sina—a=sin，—2〃，分。=0、-彳＜。＜0、Ocac^三种情况讨论，利用放缩

法结合函数y=〃(x)的单调性推导出-T＜。＜，＜0或0＜用＜。＜楙，再利用余弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

构造函数/?(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,

则"(x)=cosx-l<0,/A(x)=cosx-2<0,

所以，函数y=〃x)、y=/?(x)在区间上均为减函数，

当一巳<x<0时，贝!|⑼=0,/(x)>/(0)=0；当0<x<工时，7?(x)<0,/(x)<0.

22

由sina-sin/?=。-2月得5由仪一二=5也

①若a=0,贝Jsin/?-2/7=0,即/(4)=0=>4=0,不合乎题意;

②若一］＜a＜0,则一胃〈/＜0,则〃(a)=sina-a=sin4一2月》sin4一尸二〃(/?),

7T

此时，一,＜=＜£＜0,

由于函数丁=＜»$苫在区间上单调递增，函数y=sinx在区间(-5,0)上单调递增，贝!Jsina＜sin£,

cosa<cosp；

③若0<a<5，则则"(a)=sina-a=sin/?-24<sin/?-/?=〃(/7),

TT

此时0<(3<a<—,

由于函数丁=«»*在区间(0,、)上单调递减，函数y=sinx在区间(0,1)上单调递增，贝!]sina>sin分，

cosa<cos(3.

综上所述，cosa<cos/?.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对a的取值范围进行分类讨论，考查推理能

力，属于中等题.

12.D

【解析】

由已知可将问题转化为：y=/U)的图象和直线乎=履一;有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y=Ax

一;的下方，即可求得：k>\再求得直线和y=/〃x相切时，*=—；结合图象即可得解.

222e

【详解】

若关于X的方程/(*)=任一；恰有4个不相等的实数根，

则y=/(x)的图象和直线y=履一;有4个交点.作出函数y=/(x)的图象，如图，

故点(1,0)在直线y=kx—；的下方.

/.*xl-->0,解得A〉,.

22

当直线和相切时，设切点横坐标为

,1I

,lnm+—1.r

则nilA=2=­，..m=<e.

m

m

此时，《=▲=立，式X）的图象和直线有3个交点，不满足条件,

me2

故所求A的取值范围是

故选D..

【点睛】

本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.真命题

【解析】

由嘉函数的单调性进行判断即可.

【详解】

已知命题P:Vx>0,丁>0,因为y=_?在（0,+?）上单调递增，则/>（）3=0,所以P是真命题,

故答案为：真命题

【点睛】

本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.

24

14.—

13

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.

【详解】

22

解：双曲线C：双曲线日匕=1中。=2,0=3,C=/,

49

尤2丫2424

则双曲线工-匕=1的一条准线方程为X=—=下，

49cV13

双曲线的渐近线方程为：y=±|x,

可得准线方程与双曲线。的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标（右，*），（4=,一亲）,

14c624

则二角形的面积为不'-^'2乂"乏=不，

，71371313

24

故答案为：—

【点睛】

本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.

15.22

【解析】

对原方程两边求导，然后令x=-1求得表达式的值.

【详解】

11ll)

对等式(1+2%)=<20+a}x+a2x~4--卜fz10x+4然”两边求导，得

22(1+2x)1。=q+2a[X+…++13",令x=—1,贝！)4—2a,H----1Oq。+Ila”=22.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

【解析】

设P(%,%),设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得|弘||阳6忖,〃2],由题意得到。2.2心据此求

得离心率的取值范围.

【详解】

/、fx=%+，cosa

设直线A8的参数方程为.,a为参数)

y=yQ+/sina

代入圆f+y2=,

化简得：r+2(ycosa+%sina)%+,+y：—a2—b2=0,

2222

••.IPA||PB\=\ttt2\=\xl+y^-a-b\=a+b-(片+y；),

•.•£+$e[_b2,a2~\,

:.\PA\\PB\e[b2,a2~],

••・存在点P,使得|尸川・|尸5|=。2一从,

a1-tr..b2,BPa2..2b2,

a2,,2c之，

【点睛】

本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(I)4=0.016.0.2(II)见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关(in)见解析，y

【解析】

(I)直接根据频率和为1计算得到答案.

(II)完善列联表，计算内=9>7.879,对比临界值表得到答案.

(HI)X的取值为0/，2,,计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.

【详解】

(I)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率P=0.16+0.04=0.2.

(II)

安全意识安全意识八

强不强计

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

计

(16x46-4X34)2>100

K2=9〉7.879,

20x80x50x50

所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关

(皿)X的取值为0/，2,

货。)噬嘿FA罟嚼鲁喉

所以x的分布列为

X012

12323

p

199595

4mg-、3262

期望E(X)=—+—=-.

95955

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

18.(I)匕二色(II)函数/(x)的定义域为,xxeR,且X。％乃+工/ez1,值域为_1_3

312J2,2

【解析】

(1)由a为第二象限角及sine的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa及tana的值，再代入/(x)中即

可得到结果.

(2)函数/(x)解析式利用二倍角和辅助角公式将〃x)化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域.

【详解】

解：(1)因为a是第二象限角，且sina=4B,

3

所以cosa=-Jl-sin2a.

3

〜—sinarr

所以tana=------=72,

cosa

所以“a)=(l_6x&)J

-rr

(2)函数/(x)的定义域为♦xxeR,且+>.

化简，得〃x)=(l+Gtanx)=cos2x

kCOSX)

=cos2x4-V3sinxcosx

1+cos2x5/3..

=--------+——sin2x

22

/吟1

—sinI2xH—6jH—2,

JI

因为xeR,且+—,keZ,

2

所以2x+至72版■+包，

66

所以一145皿(2兀+2卜1.

-13~

所以函数/(x)的值域为-］，5.

（注：或许有人会认为“因为XH版'+1,所以仆）/0”，其实不然，因为/[4卜0.）

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和

辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.

4

19.（I）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关；（II）分布列见解析，y

【解析】

（I）根据茎叶图填写列联表，计算片=等33.956〉3.841得到答案.

1Q2

（n>x=0,1,2,计算p（x=o）=百，p（x=i）=百，p（x=2）=m，得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】

（I）根据茎叶图可得：

男女总计

合格101626

不合格10414

总计202040

40（10>4-10>16）2

K2--®3.956>3.841

26x14x20x2091

故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.

（H）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事

件总数为*=15,X=0,1,2

P-0）专噂p（x=D=萼去p（x=2）=C=9=2,

15155

X012

182

P

1515

…、0xl+lx8+2x64

乜（X）==.

153

【点睛】

本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.

7?

20.（I）曲线C是焦点在'•轴上的椭圆；（H）

【解析】

x=l+^cosa（

试题分析：（1）由题易知，直线/的参数方程为c.，a为参数），ae0,彳；曲线C的直角坐标方程为

y=2+tsina<2）

亍+4-=1,椭圆；（2）将直线代入椭圆得到（3cos2a+4sin2。）/+（6cosc+16sinc）t+7=0,所以

7jr

11113cos-a+4sin2a4

试题解析：

（I）直线/的参数方程为卜为参数）。/。曾

y=2+/sma12）

曲线C的直角坐标方程为3/+41尸=12,即《+片=|,

43

所以曲线C是焦点在X轴上的椭圆.

(II)将/的参数方程.；二；：鲁：：(，为参数)代入曲线C的直角坐标方程为3/+4)尸=12

得(3cos2a+4sin2a)r+(6cosa+16sin〃)/+7=0，

7

:.\PM\]PN\=t^t2=——z———z-=2,

1111123cos2a+4sin2a

得sin2a=—,

2

71

:.a=—

4

21.(1)[10,28]；(2)4；(3)12.

【解析】

(1)由题意可知，h(x)=x2-x-alnx-a+16,求导函数”(力，方程2f—%-。=0在区间1,4上有实数解，求

出实数”的取值范围；

⑵由/(力=/一%2一(&一16八，贝！|/'(x)=3f-2x—a+16,分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，

得出正实数匕的最大值；

⑶设直线/与曲线y=/(x)的切点为d一(a—i6)xj,因为/'(x)=3x2-2x-(a-16),所以切线斜率

左=3累-2%,切线方程为y=(24-a)x-12,设直线/与曲线y=g(x)的切点为(jaln/),因为

g'(x)=2所以切线斜率Z=幺，即切线方程为，=巴(%一々)+。111%2,

X%2X2

aa

—=24—求得々

整理得y=一元+。1。入2-〃.所以〈人2q,设G(x)=lnx+,则

冗2

a\nx2-a=-12

2x—1

>0,

2x2

所以G(x)在+8j上单调递增，最后求出实数。的值.

【详解】

(1)由题意可知，h(x)^x2-x-ainx-a+16,则“(x)=2x_]_/=2%=%二♦

即方程2V-x—a=0在区间|，4上有实数解，解得ae[10,28]；

(2)因为/(x)=/-x2-(6r-16)x,贝!j/r(x)=3X2-2X-«+16,

①当A=4-12(-a+16)W0,即104a〈生时，/'(x)NO恒成立，

所以/(x)在[0,句上单调递增，不符题意；

②当出<a<16时，令/'(x)=3f-2x-a+16=0,

解得：工_2±--12(-“+16)_i±j3a-47.

63

(i_47

当