第6章-电路分析

§6-1正弦量的特征

§6-2

相量分析法基础

§6-3

复阻抗与复导纳

§6-4

正弦稳态电路的相量分析法

§6-5

正弦稳态电路的功率第六章正弦稳态电路的相量分析法

*§6-6

含耦合电感元件的正弦稳态电路分析

*§6-7

正弦稳态电路的频率特性

*§6-8

多个不同频率正弦激励稳态电路的分析*§6-9

三相电路分析概述*§6-10应用实例*§6-11计算机仿真分析正弦稳态电路本章学习要求电路分析简明教程》本章中心内容主要讨论正弦稳态电路的基本分析方法—相量分析法。从介绍正弦交流电的特征入手，引出正弦量的相量表示，基尔霍夫定律和电路元件VAR的相量形式、复阻抗的概念等。在此基础上，利用相量法研究了几种典型正弦稳态电路的电压、电流和功率的计算等。第六章电路分析简明教程》

§6-1

正弦量的特征

◆正弦稳态电路在工程上泛称交流电路，它是指在单一频率的一个或多个正弦电压、电流激励下，处于稳定状态的线性非时变动态电路，它的暂态响应已经消失，它的全部稳态响应（各支路的电压、电流）是与激励相同频率的正弦量。

◆正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；正弦信号容易产生、传送和使用。

◆正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。

◆不论在实际应用中还是在理论分析中，正弦稳态分析都是十分重要的。§6-1电路分析简明教程》

一、正弦量的三要素

1、正弦量

(1)正弦波，如右图(a)、(b)所示。随时间按正弦规律变化的电压、电流等物理量统称为正弦量。

正弦量的表示方法：

(2)函数式，称为正弦量的瞬时值表达式。既可以采用正弦函数形式，也可以采用余弦函数形式，本课程采用正弦函数。

i=Imsinωt

对应于图(a)

i=Imsin(ωt

+ψi)

对应于图(b)◆正弦电压和电流是周期电压和电流的基本形式。(a)(b)§6-1电路分析简明教程》

(1)幅值(振幅、最大值)

2、正弦量的三要素

i=Imsin(ωt

+ψi)

反映正弦量变化幅度的大小，它是正弦量在整个变化过程中的最大值。如电流表达式中Im是幅值。

(2)周期T、频率f、角频率ω

T、f和ω都是用来表示正弦量变化快慢的参数。正弦量每重复变化一次所需要的时间称为周期

T，单位是秒(S)；每秒时间内正弦量重复变化的次数称为频率f，单位为赫[兹](Hz)；正弦量在单位时间内变化的角度称为角频率ω，单位为弧度每秒（rad/s）。

T、f和ω

三个参数之间的关系是§6-1电路分析简明教程》i=

Imsin(ωt+ψi)

(3)相位角(相位)、初相位(初相)

相位反映了正弦量变化的进程，如电流表达式中的(ωt

+ψi)是相位；不同时刻的相位不同，正弦量的瞬时值也不同。相位的单位是弧度(rad)或度。

初相是t=0时的相位，是正弦波的正半波的起始点到计时起点（坐标原点）的相位角，如电流表达式中的ψi

是初相。§6-1初相的大小与所选取的计时起点有关。如右图u1的波形，其初相ψu=70°。若计时起点在虚线u轴，则ψu

=0°。

u电路分析简明教程》◆幅值、角频率（频率、周期）和初相称为正弦量的三要素。一个正弦量在参考方向确定的条件下，可由这三个参数完全确定。如果计时起点选在正半波的区间，则初相为正值；若选在负半波的区间，则其初相位为负值，例如右图u2的波形，其ψu

=－40°。

习惯上规定：§6-1-40o电路分析简明教程》

例

已知右图元件通过的正弦电流的Im=10mA，f=1Hz，初相

ψ=rad。试写出该电流的函数表达式，并求出当t=0.5s和t=1.25s时电流瞬时值的大小及实际方向。

解

该电流的角频率

ω=2πf=2πrad/s故电流的函数表达式为

i=10sin(2πt+)mA

§6-1i为负值，表示电流的实际方向与参考方向相反。i为正值，表示电流的实际方向与参考方向相同。当t=0.5s时

i=10sin(2π×0.5+)mA=－7.07mA当t=1.25s时

i=10sin(2π×1.25+)mA=7.07mA电路分析简明教程》

二、相位差

两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用j表示，习惯上规定|j|≤180°。设u=

Umsin(ωt+ψu)i=

Imsin(ωt+ψi)则它们的相位差为j

=(ωt

+ψu)-(ωt

+ψi)=ψu-ψi

◆两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，是不随时间而改变的常量，也与正弦量的计时起点无关。◆在比较两个正弦量的相位差时，必须：两者的频率相同，函数形式相同，函数前面的符号都为正或都为负，初相位的单位相同。否则不能比较。§6-1电路分析简明教程》

两个同频率正弦量的相位关系(a)u超前i

在图(a)中，j=ψu-ψi＞0，则称u超前于i(或者说i滞后于u)，其意义是u比i先到达最大值(或零值)。

在图(b)中，j=ψu-ψi＜

0，则称u滞后于i(或者说i超前于u)。§6-1(b)u滞后i电路分析简明教程》

两个同频率正弦量的特殊相位关系(a)

同相，两个同频率正弦量的相位差j

﹦0，表示两个正弦量同时达到正最大值、负最大值和零值。(b)

反相，两个同频率正弦量的相位差j﹦180°，表示一个正弦量为正最大值时，另一正弦量为负最大值。

(c)

正交，两个同频率正弦量的相位差j

＝90°，表示一个正弦量(u)超前另一个正弦量(i)90°。

§6-1电路分析简明教程》例(1)已知正弦电压

u1=

-10sin(100t+40°)V，

u2=8cos(100t+)V，求它们的相位差。(2)若正弦电压则u1与u2的相位差为

j=-140°-150°=-290°=70°

(2)由于u1与u2的频率不同，故它们的相位差不能进行比较。§6-1u2=8cos(100t+)V=8sin(100t+60°+90°)V=8sin(100t+150°)Vu1=10sin(100t+40°)V，u2=8cos(200t+60°)V，求它们的相位差。

解

(1)u1和u2是同频率的正弦量，但它们的函数形式不同，函数前面的符号也不同，初相位的单位不同，故必须将u1和u2改变为u1=-10sin(100t+40°)V=10sin(100t-140°)V电路分析简明教程》三、有效值正弦交流电压和电流的瞬时值随时间变化而变化，工程上通常采用有效值来表示其大小。电压、电流的有效值分别用大写字母U、I表示。有效值是根据电流的热效应来确定的。当周期电流

i流过电阻R时，在一个周期T

内所消耗的电能为若直流电流I流过电阻R时，在相同时间T

内所消耗的电能为§6-1当上述两者消耗的电能相等时，则这个直流电流I的数值就称为周期电流的有效值，即电路分析简明教程》

上式为周期电流的有效值的定义式，又叫方均根值，它适用于一切周期量。同理，可得周期电压的有效值为对于正弦交流电流

i=

Imsin(ωt+ψi)的有效值为同理可得正弦电压有效值§6-1电路分析简明教程》可知正弦电流、电压的最大值与有效值的关系分别是若交流电压有效值为U=220V，

U=380V

注意：◆通常所说的正弦电流、电压值，不作特殊说明，都指的是有效值。例如，日常生活中的交流电为220V、380V，指的是有效值；交流电表测量的电流和电压一般是有效值；各种交流电气设备铭牌上所标的额定电流和额定电压也是有效值。

◆严格区分电流、电压的瞬时值、最大值、有效值的符号：其最大值为Um

311V，Um

537V§6-1电路分析简明教程》

例

已知某正弦电流，当t=0时，其值i(0)=1A，并已知其初相位为60°，试求其有效值。

解

根据题意，写出该正弦电流的瞬时值表达式为i=Imsin(ωt+60°)当t=0时

i(0)=Imsin60°=1A求得

Im

=

=1.15A故有效值为0.813A§6-1电路分析简明教程》

§6-2

相量分析法基础一、正弦量的相量表示正弦稳态电路是指在单一频率正弦电压、电流激励下处于稳态的线性、非时变动态电路。§6-2正弦稳态电路分析的基本依据仍然是基尔霍夫定律和元件的VAR两类约束。由于电感元件和电容元件的VAR是微分关系，因此，按两类约束列写的电路方程是非齐次微分方程，若用一般的数学方法（如待定系数法）求解其稳态响应（即微分方程的特解）将是很麻烦的。电路分析简明教程》当正弦量用“相量”表示后，则可将求解微分方程的问题转化为求解复数代数方程的问题，并且，使直流电阻电路的分析方法得以移植到正弦稳态电路分析之中。用相量表示正弦量，实质是用复数表示正弦量。§6-2电路分析简明教程》

1、复数

(1)复数的表示形式

代数形式：A=a+jb

j=

为虚数单位指数形式：在电路分析中，通常将复数的指数形式写成极坐标形式：

在上列式中，a和b为复数的实部和虚部，

和ψ

为复数的模和幅角。它们之间的关系为

a=γcosψ

b=γsinψ复数可以在复平面上用一有向线段表示，如上图所示。§6-2三角形式：电路分析简明教程》例

把下列复数化成极坐标形式：(1)A=4-j5；解

用极坐标形式表示复数，必须求出复数的模和幅角。其模总为正值，而求幅角ψ时，必须要把a和b的符号保留在分子、分母内，以便按右图正确判断ψ角所在象限，并注意取180°。

(2)A=-2+j8；(3)A=-6-j4。

(1)

A=4-j5=

/arctg(-5/4)

=6.4/-51.34°(幅角在第四象限)

(2)A=-2+j8=/arctg（8/-2）

=

8.25/180°-75.96°=8.25/104.04°

(3)A=-6-j4=/arctg-4/-6

=7.21/-180°+33.69°=7.21/-146.31°§6-2电路分析简明教程》

2、相量和相量图

相量—表示正弦量的复数。

依据：一个正弦量是由它的幅值（或有效值）、频率和初相三要素决定的。而正弦量乘以常数、微分、积分，几个同频率正弦量代数相加，其结果仍为同频率的正弦量。因此，在单一频率的正弦稳态电路中，各支路的电压和电流（稳态响应），都是与激励相同频率的正弦量。§6-2所以在正弦稳态电路分析中，正弦量的频率是已知的，求解正弦量的三要素可简化为求解二要素，即幅值（或有效值）和初相。而复数也有两要素，即模和幅角，它们与正弦量的二要素有一一对应的关系。于是，正弦量可用复数(相量)表示。电路分析简明教程》

(2)复数的运算

乘除运算—采用极坐标形式

例

已知复数A1=3+j5和A2=4-j3，求它们的和、差、积及商。

解

A1=3+j5=

/59°

加减运算—采用代数式故

A1+A2=3+j5+4-j3=7+j2

§6-2A2=4-j3=

/-37°=5/-37°A1-A2=3+j5-4+j3=

-1+j8

A1·A2=

/59°×5/-37°=29.15/22°电路分析简明教程》正弦量的相量表示：用复数的模表示正弦量的有效值，用复数的幅角表示正弦量的初相。

◆相量是一个表示正弦量的复数。为了和一般复数相区别，强调相量是代表正弦量的复数，相量用大写字母上

加一点表示，如等。例如，己知正弦电压、正弦电流

则其相量分别为

u=

Umsin(ωt

+ψu)

i=

Imsin(ωt

+ψi)

以上相量的模是正弦量有效值，亦称为有效值相量。相量的模也可以用正弦量的幅值，称为“幅值”相量，即今后，除非特别申明，本课程中的相量均为有效值相量。§6-2电路分析简明教程》

同样，若已知相量，也可直接写出它表示的正弦量，但必须给出正弦量的角频率。若题中未给出频率，则设定其角频率为ω。相量可以在复平面上用有向线段表示，有向线段的长度表示正弦量的有效值，有向线段与实轴的夹角表示正弦量的初相。此图叫相量图，如右图所示，图中画出了表示电压相量和电流相量的相量图。在相量图上能够清晰的看出各相同频率正弦量的大小和相位关系，例如，图中电压u超前电流i的相位角为（ψu-ψi）。§6-2电路分析简明教程》例1

已知电压u=5cos（1000t-30°）V和电流i=-10sin（1000t+30°）A，求其相量，并绘相量图。

解

u=5cos（1000t-30°）=5sin（1000t+60°）V

i=-10sin（1000t+30°）A=10sin（1000t-150°）Au和i的有效值为U=VI=A则其相量为/60°V/-150°A相量图如右图所示。§6-2电路分析简明教程》I

m=8A

解题中、相量的模为有效值，则其幅值为

例2已知电压相量10/-60°V和电流相量8/150°

A，f=50Hz，求其所表示的正弦电压u和电流i。

Um=10V角频率

ω=2πf=2π×50rad/s=314rad/s

注意：在u与、i与之间不能画等号，因为，正弦量是随时间i

变化的实数，而相量是不随时间变化的复常数。因此，只能说正弦量可用相量表示；反之，若已知一相量，也可以求出它表示的正弦量。它们这一关系可用双箭头符号“

”表示，即

u而§6-2≠i≠ui和电路分析简明教程》二、基尔霍夫定律的相量形式

两类约束仍然是分析正弦稳态电路的基本依据，为了借助“相量”来分析正弦稳态电路，首先必须导出这两类约束的相量形式。在单一频率的正弦稳态电路中，各支路电流i和各支路电压u均为同频率正弦量，将它们分别用相量和表示后，KCL和KVL的瞬时值形式，可分别表示为相量形式如下：§6-2电路分析简明教程》

=220(+j)V

例

已知

，

，试求u=

u1+u2及其有效值，并绘出相量图。

解写出电压u1、u2的相量为

=220/-150°V=220[cos(-150°)+jsin(-150°)]V

=

220(-

-j)V

=-220/-30°V=220/150°V得=+=-220V=380/180°V则u=380sin（314t+180°）V故有效值为380V。相量图如右上图所示。§6-2电路分析简明教程》三、电阻、电感、电容元件的伏安关系的相量形式

1、电阻元件

(a)

电路图设右图(a)所示电阻元件R中的电流为

i=

Isin(ωt

+ψi)根据欧姆定律及上式，则有

u=Ri=

RIsin(ωt

+ψi)=

Usin(ωt

+ψu)

上式中◆在正弦稳态电路中，电阻元件中的电流与它两端的电压是两个同频率、同相位的正弦量，它的波形如右上图(b)所示。§6-2(b)波形图U=RIψi

=ψu及电路分析简明教程》由以上正弦电流i、电压u的瞬时值表示式，可得它们的相量分别为由于以上已得出U=RI及ψu=ψi

则

(c)相量模型(d)相量图即上式是电阻元件的VAR的相量形式，用相量表示的电阻电路如右上图(c)所示，这种电路模型亦称为相量模型。该电路中电压、电流相量图如右图(d)所示。它既表明了电阻上电压和电流之间的大小关系（U=RI），也表明了它们之间的相位关系（同相位，即ψu=ψi）。§6-2电路分析简明教程》

例

已知4Ω电阻两端的电压u=10

sin（100t-60°）V，试利用u、i的相量关系求通过电阻的电流i，并画相量图。设电路中u、i的参考方向一致。

解

分三个步骤

(1)写出已知正弦量u的相量

(2)利用电阻元件VAR的相量式，可得=10/-60°V==10/-60°V∕4Ω=2.5/-60°A(3)根据写出ii=2.5sin（100t-60°）A其相量图如右上图所示。§6-2电路分析简明教程》

2、电感元件

设右图(a)所示电感元件L中的电流为

i=

Isin(ωt

+ψi

)

(a)电路图根据电感元件的VAR及上式，则有

u=L=

ωLIcos(ωt

+ψi)

=

ωLIsin(ωt

+ψi

+90°)=

Usin(ωt

+ψu)

上式中◆比较上两式可知，在正弦稳态电路中，电感元件中的电流和电压都是同频率的正弦量，电感电压的幅值等于电流的幅值乘以ωL，在相位上电压超前电流90°。u、i的波形如上图(b)所示。

§6-2(b)波形图及电路分析简明教程》由以上正弦电流i、电压u的瞬时值表示式，可得它们的相量分别为IU由于以上已得出U=ωLI

及ψi

=ψu+90°

则=U=ωLI

/

+90°=jωL

即[式中j=

/90°]上式是电感元件的VAR的相量形式。它既表明了电感上电压和电流之间的大小关系（U=ωLI），也表明了它们之间的相位关系（电压超前于电流90°）。用相量表示的电感电路（相量模型）如右图(c)所示，该电路中电压、电流相量图如右图(d)所示。(c)相量模型(d)相量图§6-2电路分析简明教程》

称为感抗，单位为欧[姆]()。

◆感抗表示电感元件对正弦电流的阻碍作用。因为U=ωLI，即I=U/ωL，若U一定，ωL越大，则I越小。◆感抗和频率成正比。当f→∞时，

XL→∞，电感相当于开路；当f=0（直流）时XL=0，电感相当于短路。感抗与频率的关系如上图所示。电感元件具有通低频阻高频的性质。采用感抗后，电感元件的VAR的相量形式可写成jXL感抗的倒数称为感纳，即BL=1/L=1/2fL，表示电感元件对正弦电流的导通能力，单位为西(S)。§6-2XL=L=2fL电路分析简明教程》

例1

已知一线圈的电感L=1H，电阻略去不计，现把它接在电压220V、频率为50Hz的交流电源上。试求：(1)感抗；(2)通过线圈的电流；(3)画相量图。解

(1)

XL=2πfL=2π×50×1Ω=314Ω

(2)设电压的初相为零，根据电感元件的VAR的相量形式得/0°V∕j314Ω=0.7/-90°A220

(3)相量图如右图所示，可见电流滞后于电压90°。为简便计，相量图未画复平面的实轴和虚轴。今后，画相量图均可按此画法。§6-2电路分析简明教程》

例2

图(a)所示为某正弦稳态电路的一部分，图中电流表A1、A2的读数均为10A，求电流表A的读数。设定U/0°。故首先在水平方向上绘出电压相量；然后利用元件电流、电压的相位关系绘出各元件的电流相量：电阻元件的电流与同相，电感元件中的滞后90°；总电流=+，作出相量图如图(b)所示。则电流表A的读数为(a)原电路(b)相量图解

用相量图求解。并联电路的相量图一般以电压相量作为参考相量。A=14.14A§6-2电路分析简明教程》

=

ωCUsin(ωt+ψu

+90°)=

Isin(ωt+ψi)

3、电容元件设右图(a)所示电容元件C中两端的电压为u=

Usin(ωt+ψu)(a)电路图根据电容元件的VAR及上式，则有

i=C=

ωCUcos(ωt+ψu)上式中◆在正弦稳态电路中，电容元件中的电流和它两端的电压都是同频率的正弦量，电容电流的幅值等于电压的幅值乘以ωC，在相位上电流超前电压90°。u、i的波形如上图(b)所示。§6-2(b)波形图及电路分析简明教程》

类似于电感元件的VAR的相量形式的推导过程，可得

或(c)相量模型

(d)相量图上式是电容元件的VAR的相量形式。它既表明了电容中电压和电流之间的大小关系（I=ωCU），也表明了它们之间的相位关系（电流的相位超前于电压的相位90°）。用相量表示的电容电路（相量模型）如右图(c)所示，该电路中电压、电流相量图如右图(d)所示。§6-2电路分析简明教程》称为容抗，单位为欧[姆]()。◆容抗表示电容元件对正弦电流的阻1/ωC越大，则I越小。碍作用。因为I=

，若U一定，◆容抗和频率成反比。当f→∞时，XC→0，说明高频电流容易通过电容元件；当f=0（直流）时，XC→∞，电容相当于开路，这就是电容具有隔直作用的原因。容抗与频率的关系如上图所示。电容元件具有阻低频通高频的性质。采用容抗后，电容元件的VAR的相量形式可写成-jXC容抗的倒数称为容纳，即BC=1/XC

=

C

，表示电容元件对正弦电流的导通能力，单位为西(S)。§6-2XC=1/C电路分析简明教程》

例1

已知一电容C=5µF，接在电压220V、频率为50Hz的交流电源上。试求：(1)容抗；(2)通过电容的电流；(3)画相量图。

XC=

=

=

Ω=637Ω解(1)§6-2

(2)设电压的初相为零，根据电容元件的VAR的相量形式得/0°V∕-j637Ω=220=0.345/90°A

(3)相量图如右图所示，可见电流的相位超前于电压的相位90°。电路分析简明教程》

例2

在图(a)的正弦稳态电路中，电压表V1、V2、V3的读数分别为80V、180V、120V，求电压表V的读数。解

用相量图求解。绘串联电路的相量图一般宜以电流相量作为参考相量。设定=I/0°。根(a)原电路

(b)相量图据R、L、C元件电流、电压的相位关系可知：电阻元件的相位应与同相，电感元件超前90°，电容元件滞后90°；总电压=+

+；作出相量图如图(b)所示，与、(+)构成一个直角三角形，故电压表V的读数为

§6-2电路分析简明教程》

§6-3

复阻抗与复导纳一、复阻抗在正弦稳态电路中，由线性时不变元件组成的不含独立源的线性二端网络如图(a)所示

，(a)不含独立源的线性二端网络在其端口u、i一致的参考方向下，则端口的等效复阻抗（输入阻抗）定义为

式中阻抗模(简称阻抗)◆复阻抗Z是一个复数，但不是表示正弦量的复数，其单位为欧姆(Ω)。阻抗角(一般≤

90°)§6-3电路分析简明教程》由复阻抗定义式，可得R、L、C元件的复阻抗分别为由复阻抗定义式可知其代数形式为Z=|Z|(cosj

Z+jsinj

Z)=R+jX

式中，R称为复阻抗的电阻分量；X称为复阻抗的电抗分量。(c)阻抗三角形

R、X和|Z|之间的关系可用一个直角三角形表示，如图(c)所示，称为阻抗三角形。§6-3电路分析简明教程》

根据复阻抗的电抗分量X可判断二端网络的性质：

◆若X﹥0，即﹥0，则表明端口电压超前于电流，该网络呈电感性；◆若X﹤0，即﹤0，则表明端口电压滞后于电流，该网络呈电容性；◆若X=0，即=0，则表明端口电压与电流同相，该网络呈电阻性，是电路中的一种特殊现象，将在§6-8中讨论。§6-3jZjZjZ电路分析简明教程》

二、复导纳

复导纳的定义是电流相量与电压相量之比(复阻抗的倒数)，即式中导纳角(不含受控源时≤

90°)◆复导纳也是一个复数，亦不是表示正弦量的复数，其单位为西(S)。由复导纳定义式，可得R、L、C元件的复导纳分别为§6-3导纳模(简称导纳)电路分析简明教程》由复导纳定义式可知其代数形式为

Y=|Y|(cosj

Y+jsinj

Y)=G+jB式中G称为复导纳的电导分量，B称为复导纳的电纳分量。

G、B和|Y|之间的关系可用一个直角三角形表示[见图(d)]，称为导纳三角形。(d)导纳三角形对二端网络来说，同样可以根据B>0(jY

>0)、B<0(jY

<0)、B=0(jY

=0)来判断该网络为电容性、电感性、电阻性。§6-3电路分析简明教程》

三、复阻抗与复导纳的等效互换由复阻抗和复导纳的定义可知，对于同一个不含独立源的线性二端网络的复阻抗和复导纳之间有着互为倒数的关系：

或即或设复阻抗Z=R+jX，则它的复导纳为由上式可见§6-3电路分析简明教程》设复导纳Y=G+jB，则它的复阻抗为故由上式可见，虽然复阻抗和复导纳互为倒数，但在一般情况下

四、欧姆定律的相量形式对于正弦稳态电路中的任一不含独立源的二端网络，其端口的VAR的相量形式为称为欧姆定律的相量形式，在正弦稳态电路的分析中是十分有用的。§6-3电路分析简明教程》

例1已知图(a)所示并联电路中，R=100Ω，L=0.1H，

(a)原电路(b)相量模型

解将原电路转换为相量模型§6-3C=10µF。试计算角频率分别为

(1)ω=314rad/s(2)ω=1000rag/s，(3)ω=4000rad/s时，此电路的复阻抗Zab和复导纳Yab，并说明该电路的性质。电路分析简明教程》(b)相量模型则根据KCL的相量形式得由复导纳定义式得§6-3电路分析简明教程》

下面依据不同的ω分别计算如下：

§6-3则由于B<0（X>0），故此并联电路在ω=314rad/s时呈电感性。(2)ω=1000rad/s时由于B=0（X=0），故此并联电路在ω=1000rad/s时呈电阻性。则(1)ω=314rad/s时电路分析简明教程》

(3)ω=4000rad/s时

则

◆一般情况下，复阻抗、复导纳是角频率的函数，同一个电路在不同的频率下所呈现的复阻抗、复导纳是不同的，并且电路的性质也会发生变化。所以对于一个实际电路，在不同的频率下有不同的等效电路，它的复阻抗、复导纳都是针对某一特定频率的。§6-3由于B>0（X<0），故此并联电路在ω=4000rad/s时呈电容性。电路分析简明教程》

例2

求右图所示电路的输入阻抗Zi

。

解根据定义，输入阻抗根据KCL和元件VAR，可得§6-3电路分析简明教程》

§6-4

正弦稳态电路的相量分析法正弦稳态电路的相量分析法包含相量解析法（相量法）和相量图法。本节先讨论相量解析法，其分析基本依据仍然是两类约束关系。下面是正弦稳态电路和电阻电路两类约束关系的比较：§6-4正弦稳态电路和电阻电路的两类约束关系式在形式上完全相同，其差别仅在于后者不直接用正弦电压和电流，而用代表正弦电压和电流的相量；不用电阻（或电导），而用复阻抗（或复导纳）。

电阻电路正弦稳态电路KCL：KVL：元件约束：或或电路分析简明教程》正弦稳态电路的具体分析步骤是：

1、写出已知正弦电压、电流所对应的相量。

2、画出与电路的时域模型相对应的相量模型。§6-4◆电路的相量模型：将时域模型中的R、L、C参数代之以复阻抗（或复导纳），即电阻仍用R（或G）表示，电感用jωL（或）表示，电容用(或jωC)表示；电路中u、i用相量表示，其参考方向不变；电路拓扑结构不变。◆电路的时域模型：电路元件一般以R、L、C等参数来表征，u、i是正弦时间函数。

电路分析简明教程》以上所述计算正弦交流稳态电路的方法称为相量解析法（相量法）。而正确作出电路的“相量模型”，是运用相量法的关键。

§6-43、根据相量模型，列出电路复数代数方程进行求解。最后，将求出的电压、电流相量转换为对应的正弦量。电路分析简明教程》一、串联、并联和混联电路的分析

在正弦稳态电路中，阻抗的串联、并联和混联电路的计算，在形式上与电阻电路的这类电路相似。因此，对于n个复阻抗串联而成的电路，可知其等效复阻抗

Zeq=Z1+Z2+…+Zn其分压公式为k=1，2，…，n

式中为总电压，为第k个复阻抗Zk的电压。电路分析简明教程》

其分流公式为

k

=1，2，…，n式中为总电流，为第k个复导纳Yk的电流。两个复阻抗Z1和Z2并联时，其等效复阻抗为§6-4同理，对于n个复导纳的并联电路，其等效复导纳每个复阻抗中的电流是电路分析简明教程》

例1

在图(a)所示RLC串联电路中，已知R=10Ω，L=31.8mH，C=159.2µF，uS=100sin(314t+30°)V的电源上，试求电路中的电流及各元件电压的瞬时值表达式，作出相量图，并讨论该电路的性质。(a)时域模型

解(1)写出已知正弦量uS的相量为

=100/30°V

(2)计算各元件的复阻抗

ZR=R=10Ω

ZL=jωL=j314×31.8×10-3Ω=j10Ω§6-4电路分析简明教程》作出与电路时域模型相对应的相量模型如图(b)所示。

(b)相量模型

(3)根据相量模型，求各电流、电压相量

串联电路的复阻抗为Z=ZR+ZL+ZC=R+j(ωL)=[10+j(10-20)]Ω=10/-45°Ω根据欧姆定律的相量形式得10×5/75°V=50/75°V§6-4j10×5

/75°V=50

/165°V-j20×5

/75°V=100

/-15°V电路分析简明教程》§6-4

(4)根据求得的各相量写出相应的瞬时值表达式为

i=10sin(314t+75°)AuR=100sin(314t+75°)VuL=100sin(314t+165°)VuC=200sin(314t-15°)V◆注意，在含有L、C元件的正弦稳态串联电路中，Us≠UR+UL+UC

，且在本例中出现了UC>Us。而在电阻电路中（不含受控源），任一元件的电压不可能大于外施电源电压。电路分析简明教程》

(5)作出相量图，如图(c)所示。

§6-4(c)相量图由于本题中复阻抗角

，故该电路性质为电容性；若就u和i的相位差而言，i超前u45°，也知该电路呈电容性。电路分析简明教程》

例2

电路如图(a)所示，已知us=4sin(3t+45°)V，§6-4R1=R2=2Ω，L=H

，C=F，试求电路中的电流i、iC和iL，并作电流相量图。

(a)时域模型

(b)相量模型解(1)写出已知正弦量us的相量为

(2)作出与电路时域模型相对应的相量模型如图(b)所示，其中电路分析简明教程》

(b)相量模型

(3)由相量模型知该电路的输入阻抗则

§6-4电路分析简明教程》§6-4(b)相量模型利用分流公式算得电路分析简明教程》(4)将求得的各个相量写出对应的正弦量为i=1.49sin(3t+18.4°)AiC=0.665sin(3t+135°)AiL=1.88

sin3tA(5)作出相量图如图

(c)所示。

(c)相量图§6-4电路分析简明教程》

二、复杂电路的分析

仍用第二章中分析电阻电路的方法，其关键仍是绘出电路的相量模型。

例1

在图(a)所示电路中，己知R=10Ω，L=40mH

，C=500μF，u1=40sin400tV，u2=30sin(400t+90°)V，试用网孔电流法求电阻两端电压uR。

(a)时域模型

解写出已知正弦电源电压的相量为

=40/0°V

计算各元件的复阻抗

jωL=j400×40×10-3=j16Ω§6-4=30/90°V电路分析简明教程》作出与电路时域模型相对应的相量模型如图(b)所示。

设网孔电流相量、的参考方向如图(b)所示，根据相量模型列网孔相量方程，得(b)相量模型代入数据得

（10+j16）-10=40/0°-10+（10-j5）=

-30/90°§6-4电路分析简明教程》求解，得故因此

uR=38.22sin(400t+148.32°)V§6-4(b)相量模型电路分析简明教程》

例2

图(a)是选频电路，它常用于正弦方波发生器中，当输出端开路时，若适当选(a)时域模型

解用节点电压法求解。首先作出图(a)相对应的相量模型如图(b)所示，列节点方程为§6-4择电路中的参数，可在某一频率下使输出电压u2与输入电压u1的相位相同。若R1=R2=250KΩ，C1=0.01μF，f=1000Hz。试求u2与u1相位相同时，C2应是多少？

(b)相量模型电路分析简明教程》§6-4则当虚部为零时，电路为电阻性，u2与u1必同相，故有

电路分析简明教程》

例3

试用叠加定理求图(a)所示电路的电压uC。已知us=50sintV，is=10sin(t+300)A，

解

题中电路的两电源频率相同，故可以利用同一相量模型运用叠加定理求解。

§6-4(a)时域模型L=5H，C=F。

(b)相量模型

(1)作出对应于图(a)时域模型的相量模型如图(b)所示，其中

=50

V

=10AjωL=j×1×5Ω=j5Ω电路分析简明教程》

(2)先计算电压源单独作用时的，这时电流源开路，如图(c)所示，求得

(c)电压源单独作用的相量模型×50/0°V=-75V

(3)再计算电流源单独作用时的，这时电压源短路，如图(d)所示，求得§6-4(d)电流源单独作用的相量模型电路分析简明教程》×10/30°V=75/-60°V(4)应用叠加定理求总响应-75V+75/-60°V

=(-75+37.5-j64.9)V=75/-1200V(5)写出对应的正弦函数式uc=75sin(t

-1200)V§6-4(d)电流源单独作用的相量模型电路分析简明教程》例4

已知图(a)所示正弦稳态电路中，

，试用戴维宁定理求iL。

解写出已知正弦电源电压的相量为

(a)时域模型(b)相量模型=20/0°V作出与电路时域模型相对应的相量模型如图(b)所示，其中§6-4电路分析简明教程》(d)求的相量模型而整理可得所以即§6-4求等效阻抗Zeq，由节点电压法求得电路分析简明教程》

求开路电压相量，其相量模型如图(c)。由于端口开路，

=0，则受控电流源

=0，受控电流源以开路代替。由该相量模型得(c)求的相量模型§6-4

画出戴维宁等效电路相量模型,得/121°A故

iL=6.86

sin

(106t121°)A电路分析简明教程》

通过以上四例，将常用于直流电阻电路中的网孔电流法、节点电压法、叠加定理和戴维定宁理，推广应用于正弦稳态电路的分析中。同理，只要将正弦稳态电路的时域模型变换为相量模型，直流电阻电路的其它分析方法，如支路电流法、电源的等效变换、星形联结与三角形联结的电阻电路的等效变换等，均可推广应用于正弦稳态电路的分析。§6-4电路分析简明教程》

三、用相量图法分析正弦稳态电路利用相量图求解电路的方法称为相量图法。它是先定性的画出相量图，利用相量图的几何关系来分析和简化计算，从而求得所需值。它和前述的相量解析法同属相量分析法。在相量解析法中，一般也画出相量图，但那是根据电路计算结果而画出的，起着验证和陪衬的作用。相量图的的要点是，选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地作出电路中其它的电压、电流相量。

§6-4电路分析简明教程》例1

应用三表法可测定某电感线圈的参数L和R，其测量电路如图(a)所示。用交流电压表V1、V2和V分别测得电阻R1、电感线圈和电源两端的电压为80V、70V和120V；已知电源频率f=50Hz，R1=57Ω。试求电感线圈的参数L和R。(a)测量电路解

本题是串联电路，宜以电流为参考相量。§6-4电路分析简明教程》(b)相量图首先在水平方向作；显然与同相、超前

一个角度，分别作出和。为了求R和L，还必须作出和。由于，且与同相，的相位超前90°，故分别作出和，且、与组成直角三角形。通过以上步骤，画出相量图如图(b)所示。

因为、和均为已知(测得V1=80V，V2=70V，V=120V)，根据余弦定理可得§6-4据KVL有由此可以作出。电路分析简明教程》

§6-4(b)相量图故又因为U1+UR=R1I+RI=Ucos所以

R=70.98Ω-R1=(70.98-57)Ω=13.98Ω电路分析简明教程》解

本题为并联电路，以电压为参考相量。

例2

在图(a)所示电路中，正弦电压Us=220V，f=50Hz，电容可调，当C=877.2μF时，交流电流表A的读数最小，其值为45.5A，试求图中交流电流表A1的读数，并求参数R和L。

(a)原电路§6-4(b)相量图电路分析简明教程》(b)相量图首先在水平方向作；由于是感性负载中的电流，则滞后一个角；而是电容元件的电流，则超前90°，依次作出和；据KCL有，当C变化使值最小时，则它与同相，故可以作出，且、与组成直角三角形。画出相量图如图(b)所示。IC=ωCUs=2π×50×877.2×10-6×220A=60.6A由相量图可见I1为交流电流表A1的读数。§6-4由于电路分析简明教程》而

(b)相量图由阻抗三角形求得故(a)原电路

从以上二例可见，有些电路采用相量图法分析，将比较直观和简便。相量图法分析电路的要点是，选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地作出电路中其它的电压、电流相量。§6-4电路分析简明教程》

§6-5

正弦稳态电路的功率有关功率和能量的基本概念已在第一章讨论过，但是，在正弦稳态电路中，由于通常包含有电感、电容储能元件，所以，其功率计算要比电阻电路的功率计算复杂，需要引入一些新的概念。正弦交流电路的负载一般可等效为一无源二端网络，如右图所示。设该无源二端网络中含有R、L、C元件，端口上的电流i和电压u分别为为简化，设，而

，则上两式可写为§6-5电路分析简明教程》式中的是电压与电流的相位差，亦即二端网络等效阻抗的阻抗角，随电路的性质不同，可正、可负，也可能为零。在无源二端网络中，。

一、正弦稳态电路的功率

1、瞬时功率

电路在某一瞬时吸收或发出的功率称为瞬时功率，用小写字母p表示。当图示无源二端网络u和i的参考方向一致时，瞬时功率为

p=

ui

=

Usin(ωt

+)

Isinωt

=UI[cos

-cos(2ωt+)]

它时而为正，时而为负。为正表示二端网络吸收功率，为负表示释放功率，这是网络内部存在储能元件所致。§6-5电路分析简明教程》

是电压与电流的相位差，亦即二端网络等效阻抗的阻抗角，由于在无源二端网络中，，故1≥cos≥0。本式是计算正弦稳态电路平均功率的一般公式，亦适用于单个元件平均功率的计算。

2、平均功率和功率因数瞬时功率在工程中实用价值不大。通常电路中的功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，亦称为有功功率，用大写字母P表示，它的单位是瓦（W），毫瓦（mW），千瓦（kW）。一般交流用电设备的铭牌上标的功率值都是指平均功率。无源二端网络的平均功率为式中，

称为功率因数；称为功率因数角，前已述

§6-5电路分析简明教程》当二端网络中只含有电阻元件或等效为一个电阻，即时，则

P=UIcos

0°

=

UI=

=

该式和直流电阻电路中的功率表达式完全一样。当二端网络中只含有电感元件或等效为一个电感，即时，则

P=

UIcos

90°=0说明电感元件不消耗功率，所以电感不是耗能元件，而是储能元件。当二端网络中只含有电容元件或等效为一个电容，即时，则

P=

UIcos(-90°)=0所以电容元件也不消耗功率，不是耗能元件，而是储能元件。§6-5电路分析简明教程》◆平均功率不仅与电压、电流的有效值乘积有关，而且与两者的相位差角的余弦(即功率因数cos)有关，这是交流和直流的很大区别,主要由于电压、电流存在相位差。

根据能量守恒原理，无源二端网络所吸收的总平均功率P应为各支路吸收的平均功率之和，而各支路只有电阻元件的平均功率不等于零，故无源二端网络的平均功率是网络中各电阻元件吸收的平均功率的总和，即式中，Rk为二端网络中第k个电阻元件的电阻，Ik是通过其中的电流。当无源二端网络中各元件参数已知时，该式经常被用来计算其平均功率。§6-5电路分析简明教程》

3、无功功率

无源二端网络中，无功功率的定义式为

当二端网络中只含有电阻元件或等效为一个电阻，即时，则

Q=UIsin0°=0

当二端网络中只含有电感元件或等效为一个电感，即时，则Q=UIsin90°=UI=＞0§6-5Q=UIsin它的单位为乏（var）及千乏（kvar）。该式是计算正弦稳态电路无功功率的一般公式，亦适用于单个元件无功功率的计算。电路分析简明教程》当二端网络中只含有电容元件或等效为一个电容，即时，则

可以推论，对于感性电路（＞0），Q＞0；对于容性电路（＜0）Q＜0；所以，习惯上常把电感看作“消耗”无功功率，而把电容看作“产生”无功功率。

Q=UIsin(-90°)=

-UI=-＜0◆无功功率存在的原因是无源二端网络中含有储能元件，于是在无源二端网络与电源之间就产生能量交换。无功功率用来度量此能量交换的规模。无源二端网络的无功功率等于各储能元件无功功率的代数和，即

§6-5电路分析简明教程》式中，

XLk为二端网络中第k个电感元件的感抗，ILk是通过其中的电流；XCk二端网络中第k个电容元件的容抗，ICk是通过其中的电流。当无源二端网络中各元件参数已知时，该式经常被用来计算其无功功率。

在电工技术中，把电压有效值和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母S表示，即

4、视在功率和额定容量

S=UI

视在功率的单位为伏安（VA）及千伏安（kVA）。交流发电机、变压器等电气设备是按照额定电压UN和额定电流IN设计的，两者的乘积，即额定视在功率用来表示其额定容量，它说明了该电气设备允许提供的最大平均功率。

§6-5电路分析简明教程》◆平均功率P、无功功率Q及视在功率S之间的关系为：

故可见，可以用一个直角三角形来描述它们之间的关系，如右上图所示，该三角形称为功率三角形。以上得出的各个功率计算式，不仅适用于无源二端网络，也适用于单个电路元件或任何一段电路。§6-5电路分析简明教程》

例在图所示电路中，已知R=100Ω，L=0.4H

，C=5μF，电源电压u=220sinωtV，ω=500rad/s，求电源发出的平均功率、无功功率和视在功率。

解法一

根据一般公式计算先计算=223.6/63.43°Ω故§6-5=0.55/90°A电路分析简明教程》而=0.984/-63.43°A

则

=0.55/-36.87°A所以

P=UIcos

=220×0.55×cos36.87°=96.8W

Q=