6.3.26.3.36.3.4平面向量正交分解与坐标表示向量加减运算的坐标表示平面向量的数乘运算及坐标表示（8大题型）（原卷版）

平面向量正交分解及坐标表示、向量加、减运算的坐标表示、平面向量数乘运算的坐标表示1、借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正角分解及坐标表示；2、掌握两个向量加、减运算的坐标表示；3、掌握平面向量数乘运算的坐标表示；4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件；5、能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。一、平面向量正交分解1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设、，则，.（3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.（4）特殊向量的坐标：．【注意】1、在直角坐标平面内，以原点为起点的向量OA=a，点A的位置被向量此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．2、平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．3、符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．4、（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．（4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．二、平面向量的坐标运算1、已知，则，．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2、若，则；结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3、已知，则向量，共线的充要条件是三、线段的定比分点及设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：(内分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.（2）点的位置与的范围的关系：①当时，与同向共线，这时称点为的内分点；②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点.（3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.题型一用坐标表示平面向量【例1】（2023·天津河北·高一统考期中）已知，且点，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【变式11】（2023·高一课时练习）已知，点，则点的坐标为（）A．B．C．D．【变式12】（2023·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）设点A(1,2)，B(3,5)，将向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到为（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)【变式13】（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（）A．B．C．D．题型二向量线性运算的坐标表示【例2】（2023·河南周口·高一校考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【变式21】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）已知向量，，那么（）A．B．C．D．【变式22】（2023·河南郑州·高一郑州市第二高级中学校考阶段练习）若，则的坐标为（）A．B．C．D．【变式23】（2023·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量,，则（）A．B．C．D．题型三根据向量线性运算求参数【例3】（2023·广东佛山·高一校考期中）在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（）A．B．C．D．2【变式31】（2022·江西·高三金溪一中校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则（）A．－1B．0C．1D．2【变式32】（2022·河南平顶山·高一统考期末）已知向量，，，则可用与表示为（）A．B．C．D．【变式33】（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）如图，已知，，，，，若，则（）A．B．C．D．题型四线段的定比分点问题【例4】（2023·上海·高一控江中学校考期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为.【变式41】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（）A．B．C．或D．或【变式42】（2023·贵州·高一校联考阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（）A．B．C．D．【变式43】（2023·山东枣庄·高一统考期末）（多选）已知点是的重心，点，，，点是上靠近点的三等分点，则（）A．B．C．D．题型五由坐标法判断向量是否共线【例5】（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）与共线的向量是（）A．B．C．D．【变式51】（2023·安徽阜阳·高一阜南实验中学校考阶段练习）已知向量，，则下列向量与平行的是（）A．B．C．D．【变式52】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）（多选）下列向量组中，能作为平面内所有向量的基底的是（）A．B．C．D．【变式53】（2023·河北承德·高一双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．B．与可以作为一组基底C．D．与方向相同题型六由向量共线(平行)求参数【例6】（2023·甘肃临夏·高一统考期末）已知向量，,且，则（）A．B．C．0D．2【变式61】（2022·四川内江·高三资中县第二中学校考阶段练习）设向量，，则“与同向”的充要条件是（）A．B．C．D．【变式62】（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知向量，且与共线，则实数．【变式63】（2023·浙江绍兴·高一校考期中）已知向量，，且，则实数．题型七用坐标解决三点共线问题【例7】（2023·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）已知，三点、、共线，则．【变式71】（2023·江西赣州·高一校考阶段练习）（多选）向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值可能为（）A．2B．－2C．11D．－11【变式72】（2023·山东·高一滨州一中校联考期中）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则（）A．7B．C．D．8【变式73】（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知．（1）若三点共线，求与满足的关系式；（2）若三点共线，，求点的坐标．题型八用坐标解决几何问题【例8】（2022·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）（多选）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（）A．B．C．D．【变式81】（2