高中数学北师大版练习第七章1-4随机事件的运算

1．4随机事件的运算水平11．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．()2．若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()3．事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．()【解析】1.提示：×.有可能不是对立事件．2．√.3．提示：×.有可能A与B有交集．·题组一互斥事件与对立事件1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两件事是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【解析】选C.A选项两个可以同时发生，故不是互斥事件．B选项两个可以同时发生，比如两个球一个是黑球一个是红球，故不是互斥事件．C选项恰有一个黑球，为一个黑球一个红球，与两个黑球互斥，但不是对立事件，因为还有两个都是红球的可能．D选项为对立事件．2．抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品【解析】选B.至少有n个的反面是至多有n－1个，事件A为至少有2件次品，故对立事件为至多有1件次品．3．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数．判断下列事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【解析】根据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是全空间，故不是对立事件．(2)比如2件产品都是次品满足两个事件，不是互斥事件，故不是对立事件．(3)比如1件次品1件正品满足两个事件，不是互斥事件，故不是对立事件．·题组二事件关系的运算与含义1．一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件．现给出以下四个事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品；并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C，其中正确结论的序号有()A．①②B．③④C．①③D．②③【解析】选A.事件A∪B表示的事件：至少有1件次品，即为事件C，所以①正确；事件D∪B表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A∩B＝∅，③不正确；事件A∩D表示的事件：恰有1件次品，即事件A，所以④不正确．2．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含义是什么．事件“密码被破译”用字母应如何表示．【解析】eq\x\to(A)B表示只有乙破译密码，Aeq\x\to(B)表示只有甲破译密码，所以eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含义是只有一人破译密码．“密码被破译”为至少一人破译密码，所以是eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)∪AB.易错点对立事件与互斥事件区分从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是()A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球【解析】选A.从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件．在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件．在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件．在D中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件．

水平1、2限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每小题5分，共20分)1．从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是()A．B与C互斥B．任何两个均互斥C．A与C互斥D．任何两个均不互斥【解析】选C.事件C包含事件B，故A，B错误；事件A与事件C没有相同的事件，故C正确，D错误．2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3【解析】选C.由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.3．某学校计划从3名男生和2名女生中任选3人参加“抗疫”英雄事迹演讲比赛，记事件M为“恰有1名男生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是()A．恰有2名男生参加演讲B．恰有2名女生参加演讲C．至少有2名男生参加演讲D．至多有2名男生参加演讲【解析】选C.选3人，总共只有2名女生，因此3人中最多只有2名女生，因此可分为恰有1名男生，恰有2名男生，恰有3名男生，从而事件M的对立事件是“至少有2名男生参加演讲”．4．(多选题)抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有()A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件【解析】选ABD.抛掷一枚骰子1次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，在A中，A与B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故A正确；在B中，A与C是互斥事件也是对立事件，故B正确；在C中，A与D能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，C与D能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故D正确．二、填空题(每小题5分，共20分)5．将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是什么事件________．【解析】将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”，事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”，事件A为：(3，4)，(3，5)，(4，5)，事件B为：(4，3)，(5，3)，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，所以事件A与事件B是互斥但不对立事件．答案：互斥但不对立事件6．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为________．【解析】有3个白球，4个黑球，从中任取3个球：①是互斥事件，但不是对立事件；②是互斥事件，同时也是对立事件；③既不是互斥事件，也不是对立事件；④既不是互斥事件，也不是对立事件．答案：②7．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有________．①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生．【解析】由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件．答案：①④8．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是________．【解析】①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件．答案：③三、解答题9．(10分)如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)，并说明它们的含义及关系．【解析】(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．(2)根据题意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，eq\x\to(A)＝{(0，0)，(0，1)}，eq\x\to(B)＝{(0，0)，(1，0)}．(3)A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)＝{(0，0)}；A∪B表示电路工作正常，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)表示电路工作不正常；A∪B和eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)互为对立事件．5个相同的小球，分别标上数字1，2，3，4，5，依次有放回地抽取两个小球．记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq\x\to(A)∩eq\x\to(C)，eq\x\to(B)∩C.【解析】样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，B＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，4)}，C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2