计算智能与深度学习 课件 3模糊集wu-introduction

1第3章模糊系统模糊集理论基础简介模糊推理、控制或决策2模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结基础3模糊集理论的提出1965年，美国计算机与控制论专家扎德（L.A.Zadeh）提出用隶属程度来描述差异的中介过渡，用精确的数学语言对模糊性进行描述的方法。

4模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结5特征函数（characteristicfunction）

=>隶属函数（membershipfunction)经典集合的特征函数UA

的特征函数：要求明确的属于或不属于。否则会产生悖论。如理发师问题。而有些问题，存在，但无法将子集的边界完全确定下来。如:一群人中的“年青人”，“高个子的人”，“老年人”，…6隶属函数(membershipfunction)论域U上的一个模糊集合A通过一个隶属函数刻画：

μA

(x):U

[0,1]，x

U

对任意x

U，都指定一个数μA(x)

[0,1]与之对应.μA(x)称为x对A的隶属度（DegreeOfMembership）;μA()称为A的隶属函数7隶属函数（MembershipFunction）。

若μA

(x)=0，则x完全不属于A；若μA

(x)=1，则x完全属于A；若0<μA

(x)<1，则x属于A的隶属度为μA

(x)

当μA的值域为{0,1}时，μA退化为经典集合的特征函数，

A退化为经典集合。

8常用的隶属函数Gaussian(高斯形)Trapezoidal(梯形)Triangular(三角形)9GaussianandTrapezoidal(梯形)

0

x

μ(x)

1x10Triangular(三角形)函数1x11例:青年204060801.0age12常用的隶属函数解析表达式举例13模糊集合的表示法

介绍扎德的表示法：离散的论域连续的论域14模糊集合的表示法（续）可以通过给出隶属函数的解析式来表示一个模糊集。

“年老”O与“年轻”Y的隶属函数如下：15模糊集合的表示法（续）除模糊集A的扎德记法形式外，当论域为有限集时，可以用序偶的形式或向量的形式表示模糊集。

序偶形式表示A：

A={(a,0.3),(b,0.7),(c,1),(d,0),(e,0.25)}向量形式表示A：

A=(0.3,0.7,1,0,0.25)

16模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结17模糊集的并、交、补模糊集间运算实际上是逐点对隶属度作相应运算。

设A，B是同一论域U上的两个模糊集，其隶属函数分别为μA

(x)和μB

(x)，A与B的并集、交集分别记为A

B和A

B。A的补集记为。其隶属函数分别为：

max、

表示最大运算;min、

表示最小运算。18模糊集间的包含关系、相等关系设A，B是同一论域U上的两个模糊集，定义模糊集间的包含关系、相等关系如下：

若

x

U，都有μA

(x)≥μB

(x)，则称A包含B，记作A

B；

若

x

U，都有μA

(x)=μB

(x)，则称A等于B，记作A=B；

显然，A=B当且仅当A

B且B

A.

19模糊集的并、交、补运算的性质幂等律：A

A=A，A

A=A

交换律：A

B=B

A，A

B=B

A

结合律：(A

B)

C=A

(B

C)，

(A

B)

C=A

(B

C)分配律：A

(B

C)=(A

B)

(A

C)，

A

(B

C)=(A

B)

(A

C) 吸收律：(A

B)

A=A，(A

B)

A=A

同一律：A

U=U，A

U=A，A

=A，A

=

复原律：

对偶律（德

摩根律）：

，

经典集合论中的“互补律”在模糊集中是不一定成立的。

？？20模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结21λ截集（都是经典集）设A为论域U上的模糊集，λ

[0,1]，令Aλ={x|μA

(x)≥λ}，称Aλ为A的λ截集。令

={x

U|μA

(x)>λ},称为A的强λ截集

定理：(A

B)λ=Aλ

Bλ，(A

B)λ=Aλ

Bλ

定理：若λ≤μ，则Aλ

Aμ。

22λ截集（经典集）例：令U={x1,x2,x3,x4,x5},A=0.9/x1+0.7/x2+1/x3+0.2/x4+0.3/x5，求A0.7，A1，A0。

解：A0.7={x1,x2,x3};A1={x3}，

A0=U。

23模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结24分解定理设λ

[0,1]，A为论域U上的模糊集，λ和A的数乘记为λA，定义其隶属函数为：

μλA

(x)=λ

μA

(x)分解定理：设λ

[0,1]，A为模糊集，

Aλ为A的λ截集，则：

25分解定理的意义

截集的概念及分解定理建立了经典集合与模糊集合的联系是将模糊集合论中的问题转化为经典集合论中的问题的重要工具。

26分解定理的直观意义三个水平λ，λ’，λ”下的隶属函数的图形。当

取遍〔0,1〕上的所有值时，对应每一元素x取所有λAλ隶属函数值中的最大值对应的点，再将这些点连成一条曲线即为模糊集A的隶属函数曲线。

27扩展原理扩展原理X和Y是两个论域，f为从X到Y的映射，

f:X

Y

，A为X上的一个模糊集，A在映射f下的像是Y上的一个模糊集B=f(A)，对

y

Y，

其中x

X且y=f(x).扩展原理使得模糊集A经f映射成模糊集f(A)时，模糊集A和f(A)的对应元素的隶属函数保持不变。28模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结29模糊集的特征与隶属函数的关系模糊集由其隶属函数描述。通过给出隶属函数的特性可以进一步描述模糊集的特征。

30模糊集的特征模糊支集:如果模糊集是论域U中所有满足μA

(x)>0的元素x

构成的集合，则称该集合为模糊集A的支集。（）高：隶属函数值的上确界，即称为A的高，记作hgt(A)。单峰性：A是单峰的，当隶属函数为单峰函数。31模糊集的特征凸性：模糊集A称为凸模糊集，当其隶属函数满足对

x1,x2

U（U是某连续区间）,λ

[0,1]，

μA

(λx1+(1–λ)x2)≥min{μA

(x1),μA

(x2)}基：给定有限论域U上的模糊集A，A的基定义为其隶属函数值的和，记作Card(A)，即：

若U是无限的，则定义为32模糊集上的算子规范化算子集中化算子松散化算子相对密集算子模糊化算子33规范化、集中化算子规范化算子：通过用原始隶属函数除以A的高的方法，将一个非空、非正规的模糊集转化为一个正规的模糊集：集中化算子：通过减小隶属函数值来压缩模糊集。若x在A中的隶属度相对较大，则隶属度减少的幅度相对较小；否则，减少的幅度较大。常见形式如：

μCON_A(x)=[μA(x)]2

或μCON_A(x)=[μA(x)]p，p>1

34松散化算子松散化算子：与集中化运算正好相反。常见形式如：

μDIL_A(x)=[μA(x)]0.5

μDIL_A(x)=2μA(x)–[μA(x)]2

μDIL_A(x)=[μA(x)]r

，r

(0,1.0)35相对密集算子相对密集算子：相对密集可以减少模糊集的模糊性，对应隶属度μA(x)的值，值在0.5以上的增加，值在0.5以下的减少。例如：或者，为了使相对密集更显著，采用下列形式（p>1）：

36模糊化算子模糊化算子：将非模糊集转化为模糊集或增加模糊集的模糊性。例如：

37模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结38模糊关系论域由多个集合的笛卡尔积构成的模糊集合

---模糊关系设U、V为两个论域，称U

V上的模糊集R为从U到V的一个模糊关系。即，对

(x,y)

U

V，指定它对R的隶属度μR(x,y)

R:U

V

[0,1]39模糊关系是对经典集合论中关系概念的推广，模糊关系也是一种模糊集。因此，关于模糊集的并、交、补、λ截集运算及包含关系、相等关系等运算和相关性质仍有意义。40模糊矩阵若U与V都是有限论域，则模糊关系R=(rij)可以用一个矩阵来表示，其中矩阵R的元素定义为：

rij=

R(xi,yj),0≤rij≤1,(1≤i,j≤n)

矩阵R称为模糊矩阵。

当rij

{0,1}时，模糊矩阵退化为一般矩阵，表示一个经典关系。

41模糊关系的运算与性质

---并、交、补及λ截设R、S皆为m行n列的模糊矩阵（模糊关系），R=(rij)，S=(sij)，则可通过模糊矩阵表示R与S的并、交、补及λ截矩阵（λ截关系）：

R

S=(rij

sij)R

S=(rij

sij)R=(1–rij)Rλ显然，模糊矩阵R的λ截矩阵Rλ

是一个布尔矩阵。42模糊关系的合成

(复合）设R为U

V上的模糊关系，S为V

W上的模糊关系，则R对S的合成是一个U到W的模糊关系，记为R◦S，其隶属函数为：

当U，V，W均为有限集时，U={u1,…,um}，V={v1,…,vn}，W={w1,…,wk}，模糊关系的合成(复合运算)可通过模糊矩阵的模糊乘积表示。乘--˄，+--˅43当R

F(U

U)时，称为论域U上的模糊矩阵定义幂运算：

R2=R◦R，

Rn=Rn–1

◦R

R1=RR0=I(单位矩阵）44模糊关系的合成运算的性质：模糊关系的合成满足结合律模糊关系的合成关于并满足分配律模糊关系的合成关于交不满足分配律。45模糊关系的性质定义设R=(rij)n

n为论域U上的模糊矩阵（模糊关系），

(1)若对任意的i都有rii=1，则称R满足自反性。

(2)若对任意的i，j都有rij=rji，则称R满足对称性。

(3)若有R◦R

R，则称R满足传递性。

46模糊等价关系与模糊相似关系

模糊等价关系：具自反性、对称性和传递性模糊相似关系：具自反性和对称性模糊等价关系是模糊相似关系的特例

47关于模糊等价关系的两个定理定理：R为模糊等价关系的充要条件是对任意的λ

[0,1]，

截矩阵Rλ是经典集合论中的等价关系。

定理：若0≤α≤β≤1，则由Rβ分出的每个类必是由Rα分出的某一类的子类（Rβ分类法是对Rα分类法的“加细”）。

48模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结49模糊推理

模糊推理：表示和处理模糊性推理方法模糊推理是利用模糊性知识进行的一种不精确推理50

语言变量及模糊推理自然语言常用形容词或副词来描述事物的性质和形状，而很少用数字来刻划事物的定量化特征如：

“小王个子很高”、

“小李非常年轻”

“很大”、“比较大”

等词事实上，对于许多事物属性的描述也难以找到一个定量的标准51引入模糊语言值的概念所谓模糊语言值是指表示大小、长短、高矮、轻重、快慢、多少等程度的一些词汇。应用时可根据实际情况来约定自己所需要的语言值集合52

如可用下述词汇表示程度的大小：

最大，极大，很大，相当大，比较大，大，有点大，有点小，比较小，小，相当小，很小，极小，最小 在这些词汇之间，虽然有时很难划清它们的界线，但其含义一般都是可以正确理解，不一定会引起误会53设基本语言项t的隶属函数为μ，则非基本语言项的隶属函数通常可以从μ计算出来扎德为作用在基本项上的修饰词提供一组经验公式如下：非常t的隶属函数：相当t的隶属函数：差不多t的隶属函数：不t的隶属函数：1-μ

54显然这具有较浓厚的主观色彩但由于用模糊语言值来表示不确定性时，对不熟悉模糊理论的人来说容易理解而其模糊集形式只是内部表示，因此它仍不失为一种较好的表示方法

55模糊推理模糊推理实质上是在模糊集合上进行操作不同论域中的逻辑运算一般需拓广至笛卡尔意义下的相应操作逻辑推理是通过逻辑蕴含实现的

56设U和V为两个论域，A是U上的模糊子集，

B是V上的模糊子集，则规则

IFATHENB

可以定义为U×V上的一个模糊关系： 或等价表示成：

μV=157在模糊推理中，推理规则中的前提与结论以及前提所对应的事实都可能是模糊集设A1和A2是U上两个模糊子集，B是V上的模糊子集，那么

模糊前提：A1

模糊蕴含：A2→B

模糊结论：

模糊结论等价于： 或写成形式：它是模糊推理中一种最基本的形式。58此外，目前在模糊数学领域，还提出了许多模糊推理的算法，如

Mamdani方法、Mizumoto方法等模糊推理人工智能领域特别是在专家系统和模式识别中的运用必将越来越深入

59■前提一(premise)1：xisA´

前提二(premise)2：ifxisA,thenyisB----------------------------------------------------

结论：yisB´合成算子:■最大-最小合成:隶属度的计算60例若x小则y大。已知x较小，问y如何？设论域X=Y={1,2,3,4,5}[小]=1/1+0.5/2;[较小]=1/1+0.4/2+0.2/3[大]=0.5/4+1/5[若x小则y大](x,y)=([小](x)

[大](y))

(1-[小](x))得Fuzzy关系(A->B)(x,y)的模糊矩阵：则[x较小]◦[若x小则y大]=(1,0.4,0.2,0,0)◦R=(0.4,0.4,0.4,0.5,1)故当x较小时，y为以下模糊集：0.4/1+0.4/2+0.4/3+0.5/4+1/5这是一种似然推理。61模糊系统1模糊集定义与隶属函数2模糊集的基本运算3分解定理与扩展原理4模糊集的特征5模糊关系6模糊推理7FuzzySystem--ControlorDecision小结62FuzzySystem–ControlorDecision

AbriefintroductionAdvantages:BasedonintuitionandjudgmentNoneedforamathematicalmodelProvidesasmoothtransitionbetweenmembersandnonmembers63Advantages(cont’d)Relativelysimple,fastandadaptiveLesssensitivetosystemfluctuationsCanimplementdesignobjectiveswhicharedifficulttoexpressmathematically,inlinguisticordescriptiverules64ApplicationDomainsFuzzylogicFuzzyControl-Neural-FuzzySystem-IntelligentControl-HybridControlFuzzyPatternRecognitionFuzzyModeling65SomeInterestingApplicationsRidesmoothnesscontrolCamcorderauto-focusandjigglecontrol(可携带摄像机,微动)BrakingsystemsCopierqualitycontrolRicecookertemperaturecontrolHighperformancedriveAir–conditioningsystems66CrispsetsandFuzzysetsConventionalorcrispsetsarebinary{true,false},{1,0}—characteristicfunctionFuzzysets[0,1]-membershipfunctionFuzzylinguisticvariables:close,heavy,light,big,small,smart,fast,slow,hot,cold,tallandshort67FuzzyIndicatorsCanyoudistinguishbetweenAmericanandFrenchperson?Somerules:-IfspeaksEnglishthenAmerican-IfspeaksFrench

thenFrench-IflovesperfumethenFrench-IflovesoutdoorsthenAmerican-Ifgoodcook

thenFrench-IfplaysbaseballthenAmerican68FuzzyindicatorsRulesmaygivecontradictionaryindicators{goodcook,lovesoutdoors,speaksFrench}TherightanswerisaquestionofadegreeofassociationFuzzylogicresolvestheseconflictionindicators-membershipofthepersonintheFrenchsetis0.9-MembershipofthepersonintheAmericansetis0.169FuzzyversusProbabiltyFuzzy≠ProbabilityProbabilitydealswithuncertaintyandlikelihood(不确定性和可能性)Fuzzylogicdealswithambiguityandvagueness(含糊性和模糊性)70FuzzyversusProbabilityFuzzy≠ProbabilityExample:-Abottleofliquidhasaprobabilityof½ofbeingratpoisonand½ofbeingpurewater-Asecondbottle’scontent,inthefuzzysetofliquidscontaininglotsofratpoison,is½71-Themeaningof½forthetwobottlesclearlydifferssignificantlyandwouldimpactyourchoice.Shouldyoubedyingofthirst?-50%probabilitymeansof50%chancethatthewaterisclean.-50%fuzzymembershipmeansthatthewaterhaspoison.72Fuzzysystem

-Basiccomponents模糊系统的基本架构主要的功能块包括：(1)模糊化机构(2)模糊规则库(3)模糊推理引擎(4)去模糊化机构。

模糊化机构模糊推理引擎去模糊化模糊规则库73Fuzzysystem-BasiccomponentsCrispinputFuzzificationRulesDefuzzificationOutputResultFuzzyInferenceEngine74Fuzzysystem-BasiccomponentsCrispinputFuzzificationRulesDefuzzificationOutputResult75Step1:FuzzificationFuzzifierconvertsacrispinputintoafuzzyvariable.Definitionofmembershipfunctionsmust-Reflectsthedesigner’sknowledge-Providessmoothtransitionbetweenmembersandnonmembersofafuzzyset-SimpletocalculateTypicalshapesofthemembershipfunctionareGaussian,trapezoidalandtriangular.76ExampleTheinputvariablesarethecrispnumbersoftheperson’sheightandweight.-Assumethataperson’sheightis6’1’’-Assumethattheperson’sweightis140lbhealthheightweight77Step1:FuzzificationFuzzificationisaprocessbywhichthenumbersarechangesintolinguisticwords.78FuzzificationofHeight1.0VeryShortShortMediumTallVeryTall4’5’6’7’VS=VeryShortS=ShortM=MediumT=TallVT=VeryTall79FuzzificationofWeight1.0VerySlimSlimMediumHeavyVeryHeavy150lb200lb250lb300lbVS=VerySlimS=SlimM=MediumH=HeavyVH=VeryHeavy80Step2:RulesRulesreflectexpertsdecisions.Rulesaretabulatedasfuzzywords.Rulescanbegroupedinsubsets.Rulescanberedundant.Rulescanbeadjustedtomatchdesiredresults81RulesFunctionRulesaretabulatedasfuzzywords

-Healthy(H)-Somewhathealthy(SH)-LessHealthy(LH)-Unhealthy(U)Rulefunction

f

f={U,LH,SH,H}82FuzzificationofHealth1.0ULHSHH0.20.40.60.8

-Healthy(H)-Somewhathealthy(SH)-LessHealthy(LH)-Unhealthy(U)1.0f={U,LH,SH,H}DecisionIndexf83FuzzyRuleTableWeightHeightVerySlimSlimMediumHeavyVeryHeavyVeryShortHSHLHUUShortSHHSHLHUMediumLHHHLHUTallUSHHSHUVeryTallULHHSHLH84Step3:CalculationForagivenperson,computethemembershipofhis/herweightandheightExample:-Assumethataperson’sheightis6’1’’-Assumethattheperson’sweightis140lb85MembershipofHeight1.0VeryShortShortMediumTallVeryTall4’5’6’7’μHeight={μVS,μS,μM,

μT,

μVT}μHeight={0,0,0.7,0.3,0}0.70.3heightis6’1’’86FuzzificationofWeight0.8VerySlimSlimMediumHeavyVeryHeavy150lb200lb250lb300lbμWeight={μVS,μS,μM,

μH,

μVH}μWeight={0.8,0.2,0,0,0}0.2μweightis140lb87Step4:ActivateRulesWeightHeightVerySlimSlimMediumHeavyVeryHeavyVeryShortHSHLHUUShortSHHSHLHUMediumHLHUTallHSHUVeryTallULHHSHLH88SubstituteMembershipValuesWeightHeight0.8(VS)0.2(S)MediumHeavyVeryHeavyVeryShortHSHLHUUShortSHHSHLHU0.7(M)LHHHLHU0.3(T)USHHSHUVeryTallULHHSHLH89SubstituteMembershipValuesWeightHeight0.8(VS)0.2(S)Medium(0)Heavy(0)VeryHeavy(0)VeryShort(0)00000Short(0)000000.7(M)0.70.20000.3(T)0.30.2000VeryTall(0)00000Min:min900.70.20.30.2LHHUSHf={U,LH,SH,H}f={0.3,0.7,0.2,0.2}91ScaledFuzzifiedDecision1.0ULHSHH0.20.40.6