2024届包头市高三数学（文）上学期期末质检试卷附答案解析

届包头市高三数学（文）上学期期末质检试卷2024.1试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．73．为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励.已知该校高三年级共有600名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图.据此估计，该校高三年级学生体育成绩的中位数为（

）A．70 B．70.5 C．71.25 D．724．若，满足约束条件，则的最大值为（

）A．4 B．3 C． D．5．函数的图象大致是（

）A．B．

C．D．

6．若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．8．如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（

）A．4 B． C．2 D．9．已知椭圆上存在点，使得，其中是椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．10．在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法错误的是（

）A．B．C．函数为奇函数D．函数在区间上单调递减12．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，满足，，，则.14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为.15．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.16．已知为锐角三角形，是角分别所对的边，若，且，则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列满足，，设.(1)求，，；(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；(3)求的通项公式18．如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且．(1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积．19．某地区为了解在乡村振兴过程中乡村集体经济的发展情况，随机调查了100个乡村，得到这些乡村今年先对于去年集体经济产值增长率W的频数分布表.分组乡村数61030401031(1)估计这个地区乡村集体经济产值增长率不低于40%的乡村比例；(2)求这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）20．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：在上.21．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.(1)求的方程；(2)若直线与相交于两点，与相交于两点，直线的斜率分别为，证明：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，(1)写出的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的极径与极角的正切值.[选修4-5：不等式选讲]23．已知，，均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则.1．A【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即得.【详解】全集，集合，则，而，所以.故选：A2．C【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.【详解】复数，为实数，则，由为实数，得，解得，又，显然，由为纯虚数，得，解得，所以.故选：C3．C【分析】根据题意，结合频率分布直方图的中位数的计算方法，即可求解.【详解】由给定的频率分布直方图，可得前2个矩形的面积为，前3个小矩形的面积为，所以学生体育成绩的中位数位于之间，设学生体育成绩的总位数为，可得分.故选：C.4．A【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数得到答案.【详解】由约束条件作出可行域如下图：由图可知，，由，可得，由图可得当直线过点时，直线在轴上的截距最大，所以故选：A5．B【分析】根据函数的奇偶性即可排除AC，根据时可排除D.【详解】，所以为奇函数，此时可排除AC,由于当时，，故此时可排除D，故选：B6．C【分析】将指数化为对数，结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为，则，可知，且，可知.故选：C.7．C【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出底面圆半径，进而求出高即可计算得解.【详解】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得，解得，因此圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选：C8．B【分析】根据三垂线定理，即可结合全等和勾股定理求解.【详解】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又,所以,平面，故平面，平面，故,同理可得,又，因此四边形为正方形，所以,故选：B9．A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点在椭圆上，是椭圆的两个焦点，令半焦距为c，由及，得，显然，当且仅当点共线，且在线段上时取等号，因此，即，又，则，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A10．B【分析】画出图形，结合图形将问题转化为和所成角，结合余弦定理求出的余值即可得到答案.【详解】根据题意，画出三棱锥，分别作出的中点，的中点，的中点，连结，，，所得图形如下图：根据中位线的性质可得：，，且，，所以异面直线与所成角即为和所成锐角，由于，，所以在等边中，，同理在等边中，，故，所以为等边三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线与所成角为的补角，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B11．D【分析】根据题意，求得，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换在，逐项判定，即可求解.【详解】由函数（，，）的部分图象，可得，可得，则，又由，可得，所以，因为，所以，所以A正确；由，可得，又由，所以B正确；将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，此时函数，所以为奇函数，所以C正确；由，可得，当时，即，函数单调递增；当时，即，函数单调递减，所以函数不是单调递减函数，所以D错误.故选：D.12．D【分析】求出函数的导数，利用导函数小于0在上有解求解即得.【详解】函数，求导得，由函数在上存在单调递减区间，得在上有解，即不等式在上有解，而函数在上单调递减，当时，，则，所以的取值范围是.故选：D【点睛】结论点睛：若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.13．【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由向量，满足，，且，则，所以.故答案为：.14．##【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出与的关系即可.【详解】对于双曲线，其渐近线方程为,对于圆，有，圆心为，半径为，渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，由点到直线距离公式得：,则由则.故答案为：.15．【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的总数为个，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：，共有15个，所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.故答案为：.16．【分析】根据给定条件，求出的值及的范围，再利用正弦定理结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】在锐角中，由，得，即，由正弦定理得，而，则，又，则有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，则，由，得，即，于是，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长范围问题，可以利用正弦定理及三角恒等变换，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.17．(1)，，(2)是，理由见解析(3)【分析】（1）根据题意，逐一代入即可得解；（2）由题设条件转化得，从而得以判断；（3）结合（2）中结论，利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】（1）由条件可得，将代入，得，而，所以，将代入，得，所以，又，从而，，.（2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下：由条件可得，即，又，所以是首项为2，公比为3的等比数列（3）由（2）可得，所以.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，通过证明可得平面；（2）取的中点，连接，通过体积公式计算即可.【详解】（1）连接交于点，连接．在底面中，因为，，由，可得，因为，即，所以在中，，故，因为平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，由，，得为等边三角形，所以．在等边三角形中，，所以．因为．19．(1)(2)平均数与标准差的估计值分别为，.【分析】（1）利用频率分布表中数据计算并估计得解.（2）利用频率分布表中数据计算平均数及方差即得.【详解】（1）根据集体经济产值增长率频数分布表，得所调查的100个乡村中，集体经济产值增长率不低于的乡村频率为，用样本频率分布估计总体分布，得这个地区集体经济产值增长率不低于的乡村比例为.（2），，.所以这个地区乡村集体经济产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为，.20．(1)递增区间为，递减区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再求出导函数大于0、小于0的解集即得.（2）利用（1）的结论，求出函数的最大值，再构造函数并求出最小值即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，即，令，求导得，当时，单调递减；当时，单调递增，于是，即，所以当时，，即.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据向量关系可得，代入抛物线方程运算求解即可；（2）设点，根据题意结合斜率公式分析证明.【详解】（1）设点，则，因为，所以，即点，代入方程中，得，所以的方程为.（2）因为均在抛物线上，设点，则直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，可得，，所以.

22．(1)，曲线是以点为顶点，开口向上的抛物线.(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，将代入，求得曲线的普通方程，并得出轨迹；（2）根据极坐标与直角的互化公式，求得曲线的普通方程，联立方程组求得交点坐标，进而的其极坐标.【详解】（1）解：由曲线的参数方程为为参数，将代入，可得，整理得，所以曲线的普通方程为，该曲线是以点为顶点，开口向上的抛物线.（2）解：因为