河南省南阳市重点学校2022-2023学年高二上学期期末质量评估数学试题（含答案）

年秋期高二年级期末质量评估数学试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线：与直线：平行，则的值为（

）A．3 B． C．3或 D．或42．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（

）A． B. C． D．3．已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（

）A． B． C．D.5．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A．B．C． D．6．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（

）A．B．C． D．7．书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（

）A． B． C． D．8．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，每位医务人员只能分配到一个社区工作.则不同的分配方法有（）A．25种

B．50种

C．150种

D．300种9．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（

）A．30° B．45°C．60°D．90°10．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（

）A． B． C．D．211．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（

）A． B．C．D．12．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，体积为，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球体积的最小值是（）A．πB．πC．125πD．πⅡ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.）13．设随机变量的概率分布为，(为常数，，，，)，则______．14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种.15．的展开式中的系数为______（用数字作答）.16．若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．已知展开式的二项式系数和为512，．(1)求的值；(2)求系数绝对值最大的项.18．有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．(1)求这件产品为合格品的概率；(2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点.(1)若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程；(2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.20．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，，是的中点，是棱上靠近点的一个三等分点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.21．某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝．若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．期末质量评估参考答案：1．A【详解】因为，直线：与直线：平行，所以，解得：或，当时，：，：，，符合题意；当时，：，：，均可化为，即，重合，舍去.故.故选：A.2．B【详解】因为，由正态分布的对称性可得，故选：B．3．C【详解】直线，整理得，由，解得，故直线过定点故点到直线的距离的最大值为.故选：C4．D【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.由已知可得，所以，则，所以.所以，双曲线的渐近线方程为.故选：D.5．C【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.6．D【详解】解：椭圆的焦点为，又双曲线：的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线方程为.故选：D7．A【分析】根据条件概率公式可求出结果.【详解】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，则.故选：A8．C【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.故选:C.9．C【分析】解法一，解法二：设直三棱柱的底面边长为2，，利用勾股定理求出m的值，再作辅助线，找到异面直线与所成的角或其补角，解三角形即可得解；解法三：设高为h，利用空间向量和列方程得到，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可.【详解】解法一：如图，设直三棱柱的底面边长为2，，连接，则，，，因为，所以在中，由勾股定理可得，得.连接，交于点P，取的中点Q，连接PQ，AQ，则，，所以为异面直线与MN所成的角或其补角.易知，故为等边三角形，，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.解法二：设直三棱柱的底面边长为2，，连接，则，，，因为，所以在中，由勾股定理可得，得.如图，把三棱柱补成一个四棱柱，连接，，则，，故为异面直线与所成的角或其补角.连接AD，易知，故为等边三角形，，所以异面直线与所成角的大小为60°.解法三

由题可以A为坐标原点，分别以AB，所在直线为y，z轴，在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直三棱柱的底面边长为2，高为h，则，，，，所以，，，由可得，所以，得，所以，，则，因为异面直线所成角的取值范围为，所以异面直线与MN所成角的大小为60°.故选：C10．A【详解】的展开式的通项公式为，，∵，∴，解得，故选：A.11．B【详解】由椭圆的定义可知：，因为，所以，在中，由余弦定理可得：，化简整理可得：，所以，故选：B.12.D【解答】解：底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD的体积为，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，可得底面面积为：8，设AB＝a，BC＝b，则ab＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC就是外接球的直径，可得：2R＝≥＝＝2，当且仅当a＝b＝2，取等号，R．外接球的体积的最小值为：×（）3＝．故选：D．13．【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，即，则，所以，得.故答案为：14．480【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，故答案为：48015．【详解】因为的二项式展开式的通项为，当因式取时，则二项式取，此时系数为;当因式取时，则二项式取，此时系数为;故的展开式中的系数为，故答案为：.16．8【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，可得．所以四边形的面积为8.故答案为：817．(1)(2)【分析】（1）先根据二项式系数和求出，然后利用换元后进行处理；（2）先表示出系数绝对值的表达式，通过研究该表达式的单调性进行处理；【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得，设，于是，根据二项展开式的通项，为求，令，则（2）展开式中第项的绝对值为，记，，令，解得，即时，；令，解得，即时，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大项为18．(1)(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大【详解】（1）解：设事件表示取到的产品为合格品，、、分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则，且、、两两互斥，由已知，，，，，，由全概率公式得.（2）解：由贝叶斯公式得，．．所以，，故这件产品由丙厂生产的可能性最大．19．(1)或(2)存在，两个【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆上存在点，设，则，利用题干条件得到点也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果.【详解】（1）圆可化为，圆心为，若的斜率不存在时，，此时符合要求.

当的斜率存在时，设的斜率为，则令，因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离，

所以直线的方程为或.（2）假设圆上存在点，设，则，，

即，即，

，

与相交，则点有两个.20．(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接，交于点，连接.∵四边形为菱形，且为的中点.∴，∴为线段上靠近的三等分点.在中，为三等分点，为三等分点，即，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）如图，取中点，连接.因为是菱形，且，所以，又因为且，所以四边形为矩形，则，又因为底面，平面，所以，也即、、两两垂直，以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系.，，，，∵，∴，∴，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则.取平面的一个法向量，从而.∵二面角为锐二面角，∴其余弦值为.21．(1)(2)分布列见解析；【详解】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为已知小明同学恰好投中2次，分三种情况:中中不中；中不中中；不中中中；其概率为：，解得：.（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，；；；；.综上所述可得的分布列为5321022.【解答】解：（1）设点P（x0，y0），则根据题意可得，∵F（c，0），∴|PF|＝＝＝a﹣，又∵点P到直线的距离为：，∴，即得点P到