高中数学选修2－1解答题166题

选修2－1解答题166题一、解答题1、命题：已知a、b为实数,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集,则a2－4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假．2、写出下列命题的匿名题和否命题⑴等差数列中若an=man=n（m≠n）则am+n=0⑵等差数列｛an｝中,若Sn=Sm（m≠n）则S（m+n）=03、已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数,a,b∈R,若f(a)＋f(b)≥0,求证：a＋b≥0、4、若a2＋b2＝c2,求证：a,b,c不可能都是奇数．5、a、b、c为三个人,命题A：“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．6、已知命题：若m>2,则方程x2＋2x＋3m＝0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,7、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．8、把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时,x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．9、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假．(1)偶数能被2整除．(2)当m>eq\f(1,4)时,mx2－x＋1＝0无实根．10、写出下列命题的“”命题：（1）正方形的四边相等（2）平方和为的两个实数都为（3）若是锐角三角形,则的任何一个内角是锐角（4）若,则中至少有一个为（5）若11、判断下列命题的真假：(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a＋b≠c＋d；(2)对任意的x∈N,都有x3>x2成立；(3)若m>1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．12、命题：“已知a,b,c,d是实数,若a＝b,c＝d,则a＋c＝b＋d、”写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．13、已知；若是的必要非充分条件,求实数的取值范围14、设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m15、给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅,命题乙：函数y＝(2a2－a)x分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．16、指出下列命题中哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假．(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0、(2)对任意实数x1,x2,若x1<x2,则tanx1<tanx2、(3)∃T0∈R,使|sin(x＋T0)|＝|sinx|、(4)∃x0∈R,使xeq\o\al(2,0)＋1<0、17、写出下列命题的否定,并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q,xeq\o\al(2,0)＝5；(4)不论m取何实数,方程x2＋2x－m＝0都有实数根．18、已知綈p：∃x∈R,sinx＋cosx≤m为真命题,q：∀x∈R,x2＋mx＋1>0为真命题,求实数m的取值范围．19、p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围．20、下列三个不等式：①>1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋eq\f(1,x2)、若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数a的取值范围．21、将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假．(1)正方形是矩形又是菱形；(2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．22、判断命题“已知a、x为实数,如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空,则a≥123、已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0),若綈p是綈q的必要非充分条件,求实数m的取值范围．24、已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．25、已知条件p：x>1或x<-3,条件q：5x-6>x2,则Øp是Øq的什么条件？26、把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,再判断这四个命题的真假．27、写出下列命题的非命题（1）p：方程x2-x-6=0的解是x=3；（2）q：四边相等的四边形是正方形；（3）r：不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根；（4）s：存在一个实数x,使得x2+x+1≤0；28、已知ab≠0,求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0、29、已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围．30、已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根,求实数31、设函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数。给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=2x；③f(x)=；④；你认为上述四个函数中,哪几个是函数,请说明理由。32、已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根,不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题,命题q是假命题,求a33、已知二次函数f(x)＝ax2＋x、对于∀x∈[0,1],|f(x)|≤1成立,试求实数a的取值范围．34、写出由下述各命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命题,并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除,q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形,q：对角线互相平分的四边形是菱形．35、分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．36、为使命题p(x)：为真,求x的取值范围。37、设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0),若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行,求a的值．38、已知平面上两个定点A,B之间的距离为2a,点M到A,B两点的距离之比为2∶1,求动点M的轨迹方程．39、动点M在曲线x2＋y2＝1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程．40、求证：函数y＝x＋eq\f(1,x)图象上的各点处的斜率小于1、41、（13分）设双曲线C：（a＞0,b＞0）的离心率为e,若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点,F为右焦点,△FPQ为等边三角形．（1）求双曲线C的离心率e的值；（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为,求双曲线c的方程．42、已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10、求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．43、(12分)已知椭圆的中心在原点,焦点为F1,F2（0,）,且离心率。（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为,求直线l倾斜角的取值范围。44、（12分）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值、（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C、（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线l的方程、45、（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1,0）,若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．46、求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．47、已知向量m1=（0,x）,n1=（1,1）,m2=（x,0）,n2=（y2,1）（其中x,y是实数）,又设向量m=m1+n2,n=m2－n1,且m//n,点P（x,y）的轨迹为曲线C、（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点,当|MN|=时,求直线l的方程、48、已知点A(0,eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M上,且|PM|＝|PA|,求动点P的轨迹方程．49、根据下列条件,求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0,－2),(0,2),并且椭圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))、50、如图,已知P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F是椭圆的右焦点,O是椭圆中心,B是椭圆的上顶点,H是直线x＝－eq\f(a2,c)(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点,若PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率e、51、已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m、(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．52、已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F1(－eq\r(3),0),且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))、(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程．53、如图△ABC中底边BC＝12,其它两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程．54、根据下列条件,求双曲线的标准方程．(1)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，3)),且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为eq\f(π,3)、55、设双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1上两点A、B,AB中点M(1,2),求直线AB的方程．56、设双曲线与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程．57、在△ABC中,B(4,0)、C(－4,0),动点A满足sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA,求动点A的轨迹方程．58、已知双曲线的一个焦点为F(eq\r(7),0),直线y＝x－1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为－eq\f(2,3),求双曲线的标准方程．59、设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B、(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；60、（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程； （2）已知动直线过点,交抛物线于两点,是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由．61、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(－3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．62、（12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0）,F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N． （1）求点N的坐标（用x0表示）；（2）63、（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值．64、（12分）已知抛物线的弦AB与直线y=1有公共点,且弦AB的中点N到y轴的距离为1,求弦AB长度的最大值,并求此直线AB所在的直线的方程．65、已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C：外切,求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)66、已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M（－3,m）到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值．（12分）67、动直线y=a,与抛物线相交于A点,动点B的坐标是,求线段AB中点M的轨迹的方程．(12分)68、河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0、75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,69、如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6．建立适当的坐标系,求曲线段C的方程．(14分)70、已知抛物线．过动点M（,0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B,．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N,求面积的最大值．(14分)71、（14分）设F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点、（1）若椭圆C上的点A（1,）到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值、试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明．72、过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直线方程．73、求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)的抛物线的标准方程．74、（12分）已知双曲线的离心率,过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值、75、已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程．76、设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3,求抛物线的标准方程．77、已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4,求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．78、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点,且|AB|＝eq\f(5,2)p,求AB所在的直线方程．79、求与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦点,并且离心率为eq\f(\r(5),2)的双曲线方程．80、双曲线C与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点,直线y＝eq\r(3)x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．81、已知点A(0,－2),B(0,4),动点P(x,y)满足·＝y2－8、(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．82、在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,－eq\r(3))、(0,eq\r(3))的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若⊥,求k的值．83、已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1,－2)．(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5)？若存在,求出直线l的方程；若不存在,说明理由．84、已知点P(3,4)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点,F1、F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F285、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点,离心率为eq\f(2\r(5),5)、(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若＝m,＝n,求m＋n的值．86、直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长．87、已知点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程．88、已知斜率为1的直线l过椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点,求弦AB的长．89、已知两个定点A(－1,0)、B(2,0),求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．90、甲、乙、丙三名工人搬运石头,分别作用于石头的力为F1,F2,F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量,F1＝i＋2j＋3k,F2＝－2i＋3j－k,F3＝3i－4j＋5k,则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk,求x、y、z、91、四棱锥P－OABC的底面为一矩形,PO平面OABC,设＝a,＝b,＝c,E、F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示、、、、92、已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点,并且PA=AD,求、的坐标．93、如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB＝7,AC＝BD＝24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长．94、如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点,求证：EF⊥平面B195、设a＝(1,5,－1),b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b),求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b),求k、96、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC＝BC＝1,∠BCA＝90°,AA1＝2,并取A1B1、A1A的中点分别为P、（1）求向量的长；（2）cos〈,〉,cos〈,〉,并比较〈,〉与〈,〉的大小；(3)求证：AB1⊥C1P、97、在长方体OABC—O1A1B1C1中,OA＝2,AB＝3,AA1＝2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D,求点O1到点D的距离．98、在正四面体ABCD中,棱长为a,M、N分别是棱AB、CD上的点,且|MB|＝2|AM|,|CN|＝eq\f(1,2)|ND|,求|MN|、99、证明：平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分．100、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为AB、BC的中点,在棱BB1上是否存在点M,使得D1M⊥平面101、已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1对交线的交点,点P是空间任意一点、试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．102、已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简eq\f(1,2)＋＋eq\f(2,3)；(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设＝α＋β＋γ,试求α,β,γ的值．103、（12分）如图,已知正方体的棱长为a,M为的中点,点N在'上,且,试求MN的长．104、如图所示,已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简：＋＋,(2)＋＋,并标出化简结果的向量．105、判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由．①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．106、（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是（,0）,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°、（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为θ,求cosθ的值图图107、（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直．108、如图,已知在空间四边形OABC中,OB＝OC,AB＝AC、求证：OA⊥BC、109、（12分）四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,={2,－1,－4},={4,2,0},={－1,2,－1}、（1）求证：PA⊥底面ABCD；（2）求四棱锥P—ABCD的体积；（3）对于向量={x1,y1,z1},={x2,y2,z2},={x3,y3,z3},定义一种运算：（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1,试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义、．110、设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点．求证：M,N,P,Q四点共面．111、（14分）如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A（1）求的长；（2）求cos<>的值；（3）求证：A1B⊥C1M、112、（14分）如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°（1）证明：C1C⊥BD（2）假定CD=2,CC1=,记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；（3）当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明、113、（12分）已知棱长为1的正方体AC1,E、F分别是B1C1、C1D（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．114、（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1,求平面A1BC1与平面ABCD115、（12分）在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°（1）若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．116、（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,点E为棱AB的中点,（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．117、（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1,过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面ACB1,并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a,求△EFG的最大面积,并求此时EF与B1C的距离．118、如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB＝BC＝2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS＝AB、求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．119、（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证：平面A1EF∥平面B120、已知ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,求证：平面AB1D⊥平面ABB1A121、已知三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA＝AC＝eq\f(1,2)AB,N为AB上一点,且AB＝4AN,M,S分别为PB,BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．122、在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB＝120°,且OA＝OB＝OC＝1、设P为AC的中点,Q在AB上且AB＝3AQ,证明：PQ⊥OA、123、如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC＝60°,PA⊥平面ABCD,PA＝AC＝a,点E在PD上,且PE∶ED＝2∶1、在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC？证明你的结论．124、已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN＝eq\f(1,4)CC1、求证：AB1⊥MN、125、已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC＝2,求点B到平面EFG的距离．126、已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,－1),C(3,－2,0),试求平面α的一个法向量．127、如图所示,在空间图形P—ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC＝2,在四边形ABCD中,CD∥AB,∠ABC＝∠BCD＝90°,AB＝4,CD＝1,点M在PB上,且PB＝4PM,∠PBC＝30°,求证：CM∥平面PAD、128、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证：B1C∥平面ODC129、如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA＝AB＝eq\r(2),点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC、130、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离131、如图,在三棱柱中,侧面,为棱上异于的一点,,已知,求：（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值132、如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,是上一点,已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小133、如图,在长方体,中,,点在棱上移动（1）证明：；（2）当为的中点时,求点到面的距离；（3）等于何值时,二面角的大小为134、如图,已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的eq\f(3,4)分点,设＝α＋β＋γ,试求α、β、γ的值．135、如图,四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形,且SA＝SC＝2a,SB＝SD＝eq\r(2)a,点E是SC上的点,且SE＝λa(0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2],都有BD⊥AE；(2)若SC⊥平面BED,求直线SA与平面BED所成角的大小．136、已知空间三点A(－2,0,2),B(－1,1,2),C(－3,0,4),设a＝,b＝、(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直,求k的值．137、已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小138、如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,平面底面（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标图系139、如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,,,为的中点（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点,使面,并求出点到和的距离140、如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M、N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线？141、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1、求证：AB1＝CA1142、如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝2,BC＝4,E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．143、如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍,P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC、若存在,求SE∶EC的值；若不存在,试说明理由．144、已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,－1,2),B(1,2,－1),C(－1,1,－3),D(3,－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．145、如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CF＝AB＝2CE,AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．146、如图,在空间四边形OABC中,OA＝8,AB＝6,AC＝4,BC＝5,∠OAC＝45°,∠OAB＝60°,求OA与BC所成角的余弦值．147、如图所示,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD求证：C1C⊥BD148、如图所示,在三棱锥S—ABC中,SO⊥平面ABC,侧面SAB与SAC均为等边三角形,∠BAC＝90°,O为BC的中点,求二面角A—SC—B的余弦值．149、命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0,对一切x∈R恒成立,命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a150、如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F、证明：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD、151、如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB＝1,AC＝AA1＝eq\r(3),∠ABC＝60°、(1)证明：AB⊥A1C(2)求二面角A—A1C—B152、已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别为AB,PC的三等分点,且PN＝2NC,AM＝2MB,PA＝AB＝1,求的坐标．153、已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),离心率为eq\f(\r(2),2),过点B(0,－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2、(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．154、若r(x)：sinx＋cosx>m,s(x)：x2＋mx＋1>0、已知∀x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,求实数m的取值范围．155、F1,F2是椭圆的两个焦点,Q是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线,垂足为P,求点P的轨迹．156、已知命题p：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根都是实数,q：方程2x2－2eq\r(6)x＋3＝0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题,并指出其真假．157、已知两点M(－1,0)、N(1,0),动点P(x,y)满足||·||－·＝0,(1)求点P的轨迹C的方程；(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,＝λ,求证：158、已知两点M(－2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||||＋·＝0,求动点P(x,y)的轨迹方程．159、已知p：x2－12x＋20<0,q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)．若綈q是綈p的充分条件,求a的取值范围．160、已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A,B两点．(1)求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值．161、设P为椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1上一点,F1、F2是其焦点,若∠F1PF2＝eq\f(π,3),求△F1PF2的面积．162、已知p：2x2－9x＋a<0,q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0,x2－6x＋8<0)),且綈q是綈p的必要条件,求实数a的取值范围．163、如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的点为M,AC⊥BC,且AC＝BC、(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求二面角A—EB—C的大小．164、如图所示,已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,＋＝(－4,－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值．165、如图,M是抛物线y2＝x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|＝|MB|、证明：直线EF的斜率为定值．166、如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是棱DD1(1)求直线BE和平面ABB1A1(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE以下是答案一、解答题1、解逆命题：已知a、b为实数,若a2－4b≥0,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数,若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集,则a2－4b<0、逆否命题：已知a、b为实数,若a2－4b<0,则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．2、⑴逆命题：等差数列中若am+n=0,则an=m,an=n（m≠n）否命题：等差数列中若an≠m,an≠n（m≠n）,则am+n≠0⑵逆命题：等差数列｛an｝中,若S（m+n）=0,则Sn=Sm（m≠n）否命题：等差数列｛an｝中,若Sn≠Sm（m≠n）,则S（m+n）≠03、证明假设a＋b<0,即a<－b,∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数,∴f(－b)＝－f(b),∴f(a)<－f(b),即f(a)＋f(b)<0、即原命题的逆否命题为真,故原命题为真．∴a＋b≥0、4、证明若a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数．得a2＋b2为偶数,而c2为奇数,即a2＋b2≠c2,即原命题的逆否命题为真,故原命题也为真命题．所以a,b,c不可能都是奇数．5、解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最大,则a最小,所以c>b>a；而它的逆否命题也为真,即“a不是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c、总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c、②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c、从而可知,b>a>c、所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小．6、解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根,则m>2,假命题．否命题：若m≤2,则方程x2＋2x＋3m＝0有实根,假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根,则m≤7、解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数,则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数,则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等,则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线．8、解(1)原命题：“若a是正数,则a的平方根不等于0”逆命题：“若a的平方根不等于0,则a是正数”．否命题：“若a不是正数,则a的平方根等于0”逆否命题：“若a的平方根等于0,则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2,则x2＋x－6＝0”逆命题：“若x2＋x－6＝0,则x＝2”否命题：“若x≠2,则x2＋x－6≠0”逆否命题：“若x2＋x－6≠0,则x≠2”(3)原命题：“若两个角是对顶角,则它们相等”．逆命题：“若两个角相等,则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角,则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等,则它们不是对顶角”．9、解(1)若一个数是偶数,则这个数能被2整除,真命题．(2)若m>eq\f(1,4),则mx2－x＋1＝0无实数根,真命题．10、解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为的两个实数不都为；（3）若是锐角三角形,则的某个内角不是锐角（4）若,则中都不为；（5）若11、解(1)假命题．反例：1≠4,5≠2,而1＋5＝4＋2、(2)假命题．反例：当x＝0时,x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0,∴方程x2－2x＋m＝0(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．12、解逆命题：已知a,b,c,d是实数,若a＋c＝b＋d,则a＝b,c＝d、假命题否命题：已知a,b,c,d是实数,若a≠b或c≠d,则a＋c≠b＋d、假命题逆否命题：已知a,b,c,d是实数,若a＋c≠b＋d,则a≠b或c≠d、真命题．13、解：是的必要非充分条件,,即14、解若命题p为真命题,则根据绝对值的几何意义可知m≤1；若命题q为真命题,则7－3m>1,即m<2所以命题p和q中有且只有一个是真命题时,有p真q假或p假q真,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2.))故m的取值范围是1<m<2、15、解甲命题为真时,Δ＝(a－1)2－4a2<0即a>eq\f(1,3)或a<－1、乙命题为真时,2a2－a>1,即a>1或a<－eq\f(1,2)、(1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,∴a的取值范围是{a|a<－eq\f(1,2)或a>eq\f(1,3)}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况：甲真乙假时,eq\f(1,3)<a≤1,甲假乙真时,－1≤a<－eq\f(1,2),∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|eq\f(1,3)<a≤1或－1≤a<－eq\f(1,2)}．16、解(1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题．(1)∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0,x2＝π,x1<x2,但tan0＝tanπ,∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数,π就是它的一个周期,∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R,xeq\o\al(2,0)＋1>0,∴命题(4)是假命题．17、解(1)“有些质数是奇数”是特称命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题．(3)“∃x0∈Q,xeq\o\al(2,0)＝5”是特称命题,其否定为“∀x∈Q,x2≠5”,真命题．(4)“不论m取何实数,方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题,其否定为“存在实数m,使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”,真命题．18、解由綈p为真,即p：∀x∈R,sinx＋cosx>m为假命题,由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2),eq\r(2)],又sinx＋cosx>m不恒成立,∴m≥－eq\r(2)、又对∀x∈R,q为真,即不等式x2＋mx＋1>0恒成立,∴Δ＝m2－4<0,即－2<m<2,故m的取值范围是－eq\r(2)≤m<2、19、解对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))⇔0≤a<4；关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥⇔a≤eq\f(1,4)；如果p真,且q假,有0≤a<4,且a>eq\f(1,4),∴eq\f(1,4)<a<4；如果q真,且p假,有a<0或a≥4,且a≤eq\f(1,4),∴a<0、综上,实数a的取值范围为(－∞,0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))、20、解对于①,>1,即－x2＋ax－eq\f(25,4)>0,故x2－ax＋eq\f(25,4)<0,Δ＝a2－25,所以不等式的解集为空集,实数a的取值范围是－5≤a≤5、对于②,当a＝3时,不等式的解集为{x|x>1},不是空集；当a≠3时,要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,(a－2)2＋4(a－3)≤0，))解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)、对于③,因为x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2,当且仅当x2＝1,即x＝±1时取等号．所以,不等式a>x2＋eq\f(1,x2)的解集为空集时,a≤2、因此,当三个不等式的解集都为空集时,－2eq\r(2)≤a≤2、所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是{a|a<－2eq\r(2)或a>2}．21、解(1)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题．(2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,为假命题．(3)如果一个方程为x2－x＋1＝0,则这个方程有两个实数根,为假命题．22、解方法一(直接法)逆否命题：已知a、x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0判断如下：二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－∵a<1,∴4a－7<0即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集,方法二(先判断原命题的真假)∵a、x为实数,且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0即4a－7≥0,解得a≥eq\f(7,4),∵a≥eq\f(7,4)>1,∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真．方法三(利用集合的包含关系求解)命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0命题q：a≥1、∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≥\f(7,4))),q：B＝{a|a≥1}．∵A⊆B,∴“若p,则q”为真,∴“若p,则q”的逆否命题“若綈q,则綈p”为真．即原命题的逆否命题为真．23、解綈p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))>2,解得x<－2,或x>10,A＝{x|x<－2,或x>10}．綈q：x2－2x＋1－m2>0,解得x<1－m,或x>1＋m,B＝{x|x<1－m,或x>1＋m}．∵綈p是綈q的必要非充分条件,∴BA,即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m≥10))且等号不能同时成立⇒m≥9,∴m≥9、24、解令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2,方程有两个大于1的实数根⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝(2k－1)2－4k2≥0,－\f(2k－1,2)>1,f(1)>0)),即k<－2、所以其充要条件为k<－2、25、Øp：-3<x<1,Øq：x≥3或x≤2显然AB,故Øp是Øq的充分不必要条件26、若两直线平行于同一条线,则它们相互平行．逆命题：若两条直线互相平行,则它们平行于同一条直线．（真命题）否命题：若两条直线不平行于同一条直线,则它们不相互平行．（真命题）逆否命题：若两直线互相不平行,则它们不平行于同一条直线．（真命题）27、（1）Øp：方程x2-x-6=0的解不是x=3；（2）Øq：四边相等的四边形不是正方形；（3）Ør：存在实数m,使得方程x2+x+m=0没有实数根；（4）Øs：对所有实数x,都有x2+x+1>0；28、证明充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2),∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0、又ab≠0,即a≠0且b≠0,∴a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2>0、∴a＋b－1＝0,∴a＋b＝1、必要性：∵a＋b＝1,即a＋b－1＝0,∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0、综上可知,当ab≠0时,a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0、29、若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根,则解得m＞2即p：m＞2若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜解得：1＜m＜3、即q：1＜m＜3、因“p或q”为真,所以p、q至少有一为真,又“p且q”为假,所以p、q至少有一为假,因此,p、q两命题应一真一假,即p为真,q为假或p为假,q为真、∴解得：m≥3或1＜m≤2、30、解假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0都没有实数根,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝(4a)2－4(－4a＋3)<0,Δ2＝(a－1)2－4a2<0,Δ3＝(2a)2－4(－2a)<0)),即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2),a>\f(1,3)，或a<－1，,－2<a<0))得－eq\f(3,2)<a<－1、∴所求实数a的范围是a≤－eq\f(3,2)或a≥－1、31、对于①,显然m是任意正数时都有０≤m|x|,f(x)=0是F函数；对于②,显然m≥2时,都有|2x|≤m|x|,f(x)=2x是F函数；对于③,当x＝０时,|f(０)|＝,不可能有|f(０)|≤m|０|＝０故f(x)=不是F函数；对于④,要使|f(x)|≤m|x|成立,即当x＝０时,m可取任意正数；当x≠０时,只须m≥的最大值；因为x2＋x＋１＝,所以m≥因此,当m≥时,是F函数；32、解∵x1,x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根,则x1＋x2＝m且x1x2＝－2,∴|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(m2＋8),当m∈[－1,1]时,|x1－x2|max＝3,由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥∴a≥6或a≤－1、所以命题p为真命题时,a≥6或a≤－1、命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解,当a>0时,显然有解；当a＝0时,2x－1>0有解；当a<0时,∵ax2＋2x－1>0有解,∴Δ＝4＋4a>0,∴－1<a<0从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1、又命题q为假命题,∴a≤－1、综上得,若p为真命题且q为假命题则a≤－1、33、解|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1,x∈[0,1]．①当x＝0时,a≠0,①式显然成立；当x∈(0,1]时,①式化为－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)≤a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)在x∈(0,1]上恒成立．设t＝eq\f(1,x),则t∈[1,＋∞),则有－t2－t≤a≤t2－t,所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥(－t2－t)max＝－2,a≤(t2－t)min＝0))⇒－2≤a≤0,又a≠0,故－2≤a<0、综上,所求实数a的取值范围是[－2,0)．34、解(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数,而另一个是3的倍数,∴p真,q真,∴p或q与p且q均为真,而非p为假．(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p假q假,∴p或q与p且q均为假,而非p为真．35、解(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形(真命题)．否命题：若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数,那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数,那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数,那么这个数不是偶数(假命题)．36、命题p等价于：,即37、解：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)－9x0－1)＝(3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3,∴eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2、当Δx无限趋近于零时,eq\f(Δy,Δx)无限趋近于3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9、即f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0－9∴f′(x0)＝3(x0＋eq\f(a,3))2－9－eq\f(a2,3)、当x0＝－eq\f(a,3)时,f′(x0)取最小值－9－eq\f(a2,3)、∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行,∴该切线斜率为－12、∴－9－eq\f(a2,3)＝－12、解得a＝±3、又a<0,∴a＝－3、38、解以两个定点A,B所在的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB|＝2a则设A(－a,0),B(a,0),动点M(x,y)．因为|MA|∶|MB|＝2∶1,所以eq\r((x＋a)2＋y2)∶eq\r((x－a)2＋y2)＝2∶1,即eq\r((x＋a)2＋y2)＝2eq\r((x－a)2＋y2),化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5a,3)))2＋y2＝eq\f(16,9)a2、所以所求动点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5a,3)))2＋y2＝eq\f(16,9)a2、39、解设P(x,y),M(x0,y0),∵P为MB的中点,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2),y＝\f(y0,2))),即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3,y0＝2y)),又∵M在曲线x2＋y2＝1上,∴(2x－3)2＋4y2＝1、∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1、40、证明：∵y＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx＋\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝eq\f(x2－1,x2)＝1－eq\f(1,x2)<1，∴y＝x＋eq\f(1,x)图象上的各点处的斜率小于1、41、解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．∴两交点坐标为，、，．∵△PFQ为等边三角形，则有（如图）．∴，即．解得，c＝2a．∴．（2）由（1）得双曲线C的方程为把．把代入得．依题意∴，且．∴双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为∵．∴．整理得．∴或．∴双曲线C的方程为：或42、解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝13))、∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋4－x2＋4,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δx2＋2x·Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x)＝2x、∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6、∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0、43、解：（I）设椭圆方程为解得a=3，所以b=1，故所求方程为（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得由题意得解得又直线l与坐标轴不平行故直线l倾斜角的取值范围是44、解：设点，则依题意有，整理得由于，所以求得的曲线C的方程为45、解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意解得∴椭圆方程为．（2）假若存在这样的k值，由得．∴．①设，、，，则②而．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．．③将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．46、解：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率k＝y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(3Δx＋2)＝2、∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0、所以所求直线方程为2x－y＋4＝0、47、（I）由已知，即所求曲线的方程是：（Ⅱ）由解得x1=0,x2=分别为M，N的横坐标）由所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0、48、解∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq\r(3)<4，∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，∴c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1，∴动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1、49、解(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4∴b2＝a2－c2＝52－42＝9、故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1、(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋2))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))2)＝eq\f(3\r(10),2)＋eq\f(\r(10),2)＝2eq\r(10)，∴a＝eq\r(10)、又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6、故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1、50、解依题意知Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，F(c,0)，B(0，b)．设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，得yP＝eq\f(b2,a)、∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))、∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即eq\f(b－0,0＋\f(a2,c))＝eq\f(\f(b2,a),c)、∴ab＝c2、∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b,c)，∴e2＝eq\f(a2－c2,c2)＝e－2－1、∴e4＋e2－1＝0、∵0<e<1，∴e＝eq\r(\f(\r(5)－1,2))、51、解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))得5x2＋2mx＋m2－1＝0、因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2)、(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(1,5)(m2－1)．设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，∴d＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq\r(2(x1－x2)2)＝eq\r(2[(x1＋x2)2－4x1x2])＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4m2,25)－\f(4,5)(m2－1))))＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2)、∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x、52、解(1)∵a＝2，c＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(a2－c2)＝1、∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1、(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋\f(1,2),2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y－\f(1,2).))又∵eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，∴eq\f((2x－1)2,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f(1,2)))2＝153、解以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30、由重心性质可知|GB|＋|GC|＝eq\f(2,3)(|BD|＋|CE|)＝20、∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝b2＝a2－c2＝102－62＝64，故G点的轨迹方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有eq\f(x′2,100)＋eq\f(y′2,64)＝1、由重心坐标公式知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3).))故A点轨迹方程为eq\f((\f(x,3))2,100)＋eq\f((\f(y,3))2,64)＝1、即eq\f(x2,900)＋eq\f(y2,576)＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．54、解(1)因直线x＝eq\f(15,4)与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)，－5))，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2,a2)－\f(32,b2)＝1，,\f(b2,a2)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))故所求的双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1、(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝又P与两顶点连线夹角为eq\f(π,3)，所以a＝|OP|·taneq\f(π,6)＝2eq\r(3)，所以b2＝c2－a2＝24、故所求的双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,24)＝1、55、解方法一(用韦达定理解决)显然直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k,x2－\f(y2,2)＝1))得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k(2－k),2－k2)，∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1、方法二(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1))，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝eq\f(1,2)(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2(x1＋x2),y1＋y2)，∴kAB＝eq\f(2×1×2,2×2)＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－eq\f(y2,2)＝1满足Δ>0、∴直线AB的方程为y＝x＋1、56、解方法一设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3、又点A的纵坐标为4，则横坐标为±eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f((±\r(15))2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1、方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±eq\r(15)，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|eq\r((±\r(15)－0)2＋(4＋3)2)－eq\r((±\r(15)－0)2＋(4－3)2)|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1、57、解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，代入sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得eq\f(|AC|,2R)－eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(1,2)·eq\f(|BC|,2R)，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4、因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝所以A点的轨迹方程为eq\