二次函数综合题-等腰三角形汇总

./二次函数综合题——等腰三角形一．解答题〔共30小题1．〔2014•XX模拟如图,已知二次函数图象的顶点为〔1,﹣3,并经过点C〔2,0．〔1求该二次函数的解析式；〔2直线y=3x与该二次函数的图象交于点B〔非原点,求点B的坐标和△AOB的面积；〔3点Q在x轴上运动,求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．2．〔2014秋•怀宁县校级月考如图,二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且△AOB的面积为6．〔1求该二次函数的表达式；〔2如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,请直接写出点P的坐标．3．〔2011•XX如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A〔4,0,与y轴交于点B．〔1求此二次函数关系式和点B的坐标；〔2在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．4．〔2014•XX模拟如图,已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A〔﹣1,0和点C〔0,﹣5．〔1求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．〔2在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P〔2,﹣2,连接OP,找出x轴上所有点M的坐标,使得△OPM是等腰三角形．5．〔2008秋•密云县期末已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点〔0,3〔3,0〔﹣2,﹣5,〔1求这个二次函数的解析式；〔2若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D〔C点在点D的左侧,且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ABC是等腰三角形,求出点B的坐标．6．〔2008•海淀区二模已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点〔0,3,〔3,0,〔﹣2,﹣5．求：〔1求这个二次函数的解析式；〔2求这个二次函数的最值；〔3若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D〔点C在点D的左侧,且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ACB是等腰三角形,求出点B的坐标．7．〔2006•松江区二模如图,已知二次函数y=x2+bx+c〔c≠0的图象经过点A〔﹣2,m〔m＜0,与y轴交于点B,AB∥x轴,且3AB=2OB．〔1求m的值；〔2求二次函数的解析式；〔3如果二次函数的图象与x轴交于C、D两点〔点C在左恻．问线段BC上是否存在点P,使△POC为等腰三角形？如果存在,求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．8．〔2010秋•永新县校级月考已知二次函数y=〔x﹣1〔x﹣4的图象与x轴交于A、B两点〔A在B的左边,与y轴交于点C．〔1求出A、B、C三点的坐标；〔2求△ABC的面积；〔3在y轴上是否存在点P,使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由．9．〔2013•德宏州如图,已知直线y=x与抛物线交于A、B两点．〔1求交点A、B的坐标；〔2记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2．若y1＞y2,求x的取值范围；〔3在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．10．〔2014•曲阜市模拟设二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0的图象与x轴的两个交点A〔x1,0,B〔x2,0,抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形．〔1当△ABC为等腰直角三角形时,求b2﹣4ac的值；〔2当△ABC为等边三角形时,求b2﹣4ac的值．11．〔2015•XX已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A〔﹣1,0、C〔0,3,与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D．〔1求此二次函数解析式；〔2连接DC、BC、DB,求证：△BCD是直角三角形；〔3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形？若存在,求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．12．〔2013秋•XX期末如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A〔4,0,与y轴相交于点B〔0,4,动点C是从点A出发,向O点运动,到达0点时停止运动,过点C作EC⊥x轴,交直线AB于点D,交抛物线于点E．〔1求二次函数的解析式；〔2连接OE交AB于F点,连接AE,在动点C的运动过程中,若△AOF的面积是△AEF面积的2倍,求点C的坐标？〔3在动点C的运动过程中,△DEF能否为等腰三角形？若能,请直接写出点F的坐标；若不能,请说明理由．13．〔2011•XX区模拟如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A〔﹣1,0,B〔3,0,C〔0,﹣3,它的顶点为M,且正比例函数y=kx的图象与二次函数的图象相交于D、E两点．〔1求该二次函数的解析式和顶点M的坐标；〔2若点E的坐标是〔2,﹣3,且二次函数的值小于正比例函数的值时,试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；〔3试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC为等腰三角形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．14．〔2006•XX如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M,与y轴的交点为A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与这个二次函数的图象交于点B．〔1求点A、B的坐标〔用含b、c的式子表示；〔2当S△BMN=4S△AMN时,求二次函数的解析式；〔3在〔2的条件下,设点P为x轴上的一个动点,那么是否存在这样的点P,使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在,请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．15．〔2011•东营模拟如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c〔c＞0的图象与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M．〔1求二次函数的解析式；〔2点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围；〔3探索：线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？如果存在,求出点N的坐标；如果不存在,请说明理由．16．〔2010•XX如图,已知二次函数y=的图象与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,其对称轴与x轴交于点D,连接AC．〔1点A的坐标为,点C的坐标为；〔2线段AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形？若存在,求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在,请说明理由；〔3点P为x轴上方的抛物线上的一个动点,连接PA、PC,若所得△PAC的面积为S,则S取何值时,相应的点P有且只有2个？17．〔2011•呼伦贝尔如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C,与y轴相交于点B,A〔,且△AOB∽△BOC．〔1求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；〔2在线段AC上是否存在点M〔m,0．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点〔与点B不同,且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由．18．〔2013•XX一模如图,二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为〔﹣2,0,与y轴交于点C〔0,3．〔1求出这个二次函数的解析式；〔2直接写出点B的坐标为；〔3在x轴是否存在一点P,使△ACP是等腰三角形？若存在,求出满足条件的P点坐标；若不存在,请说明理由；〔4在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大？若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在,请说明理由．19．〔2012•景宁县模拟已知二次函数y=﹣x2+4x+5图象交x轴于点A、B,交y轴于点C,点D是该函数图象上一点,且点D的横坐标为4,连BD,点P是AB上一动点〔不与点A重合,过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q,以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN．设点P的坐标为〔t,0．〔1求点B,C,D的坐标及射线AD的解析式；〔2在AB上是否存在点P,使△OCM为等腰三角形？若存在,求正方形PQMN的边长；若不存在,请说明理由；〔3设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s,求s与t的函数关系式．20．〔2013•XX如图,二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A〔﹣3,0和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E．〔1请直接写出点D的坐标：；〔2当点P在线段AO〔点P不与A、O重合上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值；〔3是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在,请说明理由．21．〔2013•XX一模如图,已知二次函数y=ax2+bx+8〔a≠0的图象与x轴交与A,B两点,与y轴交与点C,已知点A的坐标为〔﹣2,0,sin∠ABC=,点D是抛物线的顶点,直线DC交x轴于点E．〔1求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；〔2在直线CD上是否存在一点Q,使以B,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；〔3点P是直线y=2x﹣4上一点,过点P作直线PM垂直于直线CD,垂足为M,若∠MPO=75°,求出点P的坐标．22．〔2013•XX如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．〔1试求b,c的值,并写出该二次函数表达式；〔2动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问：①当P运动到何处时,有PQ⊥AC？②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？23．〔2014•北塘区二模已知二次函数y=mx2﹣5mx+1〔m为常数,m＞0,设该函数图象与y轴交于点A,图象上一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．〔1求点A、B的坐标；〔2点O为坐标原点,点M为函数图象的对称轴上一动点,求当M运动到何处时△MAO的周长最小；〔3若该函数图象上存在点P与点A、B构成一个等腰三角形,且△PAB的面积为10,求m的值．24．〔2015•黔东南州如图,已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A〔4,0,与y轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b．〔1求二次函数y1的解析式及点B的坐标；〔2由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；〔3在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在,求出P的坐标；若不存在,说明理由．25．〔2015•XX一模如图,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A〔﹣1,0．〔1求B、C两点坐标；〔2求该二次函数的关系式；〔3若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；〔4点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．26．〔2014•怀集县二模如图,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y=x2+bx+c的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．〔1试求点B、D的坐标,并求出该二次函数的解析式；〔2P、Q分别是线段AD、CA上的动点,点P从A开始向D运动,同时点Q从C开始向A运动,它们运动的速度都是每秒1个单位,求：①当P运动到何处时,△APQ是直角三角形？②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？27．〔2015•XX市如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A〔1,0和点B与y轴交于点C〔0,3,抛物线的对称轴与x轴交于点D．〔1求二次函数的表达式；〔2在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；〔3有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积．28．〔2015•XX如图,已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A〔0,4,与x轴交于点B、C,点C坐标为〔8,0,连接AB、AC．〔1请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；〔2判断△ABC的形状,并说明理由；〔3若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出此时点N的坐标；〔4若点N在线段BC上运动〔不与点B、C重合,过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标