2022年中考数学压轴题附答案

2022年中考数学压轴题

1.如图甲所示，已知直线丁1=一%+2与X轴和y轴分别相交于点A,B,直线”=辰+3-

2k(^0)与y轴相交于点C,两直线交于点P.

(1)求△AOB的面积；

(2)如图乙所示，过点尸作x轴的平行线交y轴于点若点8,C关于直线。尸对称，

求点。的坐标；

(3)当△3CP是以3c为腰的等腰三角形，求直线中的函数解析式.

解：(1)在直线)“=-3+£中，

当yi=0时，一孑+9=0，解得x=6；

当尤=0时，yi=

9

・・・A(6,0),B(0,-)

2

9

・・・。4=6,

11927

•••△AO8的面积为：一OA・OB=*x6x^=，

2222

27

•**/\AOB的面积为一；

2

(2)直线”=履+3-24(ZW0)中，当x=0时，y=3-2攵

：.C(0,3-2k)

把直线”=依+3-2&(k#0)代入直线户=一%+£中，得：

fcc+3-2k=—2

解得x=2

39

y=--

42

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：.P(2,3)

J直线PD为y=3

・・,点以。关于直线P。对称

9

A3-(3-28=尹3

.,3

33

A3-2)1=3-2x7q=5z

3

.,.点C的坐标为(0,-)；

(3)由(2)知:C(0,3-2。),P(2,3)

••收=另一3)2+22可

PC=V224-[3-(3-2fc)]2=V4+4fc2

当△BCP是以BC为腰的等腰三角形时

“35

若BC=BP,|一+2川=5

2/

1

解得：左=之或-2

尹+2或”="2x+7；

3________

若3C=CP,'+2川=，z4+4k2

；.(|+2k)2=4+4必

7

解得：k=24

•・"=存+适

综上所述，直线”的解析式为：yi-1x+2或”=-2x+7或*=各式+裳

2.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=%+,〃与无轴、y轴分别交于点A和点B

(0,-1),抛物线y=l?+^+c经过点B,且与直线/的另一个交点为C(4,〃).

(1)求“的值和抛物线的解析式；

(2)点。在抛物线上，且点力的横坐标为f(0<f<4).力后〃、轴交直线/于点E,点尸

在直线/上，且四边形。FEG为矩形(如图2),点”是直线BC上横坐标为-3的点.①

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若矩形QFEG的周长为p,求p与/的函数关系式以及p的最大值；②在0取最大值时，

有一动点Q从点H出发，以每秒v个单位的速度沿射线HB运动到/点,然后以每秒当u

个单位的速度从点/运动到点D,若要点Q所用时间最少直接写出点I的坐标；

(3)把直线BC绕着点A逆时针旋转45。，得到直线/'，点M是位于x轴上方的直线

I'上的一动点，是否存在点M,使NOMA=NABO?若存在，请求出M点坐标：如果

不存在，请说明理由.

1

解：⑴：直线/：y=分+〃?过点8(0,-1)

.'.m--1,直线/：)=3-1

•.,点C(4,n)在直线/上

1

：.n=±x4-1=1

,/抛物线尸#+bx+c经过点B、C

晨1解得：M=

(8+4b+c=llc=-1

.•.抛物线解析式为产p-|x-1

1q

(2)①；。(?,一尸—宗-1),Of")，轴交直线/于点E

2乙

1

.•.£1(/,-r-1)

1131n

DE=手-1-(-ro—-1)=—,广+2f

1

•・j，=y-1=0时，1=2

・・・A(2,0),OA=2

：.AB=V224-l2=V5

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••0A22底/.nc°B1V5

..sin/AB°=而=而=丁cos/A8°=同=不=可

•.•四边形。FEG是矩形

：.ZDFE=ZAOB=()0°

'：DE//y轴有/£>£F=/ABO

/•sinXDEF=第=cosNDEF=寨=若

：.DF=^-DE,EF=^-DE

・5万066店八"6底(17..3店"、⑸3>/5,力12店

・・p—2(DF+EF)=-g-DE=—g-(—]r+2f)=——g-rH——g—r=——g-(r-2)4——g—

...当r=2时，p的最大值为与

②0取得最大值时，D(2,-2)

:“在直线8c上且横坐标为-3

：.H(-3,-1)

：sin/ABO=器=竽，即0A=等A8

2V5

・•・动点。的速度从U变为时，转动角度=N5Ar,

.•・/£)〃x轴即：”=”)=-2

1

-x-1=-2解得：x=-2

2

・・./的坐标为(-2,-2)

(3)存在满足条件的点M,使N0MA=NA30.

如图，过点B作直线，于点M过点N作STLy轴于S,过点A作A1UST于T

工/BSN=/BNA=NT=90°

：.4SBN+/BNS=NBNS+NANT=90°

:・/SBN=/ANT

•；NBAN=45°

:・BN=NA

:・/\BSN义ANTA(AAS)

:・BS=NT,SN=TA

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设N(m〃)，则SN=〃，AT=-a

：.BS=OS-OB=AT-0B=-a-\,NT=ST-SN=OA-SN=2-n

rn=-nIM=o

设直线Z1解析式为y="+z,直线/'过点N、A

J|fc+z=-|解得：『=3

直线「解析式为y=3x-6

作点8(0,-1)关于x轴的对称点3',过8作夕ML直线/1于点M,连接A3、OM

：.B'(0,1),NABO=NAB'O

ZAOB'=ZAMB'=90°

...点。、M在以为直径的圆上

ZOMA-ZOB'A-ZABO

设直线8M解析式为：y=kx+\

・・・心3=-1即?=

直线B,M解析式为：尸-1x+l

...卜=-/+1解得：r-w

ly=3x-6[y=^

3.如图1,抛物线y=-#+bx+c与x轴交于点A、点8(4,0),与y轴交于点C；直线

)=一%+4经过点C,与x轴交于点。，点P是第一象限内抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式;

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(2)若NPCB=NDCB,求△△?£)的面积；

(3)如图2,过点C作直线/〃x轴，过点尸作PH，/于点H,将△CPH绕点C顺时针

旋转，使点H的对应点恰好落在直线C。上，同时使点尸的对应点P'恰好落在坐

标轴上，请直接写出此时点尸的坐标.

：.C(0,4)

；抛物线y=-过点B(4,0)、C

・(-8+4b+c=0解得.0=1

•口0+0+。=4用华僧.tc=4

・・・抛物线解析式为尸一妹+"4

(2)如图1,直线。尸与x轴交于点G,过点。作。灯LC8于点E,交直线CP于点尸,

连接BF.

：.ZCED=ZCEF=90°

在△CDE与△CPE中

Z.DCE=乙FCE

CE=CE

ZCED=Z.CEF

.,.△CDE^ACFF(ASA)

：.DE=FE,即8C垂直平分。尸

：.BD=BF

•:B(4,0),C(0,4)

JOB=OC

・・・NO8C=45°

：.ZCBF=ZOBC=45°

・・・/DBF=90°

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当y=-于什4=0时，解得：x=3

：.D(3,0)

：.BF=BD=4-3=\

：.F(4,1)

设直线CF解析式为y=kx+4

：解得：

.4k+4=lk=-7q

Q

・♦・直线CP：尸一5+4

当y=0时，一孑+4=0,解得：工=学

Gz

(16一

\3O)136~3

得

解

xx

:・SAPCD=S〉CDG-S^PDG=jDG*OC—^DG*yp=^DG<OC-yp）=3（4-g）=m

49

.♦.△PCD的面积为;

（3）①若点P，落在y轴上，如图2,

•//\CPH绕点C旋转得△CPH,“在直线CD上

:.NPCH=NPCH

•・•NOCB=NBCH=45°

：.NOCB-NOCTf=/BCH-ZPCH

即NDCB=NPCB

711

由（2）可得此时点P（--）.

28

②若点P落在x轴上，如图3,过点”■作儿轴于点M,交直线/于点N

四边形OCMW是矩形

:.MN=0C=4,

；0。=3,ZCOD=90°

JCD=y/OC2+OD2=5

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sinZOCD=黑=I，cosZOCD=母=之，

设点P坐标(p,-%2+p+4)(0<p<4)

:・CH=CH=p,P'FT=PH=4-(-1p2+p+4)=^p2-p

・・,的〃》轴

:・/CHN=/OCD

NH'4

，RtACNH中，cosZCHN=涝=g

:.NH=

4

：.MH=MN-NH=4一9

NPMH=NPHC=90°

：./P'HM+/CHN=NPHM+NHPM=90°

：./HPM=NCHN

：.RtA/fP'M中，sinZH'P'M=舞=|

4P3

,・那-p-5

解得：p]=-4(舍去)，〃2=学

••一%+p+4=--g-+-3-+4=可

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VA

图1

4.如图，AB是。。的直径，点C是OO上一点（与点4,8不重合），过点C作直线PQ,

使得NACQ=/ABC.

（1）求证：直线PQ是。。的切线.

（2）过点A作AD_L尸0于点。，交OO于点E,若。。的半径为2,sin/D4C=4,求

图中阴影部分的面积.

0

解：（1）证明：如图，连接0C,

；AB是OO的直径,

AZACB=90°,

"：OA=OC,

：.ZCAB=ZACO.

第9页共16页

Q

:NACQ=ZABC,

：.ZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90",BPOCA.PQ,

直线PQ是。。的切线.

(2)连接OE,

'：sinZDAC=ADLPQ,

4c=30°,ZACD=60°.

AZABC=ZACD=60a,

：.ZCAB=90°-60°=30°,

.•.NE4O=N£>AC+/C4B=6(r,

又：OA=OE,

...△HE。为等边三角形，

AZAO£=60°.

•,•5阴影=S扇形-SAAEO

=S扇形一^0/4sin60°

=SUX22_IX2><2XT

=明遮.

图中阴影部分的面积为,-V3.

5.如图，在△ABC中，NACB=90°,将△ABC沿直线4B翻折得到连接C£>交

AB于点M.E是线段CM上的点，连接B£.F是△/?£>£的外接圆与A。的另一个交点，

连接EF,BF.

(1)求证：△8EF是直角三角形；

(2)求证：ABEFsABCA；

(3)当AB=6,8C=切时，在线段CM上存在点E,使得E尸和AB互相平分，求相的

值.

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c

(1)证明：VZACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,

AZADB=ZACB=90°,

•:NEFB=NEDB,NEBF=/EDF,

：.NEFB+NEBF=/EDB+/EDF=ZADB=90°,

：.ZBEF=90°,

•••△BEF是直角三角形.

(2)证明：＜BC=BD,

:・NBDC=NBCD,

•:/EFB=/EDB,

:・NEFB=/BCD,

「ASAO,BC=BD,

：.ABl.CDf

・・・NAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:.NBCD=NCAB,

:・/BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90Q,

:•△BEFsXBCA.

(3)解：设EE交AB于/.连接

・・・EF与A3互相平分，

・・・四边形AFBE是平行四边形，

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・/EFA=NFEB=90°,BPEF±AD,

VBD±A£>,

：.EF//BD,

*：AJ=JBf

：.AF=DFf

Irn

：.FJ=^BD=y,

；・EF=m,

AABCsACBM,

：.BC：MB=AB：BC,

m2

o

•:ABEJsABME,

：.BE：BM=BJ：BE,

；・BE=R,

二△BEFS/XBCA,

,ACBC

••=,

EFBE

5«36-m2m

即--------=H，

m至

解得加=2g（负根已经舍弃）.

6.如图1,已知四边形A8CQ是菱形，G是线段C£＞上的任意一点时，连接BG交AC于F,

第12页共16页

过尸作"/〃交BC于”，可以证明结论成立.(考生不必证明)

ABBG

(1)探究：如图2,上述条件中，若G在CQ的延长线上，其它条件不变时，其结论是

否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(2)计算：若菱形ABCD中A8=6,NAOC=60°,G在直线C£)上，且CG=16,连

接BG交AC所在的直线于尸，过尸作尸”〃CD交8c所在的直线于“，求BG与尸G的

长.

FHPC

⑶发现：通过上述过程，你发现G在直线。上时，结论方=茄还成立吗?

FHFG

【解答】解:G)结论方=茄成立

证明：由已知易得F”〃A3,

.FHHC

*AB~BC

HCFG

,:FH〃GC,

BC~BG

,FHFG

*AB~BG

(2)・・，G在直线上，

・,•分两种情况讨论如下：

①G在CO的延长线上时，QG=10,

如图1,过B作3Q_LC£＞于。，

由于四边形A3CD是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6,N8CQ=60°,

:・BQ=3®CQ=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

FHBH

又由F//〃GC,可得二7=:，

而△CFH是等边三角形,

第13页共16页

：.BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,

FH6-FH

166

48

：.FH=^

人FHFG

由（1）知—=

ABBG‘

F_H_B_G_二竺.L2回=—V97

:・FG=AB116乙"/

②G在。。的延长线上时，CG=16,

如图2,过，作BQ_LCG于0,

•・•四边形ABC。是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6fN8CQ=60°.

:.BQ=3ACQ=3,

：.BG=132+(3V3)2=14.

FHBH

又由F〃〃CG,可得二7=

GCBC’

FHBH

166

•:BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

・•・昨4早8

■:FH〃CG,

BFFH

BGCG

4842

ABF=14X--4-16=--.

・・・FG=14+等=平.

FH48_8

⑶G在OC的延长线上时’方6

一5,

FG1128

—=-----+14=一，

BG55

.FHFG

・・--=---成立•

ABBG

FHPC

结合上述过科发现G在直线8上时，结