多项式理论在初等数学中的应用-毕业设计论文正稿

.①比较等式两端对应项的系数,得方程组上面=4\*GB3④的同是原式常数项的因数,因此和的值可能有下面四组.或或或将代入=3\*GB3③式得=5\*GB3⑤将=1\*GB3①、=5\*GB3⑤联立,解得.但是不满足=2\*GB3②式,因此不是方程的解.将代入=3\*GB3③,得=6\*GB3⑥将=1\*GB3①、=6\*GB3⑥联立,解得.并且满足=2\*GB3②,因此是方程组的解.所以待定系数法比较简单,也容易理解,但会涉及到解多个方程组,计算量往往会加大.只有在分解因式前先观察最高次项系数与常数项系数,再找出多项式的所有有理根,才能有效降低待定系数法的难度.2.3分离重因式法设有典型分解式,若,有且不能被整除.利用最大公因式法得.令比较上述有关式子可知.上述意思是若用除以,则得商是一个与具有完全相同的不可约因式而没有重因式的多项式.由此得思想：若将能分解的话,便知的不可约因式,再确定每个不可约因式在的重数〔作带余除法直至不能整除例5在有理数域上分解多项式.解第一步：求,第二步：求,第三步：由带余除法得：第四步：分解：第五步：确定每个因数的重数,︳,分离重因式法是线性代数中的一种基本方法,用途十分广泛,但它必须建立在多项式有重因式的基础上,否则就无法使用.因式分解是一项重要的基本技能训练,在分式运算,解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解,所以对因式分解我们应给予足够重视.3一元高次方程定理2设中次多项式在复数域C中有个根则根与系数的关系是定理3〔代数基本定理任何次多项式在复数域上至少有一个根.定理4若实数多项式有一个非实的复数根,那么的共轭根也是的根,并且与有同一重数.换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对.3.1已知方程的所有的根,求方程.例6求所有以有理数为根的方程解利用根与系数的关系知满足〔=1\*romani若<或>,由=3\*GB3③知,代入=1\*GB3①得〔或〔=2\*romanii若,但,由=2\*GB3②得,代入=1\*GB3①得,显然,是方程的根；〔=3\*romaniii若均不为0,由=3\*GB3③得代入=1\*GB3①=2\*GB3②得这个方程有且仅有一个有理根,从而,.显然有根1和重根.综上所述,所求方程为或或例7求有单根与以及二重根的四次多项式.解由根与系数的关系知：,,,.因此所求多项式是或〔.3.2已知方程的部分根,求解方程.例8已知方程有一个根是,解此方程.解因为实系数方程的虚根成对出现,故也是上述方程的根,由代数基本定理可知此方程有个根,设此方程其余两根为、,由根与系数的关系得此题还可用综合除法求得是所给方程的二重根,然后再利用实系数多项式的非实复根两两成对理论求出方程的另一根.3.3已知方程组,求方程组的解.形如方程组其中,都是一元高次方程,求方程的解.对于这类题,我们可以考虑从方程组的公共根出发,利用辗转相除法求和的最大公因式,再令其等于零.例9解方程组解令,,对,施行辗转相除法,求得,令,得.即原方程组的解是.4多项式的恒等定理5〔多项式恒等定理数域F上的两个多项式恒等的充要条件是它们的次数相同,且同次项系数对应相等即,且例10对于任意的实数,不等式恒成立,求满足条件的.解要使上述不等式成立,只要是一个实数式的平方加上一个正数,于是令则由定理5知所以当,且时,原不等式恒成立.例11若为任意实数,证：直线系必经过定点证明将上述直线系转化成关于的恒等式此恒等式对于任意实数是恒成立的,所以由定理5知解得故直线系必经过定点〔1,-2.定理6如果数域上有两个次数不大于的多项式和,对于的个不同的值都有相等的值,那么它们恒等,即.例12求证其中为互不相等的复数.证明令它是一个二次式,但当分别以代入时有且,根据定理6,有定理7〔拉格朗日插值恒等式对于给定数域F里的个互不相同的数以及个不全为0的数,总有一个次数不超过的多项式使得且这个多项式可以唯一表示为例13求一个次多项式,使它在处与函数有相同的值.解由题意得,,,由定理得.例14已知函数,满足,,那么应满足解由拉格朗日插值多项式有从而又,5证明一类数是无理数在初等代数中,我们是利用有理数与无理数的区别来证明无理数的〔见证法二这里我们可以考虑用多项式理论中的方法来解决.我们可以先构造等式,然后利用艾森斯坦判断法或待定系数法证明其在有理数域上的不可约性,说明多项式没有有理根,但它又是多项式的根,从而得出这个数是无理数.定理8若,是个不相同的素数,而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.证明设令则,,取素数,,|,但由艾森斯坦判断法知在有理数域上不可约,故无有理根,但是的根,从而只能是无理数.例15证明是无理数.证法1设令,则,,.令,则,|,.故在有理数域上不可约,即无有理根,但是的根,从而只能是无理数.证法2设不是无理数,而是有理数.既然是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：,再假设和没有公因数可以约,所以可以认为为最简分数,即最简分数形式.把两边平方得即.由于是偶数,必定是偶数,设,由得.同理必然也为偶数.设,既然和都是偶数,它们必定有公因数,这与前面假设是最简分数矛盾.这个矛盾是由是有理数引起的.因此是无理数.例16证明是无理数.证明设令,为了能够利用艾森斯坦判断法,需把变形,为此令,故.取,,|,|,|,由艾森斯坦判断法知,在有理数域上不可约.即无有理根,但是的根,所以只能是无理数.例17证明是无理数.证明设两边平方得即.令,取,,︱.由艾森斯坦判断法知,在有理数域上不可约.即无有理根,但是的根,所以只能是无理数.6结术语本论文主要是运用多项式理论知识对初等数学中的若干问题的进一步探讨,通过对多项式的理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用,我们看到在初等数学中我们认为棘手或无法解决的问题,用高等代数中的方法,得到了很好地解决.从而看出多项式理论在初等数学中的应用是十分广泛的.对于教师来说,掌握相当程度的高等数学知识并在教学中适当地加以渗透并运用,对提高数学教学质量是非常有益的,而且只有用高等数学的知识、观点和方法以一种居高临下的态势,审视初等数学教学内容,才能使初等数学的教学达到理想的境界.对于〔特别是学有余力的学生来说,体会并掌握解题的不同方法,不仅可以提高学生快速解题的能力,还有助于学生思维的发展,从而提高学生学习数学的兴趣,激发学生学习的热情.参考文献[1]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007:38-80.[2]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995:69-82.[3]张宗标,徐伟.一类一元多项式的标准分解式的解法[J].考试周刊,2008,12<5>:41.[4]杨琴.关于一元多项式的因式分解[J].XX民族大学学报<教育科学版>,2010,30<5>:14-17.[5]XX,高等代数同步辅导及习题全解[M].XX:中国矿业大学出版社,2009:51-65.[6]潘铁.浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题[J].中等数学,2010,8<10>:7-10.[7]张同君,陈传理.竞赛数学解题研究[M].北京:高等教育出版社,2006:69-73.[8]唐剑.浅谈高师高等代数课程对中学数学教学的指导作用[J].中国西部科技,2011,10<34>:72-73.[9]OrueHalilandPhillipsMG,ExplicitfactorizationoftheVandermondematrix[J]．LinearAlgebraAppl,2000.[10]A.T.Lawrence,FundementalConceptsofElementaryMathematics,HarpenandRaw,1977.谢辞在本论文的写作过程中,我的导师..老师倾注了大量的心血,从