《8.1　成对数据的统计相关性》教案与分层同步练习

《8.1成对数据的统计相关性》教案（第一课时变量的相关关系）课标要求素养要求1.结合实例，体会两个变量间的相关关系.2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断.通过对两个变量相关关系的学习，提升直观想象及数据分析素养.【课前预习】新知探究俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”，这说明施肥的多少对粮食的产量影响很大，那么粮食的产量还受其他因素的影响吗？施肥量和粮食的产量是确定的函数关系吗？两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗？为了搞清这些问题，我们需要学习本节内容．问题上述情境中施肥量与粮食产量之间到底具有怎样的关系？提示上述两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系．1．相关关系两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．2．正相关、负相关从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．3．线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．拓展深化[微判断]1．统计活动中，分析数据时通常用统计图表计算数据的数据特征．(√)2．在一定范围内，农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系．(√)3．对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图．(√)[微训练]1．(多选题)下列说法正确的是()A．任何两个变量都具有相关关系B．圆的周长与该圆的半径具有相关关系C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D．根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系解析A显然不对，B是函数关系，CD正确．答案CD2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．答案C[微思考]相关关系与函数关系的区别和联系是什么？提示相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：(1)函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高，而且他们的脚也变大.【课堂互动】题型一相关关系的理解【例1】判断以下两个变量之间是否具有相关关系？(1)正方形的面积与其周长之间的关系；(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；(3)学生的学号与身高；(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．解(1)设正方形的面积为S，周长为C，则S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系；(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系；(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；(4)若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有s＝vt，因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系．规律方法函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．【训练1】(多选题)下列说法正确的是()A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系B．同一物体的加速度与作用力是函数关系C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系解析闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正确．答案ABD题型二散点图与相关性【例2】某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：树龄2345678体积30344060556270(1)请作出这些数据的散点图；(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？解(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系．【迁移1】(变条件，变问法)若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．解近似拟合直线如图所示：【迁移2】(变条件，变问法)若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木材的价值与树龄之间关系的散点图．解木材的价值与树龄之间的关系如表所示：树龄2345678体积30344060556270价值2400272032004800440049605600以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示：规律方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．【训练2】5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下：学生成绩ABCDE数学成绩8075706560物理成绩7066686462判断它们是否具有线性相关关系．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示．由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系．题型三散点图及其应用【例3】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？解(1)散点图如下：(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．规律方法1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．2．在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．【训练3】(多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是()A．沸点与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强解析由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．答案BCD【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升直观想象及数据分析素养．2．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关．二、素养训练1．下列每组的两个变量之间具有相关关系的是()A．乌鸦叫，灾难到B．圆心角的大小与半径C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系D．儿童的年龄与身高解析A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系．答案D2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜解析瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，没有必然的关系，故选D.答案D3．观察下列散点图，具有相关关系的是()A．①② B．①③C．②④ D．②③解析①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系．答案D4．(多选题)对于给定的两个变量的统计数据，下列说法不正确的是()A．都可以分析出两个变量之间的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析给出一组样本数据，不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似地表示，故A、B不正确；但总可以作出相应的散点图，C正确；两个变量的统计数据不一定有函数关系，故D不正确．答案ABD5．(多选题)下列关系是相关关系的是()A．角度和它的余弦值B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系C．作文水平与课外阅读量之间的关系D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系解析A，D中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而B，C中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系．故选BC.答案BC【课后作业】基础达标一、选择题1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．正方体的棱长与体积B．读书破万卷，下笔如有神C．数学成绩与物理成绩D．光照时间与水稻的单位产量解析A具有函数关系．答案A2．下列说法正确的是()A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量B．正四面体的体积与棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病病人数是具有相关关系的两个变量解析A，B均为函数关系，C，D为相关关系．答案D3．下列图形中具有相关关系的两个变量是()解析A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C，D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系．答案D4．(多选题)有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是()A．① B．②C．③ D．均不正确解析①，③具有相关关系，②具有确定的关系，即函数关系．答案AC5．下列说法正确的是()A．任何两个变量之间都有相关关系B．根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值C．相关关系是一种不确定的关系D．以上答案都不对解析变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种依赖关系．利用相关关系可以估计某些相关数据，但是不能确定准确的数值．答案C二、填空题6．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有__________(填序号)．①球的体积和它的半径；②人的身高和体重；③底面积为定值的长方体的体积和高；④城镇居民的消费水平和平均工资．解析球的体积公式为V＝eq\f(4,3)πr3，长方体的体积V＝S·h，都是确定的关系，因此①③中两个变量为函数关系，而②④中的两个变量，不是函数关系而是相关关系．答案①③7．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是__________(填序号)．解析散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.答案③8．某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如下表所示.i(年)12345x(户数：万户)11.21.61.82y(煤气消耗量：百万立方米)679.81212.1i(年)678910x(户数：万户)2.53.244.24.5y(煤气消耗量：百万立方米)14.5202425.427.5其散点图如图所示．从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数__________(填“线性相关”或“线性不相关”)；若两者关系可近似为直线y＝6.057x＋0.082，则当煤气用户扩大到5万户时，该市煤气消耗量估计是__________百万立方米．解析由散点图发现图中各点在一条直线附近，所以煤气消耗量与使用煤气户数是线性相关关系．给出近似直线方程，只需将x＝5代入即可．此时6.057×5＋0.082＝30.367百万立方米．答案线性相关30.367三、解答题9．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温(℃)2518121040杯数183037355054(1)根据表中的数据画出散点图；(2)你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？解(1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图．(2)从散点图中可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性相关关系，且当气温越高时，所卖出的热茶的杯数就越少．10．在7块并排的、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：施化肥量15202530354045水稻产量330345365405445450455(1)画出散点图；(2)判断它们是否具有线性相关关系．解(1)以施化肥量为横坐标，其对应的水稻产量为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，得散点图．(2)观察散点图，知散点图中的点分布在一条直线附近，则水稻产量与施化肥量之间具有线性相关关系．能力提升11．如图所示，有5组(x，y)的数据，去掉__________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析显然去掉D组数据后，x，y的线性相关性最大．答案D12．有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：(单位：亿元)第n年12345678910年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0销售额25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)画出散点图．你能从散点图中发现居民年收入与该种商品销售额之间的近似关系吗？(2)如果它们之间近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系．解(1)散点图如图所示：从散点图中可以看出年收入与销售额之间的总体趋势成一条直线，也就是说它们之间是线性相关关系．(2)所画直线如图所示．创新猜想13．(多选题)下列关系中，是相关关系的为()A．学生的学习态度与学习成绩之间的关系B．教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系C．学生的身高与学生的学习成绩之间的关系D．家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系解析A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系；B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；CD都不具备相关关系．答案AB14．(多选题)从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法不正确的是()A．人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系B．汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系C．吸烟量与健康水平之间没有相关关系D．气温与热饮销售好不好之间没有相关关系解析从统计学的角度看，在一定年龄段内，人体的脂肪含量与年龄之间有相关关系，∴A错误；汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系，∴B正确；吸烟量与健康水平之间有相关关系，∴C错误；气温与热饮销售好不好之间有相关关系，∴D错误．答案ACD8.1成对数据的统计相关性（第二课时样本相关系数）课标要求素养要求1.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.通过学习样本相关系数，提升数学抽象及数据分析素养.【课前预习】新知探究散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？问题若样本系数r＝0.97，则成对样本数据的相关程度如何？提示r＝0.97，表明成对样本数据正线性相关程度很强．1．相关系数r的计算注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用sx＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，sy＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)分别除xi－eq\o(x,\s\up6(－))和yi－eq\o(y,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n，eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y1－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y2－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(yn－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).2．相关系数r的性质(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．(2)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系r＝eq\f(1,n)x′·y′＝eq\f(1,n)|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq\r(n)，θ为向量x′和向量y′的夹角)．拓展深化[微判断]1．回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．(√)2．若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．(×)提示若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系．3．样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．(×)提示样本相关系数的范围是[－1，1]．[微训练]1．下面对相关系数r描述正确的是()A．r>0表明两个变量负相关B．r>1表明两个变量正相关C．r只能大于零D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于0，两个变量相关关系越弱解析因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈[－1，1]，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D正确．答案D2．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是()解析因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合．故选ACD.答案ACD[微思考]当r＝1或－1时，两个变量的相关性如何？提示当r＝1时，两个变量完全正相关；当r＝－1时，两个变量完全负相关.【课堂互动】题型一线性相关性的检验【例1】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数为r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(（116584－10×107.82）（47384－10×682）))≈0.7506.由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．规律方法利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器．【训练1】假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)对x，y进行线性相关性检验．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.(2)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.78－125＝15.78，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.所以x与y之间具有很强的线性相关关系．题型二判断线性相关的强弱【例2】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．甲醛浓度x18202224262830缩醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求样本相关系数r并判断它们的相关程度．解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11826.86324721.4596483.4822028.35400803.722556732228.75484826.5625632.542428.87576833.4769692.8852629.75676885.0625773.562830.0078490084073030.36900921.7296910.80∑168202.9441445892.01364900.16eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(168,7)＝24，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(202.94,7)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4144－7×242)\r(5892.0136－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))≈0.96.由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．规律方法当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．【训练2】以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．房屋大小x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图；(2)求相关系数r，并作出评价．解(1)图略．(2)列表如下：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi111524.813225615.042852211021.612100466.56237638018.46400338.561472413529.218225852.643942510522110254842310∑545116609752756.812952eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(545,5)＝109，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(116,5)＝23.2，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(12952－5×109×23.2,\r(60975－5×1092)\r(2756.8－5×23.22))＝eq\f(308,\r(1570)×\r(65.6))≈0.96，由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.【素养达成】一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断．3．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强．二、素养训练1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值()A．越小 B．越接近1C．越接近0 D．越接近－1解析由相关系数的性质知选C.答案C2．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则()A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关C．y与x负线性相关 D．以上都不对解析因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关．答案C3．(多选题)下列说法正确的是()A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．线性相关系数r∈(－1，1)解析∵相关系数|r|≤1，∴D错误．答案ABC4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi16236412283649243105100255041261443672∑361634474158eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36,4)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(16,4)＝4，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xiyi－4\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－4\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(158－4×9×4,\r(344－4×81)\r(74－4×16))≈0.99.【课后作业】基础达标一、选择题1．已知某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为－0.97，这说明二者之间存在着()A．高度相关 B．中度相关C．弱度相关 D．极弱相关解析由|－0.97|比较接近1知选A.答案A2．关于两个变量x，y与其线性相关系数r，有下列说法：①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若|r|越趋近于1，则x与y的线性相关程度越强；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．其中正确的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．答案D3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量进行线性相关试验，并分别求得相关系数r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85则这四位同学的试验结果能体现出A，B两变量有更强的线性相关性的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知，丁的线性相关性最强，故选D.答案D4．对于相关系数r，下列结论正确的个数为()①r∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强②r∈[0.75，1]时，两变量正相关很强③r∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般④r＝0.1时，两变量相关性很弱A．1 B．2C．3 D．4解析由相关系数的性质可知4个结论都正确．答案D5．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝13，r＝0.9950.则变量y和x线性相关程度最高的两组是()A．①② B．①④C．②④ D．③④解析相关系数r的绝对值越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高．答案B二、填空题6．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．解析因为r>0，所以大多数的点都落在第一、三象限．答案一、三7．若已知eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的4倍，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的1.5倍，则相关系数r的值为__________．解析由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，得r＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)8．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值x与工业增加值y资料如下表(单位：百万元)：固定资产价值33566789910工业增加值15172528303637424045根据上表资料计算的相关系数为__________．解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))≈0.9918.答案0.9918三、解答题9．5个学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462试用散点图和相关系数r判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关？解散点图法：涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，考察因变量物理成绩的变化趋势．以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图．由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关．(相关系数r法)列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1807064004900560027566562543564950370684900462447604656442254096416056062360038443720∑350330247502182023190∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))))＝eq\f(23190－23100,\r(250×40))＝0.9＞0.∴两变量具有相关关系且正相关．10．某火锅店为了了解营业额y(百元)与气温x(℃)之间的关系，随机统计并制作了某6天当天营业额与当天气温的对比表．气温/℃261813104－1营业额/百元202434385064画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系．解画出散点图如图所示．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi－6\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6\o(y,\s\up6(－))2))，可得r≈－0.98.由于|r|的值较接近1，所以x与y具有很强的线性相关关系．能力提升11．为考察两个变量x，y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关程度()x510152025y103105110111114A.很强 B．很弱C．无相关 D．不确定解析eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xi＝75，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))y＝543，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1375，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝8285，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝59051，eq\o(x,\s\up6(－))＝15，eq\o(y,\s\up6(－))＝108.6，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0.9826，故相关程度很强．答案A12．下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.由折线图看出，y与t有线性相关关系，请用相关系数加以说明．附注：参考数据：eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.参考公式：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).解由折线图中数据和附注中参考数据得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，所以y与t的线性相关程度相当高．创新猜想13．(多选题)对于线性相关系数r，以下说法错误的是()A．r只能是正值，不能为负值B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))≤1，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相关程度越大；相反则越小C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))≤1，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相关程度越小；相反则越大D．r<0时表示两个变量无相关解析由相关系数的性质知B正确，其余均错误．答案ACD《8.1成对数据的统计相关性》分层同步练习【基础达标练】1.在下列散点图中,变量x,y不具有相关关系的是()解析由相关关系的定义,如果散点大部分分布在一条曲线附近,那么就说这两个变量具有相关关系,可知选项D的散点没有这一特征,不具有相关关系.故选D.答案D2.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化的繁殖情况,得到如下实验数据,并分析可得经验回归方程为y^天数x/天34567繁殖个数y/千个2.5344.5cA.5 B.6C.7 D.8解析∵x=3+4+5+6+75=5,且(x,y)在经验回归直线上,∴(2.5+3+4+4.5+c)=4×5=20,解得c=6.故选B.答案B3.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是()解析用残差图判断模型的拟合效果,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明这样的模型比较合适.若带状区域的宽度越窄,则说明模型的拟合精度越高.答案A4.某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(单位:杯)与气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的销售量与气温,并制作了对照表:气温/℃181310-1销售量/杯24343864由表中数据分析,可得经验回归方程y^=-2x+a.当气温为-4℃A.68杯 B.66杯 C.72杯 D.77杯解析∵x=18+13+10-14∴y=-2x+a,即a=40+2×10=60.∴经验回归方程为y^∴当x=-4时,y^答案A5.某相关变量x,y的散点图如图所示,现对这两个变量进行回归分析,方案一,根据图中所有数据分析,可得到经验回归方程y^=b1x+a1,样本相关系数为r1;方案二,剔除点(10,32),根据剩下数据分析,可得到经验回归方程y^=b2x+a2,样本相关系数为r2.则A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0解析由题中散点图可知,变量x和y成正相关,故0<r1<1,0<r2<1,在剔除点(10,32)之后,可看出经验回归直线y^=b2x+a2的线性相关程度更强,故r1<r2所以0<r1<r2<1.故选A.答案A6.关于残差图的描述错误的是()A.残差图的横坐标可以是样本编号B.残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量C.残差分布的带状区域的宽度越窄R2越小D.残差分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析残差分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,则残差平方和越小,此时R2的值越大,故描述错误的是选项C.答案C7.由一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),经分析可得经验回归方程为y^=3x+a^,若x=1.5,y=2,则a^解析因为x=1.5,y=2,经验回归方程为y^=3x+a^,所以2=3×1.5+a^答案-2.58.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=12请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选.(填序号)解析画出散点图如图所示.由图可知上述散点大体分布在函数y=log2x的图象的附近,故选择y=log2x可以近似地反映这些数据的规律.故填④.答案④9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568(1)求销量y关于单价x的经验回归方程y^=b^x+a^(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)解(1)因为x=16所以a^=y(2)设工厂获得的利润为L(单位:元),依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20x-当且仅当x=334故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.10.在一段时间内,某网店一种商品的销售价格x(单位:元)和日销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表:价格x/元2220181614日销售量y/件3741435056求出y关于x的经验回归方程,并用R2说明拟合效果.参考数据:∑i=15xiyi=3992,解作出散点图(图略),观察散点图可知这些点散布在一条直线的附近,故可知x与y线性相关.因为x=y=所以b^a^所以经验回归方程为y^yi-y^i与yi-yi-y10.3-2.4-0.11.2yi-y-8.4-4.4-2.44.610.6计算得∑i=15(yi-y^∑i=15(yi-y)所以R2=1-8.因为0.964很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.【能力提升练】1.如图,若去掉D(3,10)后,则下列说法错误的是()A.样本相关系数r变大B.残差平方和变大C.R2变大D.解释变量x与响应变量y的相关性变强解析由题中散点图,可知去掉点D后,x与y的相关性变强,且为正相关,所以r变大,即R2变大,残差平方和变小.答案B2.已知(x,y)的一组数据为(1,2),(3,5),(6,8),(x0,y0),且y关于x的经验回归方程为y^=x+2,则x0-y0A.-3 B.-5 C.-2 D.-1解析x=14(10+x0),y∵经验回归方程为y^∴14(15+y0)=14(10+x解得x0-y0=-3.故选A.答案A3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程模型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx解析结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+blnx.答案D4.某工厂为研究某种产品产量x(单位:吨)与所需某种原材料y(单位:吨)的相关关系,在生产过程中收集了4组对应数据(x,y)如下表所示:x3456y2.534m根据表中数据,得出y关于x的经验回归方程为y^=0.7x+a.据此计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为解析由在样本(4,3)处的残差为-0.15,可得y^由题意可知产量x的平均值为x=因为经验回归直线过点(x,所以y=0.7x+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5.又因为y=所以m=4.5.答案4.55.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(单位:件)与平均气温x(单位:℃)之间的关系,随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温,其数据如下表:时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均气温x/℃381217旬销售量y/件55m3324由表中数据算出经验回归方程y^=b^x+a^中的b(1)表中数据m=.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为件.解析(1)由y=(2)由a^=y故y^当x=22时,y^故三月中旬的销售量约为14件.答案(1)40(2)146.流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季两个流行高峰.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计,得到如下数据:年龄x23456患病人数y2222171410(1)求y关于x的经验回归方程;(2)计算样本相关系数r(计算结果精确到0.01),并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强?(若|r|∈[0.75,1],则x,y相关性很强;若|r|∈[0.3,0.75),则x,y相关性一般;若|r|∈[0,0.25],则x,y相关性较弱.)参考数据:30≈5.477.参考公式:b^样本相关系数r=∑i=1解(1)由题意可得x=2+3+4+5+65b^(-2a^故y关于x的经验回归方程为y^(2)r=∑i=1-32由r<0,可知x,y负相关.又因为|r|∈[0.75,1],所以x,y相关性很强.因此,可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.7.为了防控疫情,某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品,该产品的成本由原料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关,根据已经生产的统计数据,绘制了如右的散点图:观察散点图,两个变量不具有线性相关关系,现考虑用函数y=a+bx对两个变量的关系进行拟合.参考数据如下其中ui=1xiuu∑∑i=16∑∑i=16ui00.410.16811.49230620858.44173.850.39(1)求y关于x的经验回归方程,并求y关于u的样本相关系数(精确到0.01);(2)该产品采取订单生