高中数学《数列的概念》同步练习与同步检测试卷及答案解析

选择性必修二《4.1数列的概念》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．数列中不能重复出现同一个数B．与是同一数列C．不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项4．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．355．下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可以表示为B．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D．数列的项数一定是无限的6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A． B．C． D．7．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．108．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．5179．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，010．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．以上都不对二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列的一个通项公式是___________12．已知数列中，…，则__________．13．已知数列的前项和，则__________.14．填适当的数：1，，（________），2，，（________），15．在数列中，第3项是______；是它的第______项.16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.19．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.20．已知数列中，.（1）写出数列的前5项.（2）猜想数列的通项公式.21．已知数列的通项公式为，且，，求和.22．已知数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先写出的通项是，数列的通项公式是．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．数列中不能重复出现同一个数B．与是同一数列C．不是数列D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同【答案】D【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如，故A不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可判断，是数列，即C不正确；由数列定义可知，D正确，故选：D.3．已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】C【解析】令，解得.故选：C4．若数列{an}的通项公式为an＝n(n－2)，其中n∈N*，则a6＝（）A．8 B．15 C．24 D．35【答案】C【解析】代入通项公式得，，故选：C．5．下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可以表示为B．数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列C．数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点D．数列的项数一定是无限的【答案】C【解析】A中，表示集合，不是数列；B中，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；D中，数列的项数可以是有限的也可以是无限的．故选：C．6．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.7．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】由已知．故选：C．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）第1行1第2行23第3行4567……A．132 B．261 C．262 D．517【答案】B【解析】由题意知第行有个数，此行最后一个数为，∴第八行的最后一个数为，∴该数表中第9行的第6个数为261.故选：B.9．已知数列的通项公式为，则该数列的前4项依次为（）A．1，0，1，0 B．0，1，0，1C． D．2，0，2，0【答案】A【解析】因为，所以分别取1，2，3，4，可得．故选：A．10．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【解析】在数列中，，，，，，数列是周期为3的周期数列，，．故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．数列的一个通项公式是___________【答案】，【解析】因为数列，所以通项公式可以为，故答案为：，12．已知数列中，…，则__________．【答案】【解析】当时，有①当时，有②由①÷②，可得故答案为：13．已知数列的前项和，则__________.【答案】【解析】当时，，当时，，当时，，所以，故答案为：14．填适当的数：1，，（________），2，，（________），【答案】【解析】分析可得，这列数可化为：，，，，，，，故答案为：；.15．在数列中，第3项是______；是它的第______项.【答案】【解析】令，则，所以第3项是；令，解得，所以是它的第项.故答案为：；.16．函数的最小值记为，设，则数列，的通项公式分别是________，________.【答案】【解析】当时，，即；将代入得，，故答案为，17．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．【答案】5【解析】依题意，设，则，，故，，故；因为，，，故以此类推，n是奇数，，故，n是偶数，，故，所以.故答案为：；5.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在数列中，.若是递增数列，求的取值范围.【答案】【解析】解析由是递增数列得，，即，整理得，恒成立，解得.∴的取值范围是.19．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以20．已知数列中，.（1）写出数列的前5项.（2）猜想数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得：，，，.（2）猜想：21．已知数列的通项公式为，且，，求和.【答案】,.【解析】∵，，代入通项公式中得，解得，,∴,∴.22．已知数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.【答案】（1）.，，，.（2），详见解析【解析】解：（1）当时，，.当时，，，当时，，，当时，，，当时，，.（2），，，，，由此猜想.《4.1数列的概念》同步练习（提高练）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．若数列的通项公式为，则（）A．27B．21C．15D．132．在数列中，，（，），则A．B．C．2D．63.数列的通项公式，其前项和为，则A．B．C．D．4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1B．2C．3D．45．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．66．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（）A．230B．20C．D．7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项10．已知数列满足，，，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知数列的前项和为，，，则________.12.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为______．13．观察下列数表：设1025是该表第m行的第n个数，则______.14．已知数列对任意的满足，且，则_______，_______.15．设数列的前n项和为，满足，则_________；_________.16．已知在数列中，且，设，，则________，数列前n项和________．17．已知数列{}对任意的n∈N*，都有∈N*，且=①当=8时，_______②若存在m∈N*，当n>m且为奇数时，恒为常数P，则P=_______三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.19．数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.20．数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.（1）求的值；（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；（3）求的通项公式.21．数列中，，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．22．已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0.（1）若，求的值；（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．若数列的通项公式为，则（）A．27B．21C．15D．13【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.2．在数列中，，（，），则A．B．C．2D．6【答案】D【解析】，（，），，，则.3.数列的通项公式，其前项和为，则A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的周期性可，同理得，可知周期为4，．4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为，，所以，，，，，故选：B5．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】由题意知，，由，得，，或．①当时，，，或，或．②若，则，或，当时，，此时，或，当时，，此时，或，综上，满足条件的的值共有6个．故选：D．6．观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（）A．230B．20C．D．【答案】C【解析】观察数列得出规律，数列中的项中，指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，且指数、对数、余弦值以3为循环，，可得第20项为.故选：C.7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.本题选择D选项.8．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选：A.9．已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项【答案】A【解析】∵,∴,则,即,∴.易知,∵,当时,,∴当时,,当时,,又,∴当时,有最小值.故选：A10．已知数列满足，，，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】C【解析】因为，所以递增，从而，当时，，所以，排除A.当时，因为，所以，所以，所以，从而，故有.故选：C.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知数列的前项和为，，，则________.【答案】【解析】由得，所以数列以为周期，又，，所以.故答案为：.12.数列中，已知，，若，则数列的前6项和为_____．【答案】32【解析】∵数列中，，，，∴，，，，，，解得，∴数列的前6项和为：，故答案为：32.13．观察下列数表：设1025是该表第m行的第n个数，则______.【答案】12【解析】根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数，第一行1个数；第二行个数，且第一个数是；第三行个数，且第一个数是；第四行个数，且第一个数是；…第10行有个数，且第一个数是，第二个数是1025，所以1025是该表第10行的第2个数，所以，，则故答案为：12.14．已知数列对任意的满足，且，则_______，_______.【答案】【解析】由题意，根据条件得，则，而，所以，…，由此可知，从而问题可得解.15．设数列的前n项和为，满足，则_________；_________.【答案】；【解析】（1）当时，，解得.（2）当时，令可得，，即，令可得，,解得：，则.16．已知在数列中，且，设，，则________，数列前n项和________．【答案】【解析】，为常数列，，，适合上式．∴，，，∴．故答案为：；．17．已知数列{}对任意的n∈N*，都有∈N*，且=①当=8时，_______②若存在m∈N*，当n>m且为奇数时，恒为常数P，则P=_______【答案】【解析】，则故从第二项开始形成周期为的数列，故当为奇数时，为偶数，故若为奇数，则，故，不满足；若为偶数，则，直到为奇数，即故，当时满足条件，此时，即故答案为：①；②三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.【答案】最大项为【解析】设是该数列的最大项，则∴解得∵，∴，∴最大项为点睛：求数列最大项或最小项的方法（1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．19．数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）∵．n=1时，可得a1＝4，n≥2时，．与．两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1时，也满足，∴.（2）=∴Sn，又，可得n>9，可得最小正整数n为10．20．数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.（1）求的值；（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；（3）求的通项公式.【答案】（1）（2）证明见解析；.（3）【解析】（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，…，可得an+3＝an，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；故3为数列{an}的一个周期，则＝3，k∈N*，则；（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，则1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，∴c＝2，Asinφ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，则tanφ＝﹣，∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴A＝﹣，故．21．数列中，，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．【答案】（1），（2），且是正整数【解析】（1）∵，∴∴（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是由可得∴∴∵，∴即由，得，解得或∵是正整数，∴所求的取值范围为，且是正整数22．已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0.（1）若，求的值；（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）由得，∴，，，；（2）若，则，，即，故只要即可，因为，所以，∴，解得；（3）由得，设，，则，，，故有项，为有穷数列.即取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.《4.1数列的概念》同步检测试卷一、单选题1．数列的第6项是（）A．1B．2C．3D．42.在数列{an}中，Sn＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于()A．11B．15C．17D．203．已知数列，则是这个数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项4．在数列{}中，若，，则=A．16B．17C．18D．195．若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（）A．B．C．D．6．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列7．在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．以上都不对8．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A．B．C．D．9．已知数列满足，，则的值为（）A．2B．-3C．D．10．下列叙述正确的是（）A．数列，，，与，，，是相同的数列B．数列，，，，…可以表示为C．数列，，，，…是常数列D．数列是递增数列11．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．12．已知数列的前项和，第项满足，则（）A．9B．8C．7D．6二、填空题13．数列,,,，,…的一个通项公式为_______．14．若数列满足，则_____.15．在数列中，第3项是______；是它的第______项.16．已知数列中,,（）,则___________三、解答题17．已知数列满足，且，求.18．已知数列满足.（1）计算；（2）并猜想的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.19．在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.20．数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；（3）实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？21.已知数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前多少项和最大．22．数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.答案解析一、单选题1．数列的第6项是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】易得该数列为后项与前项的差都为,故前6项是.故第6项为2.故选：B2.在数列{an}中，Sn＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于()A．11B．15C．17D．20【答案】A【解析】当时，，当时，，当时，上式也满足，故.所以.故选：A3．已知数列，则是这个数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【答案】B【解析】数列通项公式为，当，解得，故选：B.4．在数列{}中，若，，则=A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】因为，，所以，所以.选B.5．若数列的前项分别是、、、，则此数列一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：A.6．已知数列的通项公式是，那么这个数列是（）A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列【答案】A【解析】，，，因此，数列是递增数列.故选：A.7．在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．以上都不对【答案】A【解析】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.8．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，故选：B．9．已知数列满足，，则的值为（）A．2B．-3C．D．【答案】D【解析】由题得，所以数列的周期为4，所以.故选：D10．下列叙述正确的是（）A．数列，，，与，，，是相同的数列B．数列，，，，…可以表示为C．数列，，，，…是常数列D．数列是递增数列【答案】D【解析】对于A，数列，，，与，，，不是相同的数列，故A错误；对于B，数列，，，，…可以表示为，故B错误；对于C，数列，，，，…是摆动数列，故C错误；对于D，数列是递增数列，故D正确.故选：D.11．数列，，，，，，的一个通项公式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2