微积分练习1教学课件

微积分练习12024-01-24微分学基本概念与运算微分中值定理及其应用不定积分基本概念与性质定积分基本概念与性质广义积分与含参变量积分微分方程初步知识contents目录01微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。导数的几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数的定义导数定义及几何意义三角函数求导例如，$(sinx)'=cosx$，$(cosx)'=-sinx$等。对数函数求导$(log_ax)'=frac{1}{xlna}$，其中a为大于0且不等于1的常数。指数函数求导$(a^x)'=a^xlna$，其中a为大于0且不等于1的常数。常数求导$(C)'=0$，其中C为常数。幂函数求导$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中n为实数。常见函数求导法则高阶导数的定义如果函数$y=f(x)$的导数$f'(x)$在点$x_0$处仍然存在导数，则称这个导数为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的二阶导数，记作$f''(x_0)$。类似地，可以定义三阶、四阶等更高阶的导数。高阶导数的计算可以通过连续应用求导法则来计算高阶导数。例如，对于幂函数$f(x)=x^n$，其二阶导数为$f''(x)=n(n-1)x^{n-2}$。高阶导数计算隐函数与参数方程求导如果变量$x$和$y$之间的关系由一个方程$F(x,y)=0$给出，且不易解出$y=f(x)$，则称这种关系为隐函数关系。对于隐函数，可以通过对方程两边同时求导来求出隐函数的导数。隐函数求导如果变量$x$和$y$之间的关系由一组参数方程$begin{cases}x=varphi(t)y=psi(t)end{cases}$给出，则可以通过对参数方程两边同时求导来求出参数方程所确定的函数的导数。具体地，有$frac{dy}{dx}=frac{psi'(t)}{varphi'(t)}$。参数方程求导02微分中值定理及其应用罗尔定理01如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一个$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。拉格朗日中值定理02如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一个$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。应用03这两个定理在证明函数性质、求解方程和不等式等方面有广泛应用。例如，利用罗尔定理可以证明某些函数在给定区间内存在零点；利用拉格朗日中值定理可以估计函数在某区间内的变化率。罗尔定理与拉格朗日中值定理柯西中值定理如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则至少存在一个$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。应用柯西中值定理是罗尔定理和拉格朗日中值定理的推广，它可以处理两个函数之间的比值问题。在证明不等式、求解方程和研究函数性质等方面有广泛应用。例如，利用柯西中值定理可以证明某些复杂的不等式；还可以用于研究两个函数之间的相对变化率。柯西中值定理及其应用泰勒公式如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，则存在一个多项式$P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，使得$f(x)=P_n(x)+R_n(x)$，其中$R_n(x)$是余项。泰勒级数展开如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导数，且余项$R_n(x)$随着$n$的增大而趋于零，则可以将函数$f(x)$展开为无穷级数$sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$。应用泰勒公式和泰勒级数展开在近似计算、误差估计和函数性质研究等方面有广泛应用。例如，利用泰勒公式可以将复杂函数近似为简单的多项式函数进行计算；利用泰勒级数展开可以将某些函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行数值计算和理论分析。泰勒公式与泰勒级数展开03不定积分基本概念与性质若函数$F(x)$的导数等于$f(x)$，即$F'(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。原函数定义函数$f(x)$的所有原函数称为$f(x)$的不定积分，记作$intf(x)dx=F(x)+C$，其中$C$为任意常数。不定积分定义原函数与不定积分定义线性性质幂函数的积分法则三角函数的积分法则指数函数的积分法则不定积分基本性质及运算法则$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$，其中$a,b$为常数。例如$intsinxdx=-cosx+C$，$intcosxdx=sinx+C$等。$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$nneq-1$。$inte^xdx=e^x+C$。通过变量代换简化积分运算。例如，对于$intsin(lnx)dx$，可令$u=lnx$，则$du=frac{1}{x}dx$，从而$intsin(lnx)dx=intsinudu=-cosu+C=-cos(lnx)+C$。换元积分法适用于被积函数是两个不同类型函数的乘积的情况。例如，对于$intxsinxdx$，可令$u=x,dv=sinxdx$，则$du=dx,v=-cosx$，从而$intxsinxdx=-xcosx+intcosxdx=-xcosx+sinx+C$。分部积分法换元积分法和分部积分法04定积分基本概念与性质定积分是函数在一个区间上的积分，表示函数图像与x轴所围成的面积。定积分的几何意义可以理解为求曲边梯形的面积，其中被积函数表示梯形的高，积分区间表示梯形的底。定积分定义及几何意义定积分的几何意义定积分的定义可积条件函数在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点，则该函数在该闭区间上可积。定积分的性质定积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。可积条件与定积分性质微积分基本定理建立了定积分与不定积分之间的联系，通过求原函数的方法计算定积分的值。利用微积分基本定理可以简化定积分的计算过程，特别是对于被积函数为初等函数的情形。同时，微积分基本定理也是求解一些实际问题的重要工具，如求曲线的长度、旋转体的体积等。微积分基本定理微积分基本定理的应用微积分基本定理及应用05广义积分与含参变量积分利用极限性质计算无穷限广义积分，如$int_{a}^{+infty}f(x)dx=lim_{bto+infty}int_{a}^{b}f(x)dx$通过换元法将无穷限广义积分转化为普通定积分，如令$t=frac{1}{x}$，可将$int_{0}^{+infty}frac{f(frac{1}{x})}{x^2}dx$转化为$int_{0}^{1}f(t)dt$利用函数的奇偶性和周期性简化无穷限广义积分的计算无穷限广义积分计算利用柯西主值定理计算无界函数的广义积分，即$int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{epsilonto0^+}(int_{a}^{c-epsilon}f(x)dx+int_{c+epsilon}^{b}f(x)dx)$通过变量替换或分部积分等方法简化无界函数广义积分的计算对于无界函数的广义积分，如$int_{a}^{b}f(x)dx$，其中$f(x)$在$[a,b]$上有界，但在某点$cin[a,b]$处无界，可通过分段函数的方法将其转化为两个有界函数的定积分进行计算无界函数广义积分计算对于含参变量的常义或广义积分，如$int_{a}^{b}f(x,y)dx$，其中$y$为参数，可通过求导或微分等方法研究其性质，如连续性、可微性等利用莱布尼兹公式计算含参变量常义或广义积分的导数，即$frac{d}{dy}int_{a}^{b}f(x,y)dx=int_{a}^{b}frac{partialf(x,y)}{partialy}dx$通过变量替换、分部积分等方法简化含参变量常义或广义积分的计算含参变量常义或广义积分计算06微分方程初步知识03求解一阶线性微分方程的特解通过代入初始条件或边界条件求解常数C01一阶线性微分方程的标准形式$y'+p(x)y=q(x)$02求解一阶线性微分方程的通解公式$y=e^{-intp(x)dx}(intq(x)e^{intp(x)dx}dx+C)$一阶线性微分方程解法$y''=f(x)$型通过积分两次得到通解$y=int(intf(x)dx)dx+Cx+D$$y''=f(x,y')$型令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dx}$，将原方程化为关于p的一阶方程求解$y''=f(y,y')$型令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p和y的一阶方程求解可降阶高阶微分方程解法二阶常系数线性微分方程的标准形式两个相等的实根一对共轭复根求解二阶常系数非齐次线性微分方程…两个不相等的实根求解二阶常系数齐次线性微分方程的…$ay