2022全国乙卷高考真题数学（文）（教师版）

2022全国乙卷高考真题

数学（文）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合用={2,4,6,8,10},N={x|—lvx<6},则Mp|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.(2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

2.设(l+2i)a+〃=2i,其中匕为实数,则（)

A.a=1,b=-\B.a=l9b=1C.。=-1,b=lD.。=-1,b=—\

3.已知向量M=（2,l）,6=(—2,4),则再一］|=()

A.2B.3C.4D.5

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：〃），得如图茎叶图:

则下列结论中错误的是（）

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

J..2,

5.若x,y满足约束条件<x+2y”4,则z=2x-y的最大值是()

y..0,

A.B.4C.8D.12

6.设方为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在。上,点8(3,0),若|AF|=|8尸|,贝U|A8|=()

A.2B.2夜C.3D.372

7.执行如图的程序框图，输出的〃=（)

CW)

/输入a=l,b=l,n=1/

（结束一）

A.3B.4C.5D.6

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

nX，-X

B-

2xcosx八2sinx

C.y=2T~D-y=^—

/+1X+1

9.在正方体A3C。—a4G〃中，E,产分别为AB,8c的中点，贝lj（）

A.平面平面B.平面乌石尸，平面43。

C.平面4石尸//平面AACD.平面耳印//平面4G。

10.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,4一6=42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

11.函数/(x)=cosx+(%+l)sinx+l在区间(0,2列的最小值、最大值分别为（）

7171用，工c2，畀

A.一,—B.--rrD.T2

2222

12.己知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时,

其高为（）

A.\B.-

2-4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记S“为等差数列｛凡｝的前“项和.若2s3=3邑+6,则公差d=.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

15.过四点(0,0),(4,0),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17.(12分)记A48c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)证明：2/=加+C2.

18.(12分)如图，四面体A8CZ)中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面组＞1.平面ACD;

(2)设舫=8。=2,NACB=60。，点尸在班)匕当AAFC的面积最小时，求三棱锥尸-ABC的体积.

A

19.(12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选

取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：机b和材积量(单位：M),得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积X；0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量》0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0,038,=1.6158,£.r,.y;=0.2474.

；=l/=1；=1

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186,7.已知树

木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数厂=/J“，71.896®1.377.

JZu-^)2Z(x-y)2

V/=li=l

20.(12分)已知函数/(x)=ax-----(a+V)lnx.

(1)当a=0时，求f(x)的最大值；

(2)若/(x)恰有一个零点，求。的取值范围.

21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),8(；,-1)两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于历，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段43交于点7,点〃满足

Mf=TH.证明：直线"N过定点.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4-4：

坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=6cos",«为参数),以坐标原点为极点，》轴正半轴

［j=2sinf

为极轴建立极坐标系，己知直线I的极坐标方程为psinS+g)+加=0.

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求机的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

333

23.己知a,b,C都是正数，且/+及+府=1,证明：

(1)abc,,g;

,八abc1

(2)+----+----,,—=.

b+ca+ca+b2J1abc

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1•【分析】直接利用交集运算求解即可.

【解答】解：•.•M={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6},

.-.MQ?/={2,4}.

故选：A.

【点评】本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2.【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.

【解答】解：：(1+2i)a+人=2i,

[a+b=0

:.a+b+2ai=2i,n即n《，

[2a=2

解得]

故选：A.

【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.

3.【分析】先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可.

【解答】解:a-b=(4,-3),

故卜_,=次+㈠y=5,

故选：D.

【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题.

4.【分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案.

【解答】解：由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为9至=7.4,选项A说法正确;

2

由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,选项8说法正确；

甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为色=?<0.4,选项C说法错误；

168

乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为U=Q8125>Q6,选项。说法正确.

16

故选：C.

【点评】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题.

5.【分析】作出可行域，根据图象即可得解.

【解答】解：作出可行域如下图阴影部分所示，

由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x-y取得最大值，且最大为8.

故选：C.

【点评】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.

6.【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可.

【解答】解：尸为抛物线C：V=4x的焦点(1,0),点A在C上，点仇3,0),|AFR8F|=2,

由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=J(3-+(-2)2=24.

故选：B.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题.

7.【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的”值.

【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下：

输入a=l,b=\，〃=1,

计算〃=1+2=3，a=3—1=2,〃=2,

321

判断|一一2|=上=0.25..0.01,

2-4

计算。=3+4=7,<2=7—2=5,〃=3，

721

判断If-2|=五=0.04..0.01；

计算6=7+10=17,a=17-5=12,77=4,

判断I二一2|=」-<0.01；

122144

输出〃=4.

故选：B.

【点评】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

8.【分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除8,3选项，再利用cosx在(0,.)

的周期性可判断C选项错误.

【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，

其次观察函数在(1,3)存在零点，

r3_r

而对于5选项：令y=0,即5」=0,解得x=0,或x=l或x=-l,故排除5选项；

x2+\

对于。选项，令y=0,即当竺=0,解得》=左万，keZ,故排除。选项；

X+1

C选项：当x>0时，2x>0,x2+l>0,因为cosxe-1,1],故坐旦,，之=：,且当x>0时，

22

X+1%+1v+l

X

I2

XH—..2»故---1，

xI

x+-

X

而观察图像可知当x>0时，/(%)_..1,故C选项错误.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.

9.【分析】对于A,易知EFUAC,AC_L平面从而判断选项A正确；对于5,由选项A及平面8£>RC

平面ABQ=8。可判断选项3错误；对于C,由于照与5E必相交，容易判断选项C错误；对于。，易知平面

ABC//平面AG。，而平面ABC与平面4EF有公共点用，由此可判断选项。错误.

【解答】解：对于A,由于E,尸分别为8c的中点，则防//AC,

又AC_LBD,AC1DD,,BD^\DDt=D,且DRu平面BDR,

ACJ_平面BDDt,则_L平面BDDt,

又EFu平面B]EF,

平面B,£FJ■平面BDDt,选项A正确；

对于3,由选项A可知，平面平面5£)q,而平面BDRC平面=8。，在该正方体中，试想R运动至

A时，平面gEF不可能与平面4,8。垂直，选项5错误；

对于C,在平面AB4A上，易知44,与&E必相交，故平面与平面A4c不平行，选项C错误；

对于D,易知平面ABC//平面ACQ,而平面AB。与平面区七户有公共点用，故平面耳族与平面4G。不可能

平行，选项。错误.

【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.

10.【分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得在的值.

【解答】解：设等比数列｛%｝的公比为4，4=0,由题意，q^\.

•前3项和为％+%+%=~—=168,a-a=a-q-a-q4=-q(l-q3)=42,

1-q25t｝

1“

:.q=3,q=96,

则4=4,4'=96x*=3,

故选：D.

【点评】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题.

11.【分析】先求出导函数f'(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x='或称，根据导函数尸(x)的正负得到函数

〃x)的单调性，进而求出函数〃力的极值，再与端点值比较即可.

【解答】解：/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,XG[O,2/r],

则fr(x)=-sinx+sinx-F(x+1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，x=2或—,

22

.•.当xe[0,至时，f\x)>0,/(x)单调递增；当x吗,4)时，f\x)<0,f(x)单调递减；当xe亨，2划

时，f'(x)>0，/(x)单调递增，

.•"(X)在区间[0,2加上的极大值为f(9=^+2,极小值为/(当)=-当，

又•.•/(())=2,〃2%)=2,

二.函数f(x)在区间[0,2词的最小值为-网，最大值为出+2,

22

故选：D.

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题.

12•【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，由勾股定理可知该四棱锥的高

/?=6^,所以该四棱锥的体积Y=再利用基本不等式即可求出丫的最大值，以及此时。的值，进

而求出h的值.

【解答】解：由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为八

则r-^^a,

2

二.该四棱锥的高〃=4-£,

该四棱锥的体积丫=

22A

当且仅当t=1-6，即时，等号成立,

423

【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【分析】根据已知条件，可得2（4+/+%）=3（4+%）+6,再结合等差中项的性质，即可求解.

【解答】解：♦.,2邑=3邑+6,

2（4+。2+4）=3（4+%）+6,

•••{4}为等差数列,

6a2=3%+3%+6,

r.3（4—q）=3"=6,解得d=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查等差数列的前〃项和，考查转化能力，属于基础题.

14•【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的

个数，由此求出甲、乙被选中的概率.

【解答】解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，

从5人中选3人有以下10个基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；

甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；

故甲、乙被选中的概率为3.

10

方法二：

由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C；=10,

甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C；=3,

根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率尸=4=2.

C：10

【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.

15•【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程.

【解答】解：设过点(0,0),(4,0),(―1,1)的圆的方程为丁+V+以+砂+尸=0,

尸=0

即“6+4。+/=0,解得F=0,D=-4,E=-6,

2-D+E+F=0

所以过点(0,0),(4,0),(-1,1)圆的方程为/+9-4*-6)，=0.

同理可得，过点(0,0),(4,0),(4,2)圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.

过点(0,0),(-1,1),(4,2)圆的方程为f+y2Hx-竺y=0.

33

过点(4,0),(-1.1),(4,2)圆的方程为Y+y2一£x_2y—£=o.

故答案为：x2+y2-4x-6y=0(^x2+y2-4x-2y=0^x2+y2=+/--yX-2y-^=0).

【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题.

16•【分析】显然axO,根据函数解析式有意义可得，xxl且XX1+2，所以1进而求出。的值，代入函

aa

数解析式，再利用奇函数的性质/(0)=0即可求出。的值.

【解答】解：/(x)=In|a+—-—\+b,

1-x

若。=0,则函数/(x)的定义域为{x|xwl},不关于原点对称，不具有奇偶性，

aw0，

由函数解析式有意义可得，XW1且0+」一。0,

1-X

X¥I且元工1H---,

・・・函数fM为奇函数，定义域必须关于原点对称，

/.1+—=—1,角军得a=--,

a2

/.f(x)=In|1+A|+b,定义域为{x|xwl且xw-l},

2(1-x)

由/(0)=0得，加g+b=。，

:.h=bi2，

故答案为：；ln2.

2

【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。

17,【分析】(1)由sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A),结合A=28,可得sinC=sin(C-A),即C+C—A=万,再由

三角形内角和定理列式求解C;

(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.

【解答】解：(1)由sinCsin(A-_B)=sinBsin(C-A),

又A=2区，/.sinCsinB=sin8sin(C-A),

・・・sin8wO,/.sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C-A=;r,

A=23

联立<2C—A=/r，角军得C=—7T；

8

A+8+C=7i

证明:(2)由sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A),

得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB=sinBsinCeosA-sinBcosCsinA,

由正弦定理可得accosB-becosA=bccosA-abcosC,

a2+c2-rb~2c,bC~+c2-a"2.ar2+b~12-c"2

由余弦定理可得:=2bcab

2ac--------------2bc------------------2ab

整理可得：2/=6+C2.

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题.

18.【分析】(1)易证=所以AC_L8E,又AC上DE,由线面垂直的判定定理可得ACJ■平面

BED,再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面ACD；

(2)由题意可知AABC是边长为2的等边三角形，进而求出8E=6，AC=2,AD=CD=叵,DE=\,由勾

股定理可得Z)E_LBE,进而证得£)EJ_平面A8C,连接斯，因为AF=C/，则EF_LAC,所以当£FJ_8Z)时，

EF最短,此时AAFC的面积最小，求出此时点F到平面ABC的距离，从而求得此时三棱锥尸-ABC的体积.

【解答】证明：(1)-.AD=CD,ZADB=ABDC,BD=BD,

:.^ADB=\CDB,

.-.AB=BC,又「E为AC的中点.

:.AC±BE,

-.-AD=CD,E为AC的中点.

ACIDE,又•.•84］。片=£；,

AC_L平面BED,

又「ACu平面ACD,

.•・平面班D_L平面ACD；

解：(2)由(1)可知=

:.AB=BC^=2,ZACB=60。，；.AABC是等边三角形，边长为2,

:.BE=>j3,AC=2,AD=CD=42,DE=i,

DE2+BE2=BEr,;.DEYBE,

又ACp\BE=E,

.,.DEJ"平面ABC,

由(1)知=AAF=CF,连接EF,则所'_LAC,

x

.・S^FC=g*A。EF=EF,

.,.当£F_LB£>时，防最短，此时AZIFC的面积最小，

过点F作FGLBE于点G,则FG//£>£,，FG_L平面ABC,

DExBEV3

,/EF=-------=——，

BD2

22EFxBF

:.BF=^BE-EF=-,:.FG=.=l,

2BE4

三棱锥F-ABC的体积V=-xSxFG=

3MBHC3444

【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算

能力，是中档题.

19.【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可.

【解答】解：(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为元，平均一棵的材积量为了，

则根据题中数据得：元=竺=0.06机2,y=—=0.39w3;

1010

1()1()

(2)由题可知，一"”)Zw%一时

0.0134_0.0134_0.0134

i=lx0.97

fioio-r^ioioV0.002x0.0948~0.01xJ1.896-0.01377

助X-庭2疙城-南2)

V/=1i=l/=1i=\

(3)设总根部面积和X,总材积量为y,则工=土，故y=2理X186=12O9(1).

Yy0.06

【点评】本题考查线性回归方程，属于中档题.

20.【分析】(1)将“=0代入，对函数〃幻求导，判断其单调性，由此可得最大值；

(2)对函数,f(x)求导，分a=0,a<0,Ovavl,a=1及a>1讨论即可得出结论.

【解答】解：(1)当。=0时，/(x)=—lnx(x>0),则f\x)==

Xx~XX

易知函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减，

.•./(X)在x=l处取得极大值，同时也是最大值,

二.函数/(幻的最大值为/(1)=-1;

/八£，/、1a+1ax1-(a+l)x+1(x-l)(at-l)

(2)j(x)=a+------=-------；------=------------

x

①当4=0时，由（1）可知，函数/（X）无零点；

②当4<0时，易知函数/（X）在（0,1）上单调递增，在（l,y）上单调递减,

又/（1）=4-1<0,故此时函数/（X）无零点；

③当0<”1时，易知函数/(x)在(0,l),d,+oo)上单调递增，在(1一)单调递减，

aa

且.f(1)=a-l<0,/(l)=l-a+(a+l)/n«<0.

a

又由(1)可得，—+Inx..1,BPIn-.A-x,则/nrvx,ln\[x<4x,则历¥<26，

XX

当x>l时，f(x)=ax---(a+\)bvc>ax---2(。+1)•\[x>ax-(2a+3)«，

xx

41

故存在m=(二+2)2>—,使得

aa

二.此时f(x)在(0,+oo)上存在唯一零点；

④当a=l时，/(x)=(x-,D-..O,函数f(x)在(0,”)上单调递增，

x~

又/(1)=0,故此时函数/(X)有唯一零点；

⑤当4>1时，易知函数/（X）在（0,3,（1,+8）上单调递增，在（L1）上单调递减,

aa

且/（1）=。一1>0,

又由（1）可得，当Ovxvl时，lnx>\~—,则/小6>1——二，则/.>2（1-

Xy/x

此时f(x)=ax---2(i+1)(1——^=)<---+"C"，

XyjxXyjx

故存在n=-7<L使得fW<。，

4（a+l）~a

故函数f（x）在（0,+oo）上存在唯一零点；

综上，实数。的取值范围为（0,+oo）.

【点评】本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题，考查分类讨论思想及运算求

解能力，属于难题.

21•【分析】（1）设£的方程为32+町;2=］（机，〃>0且将A,8两点坐标代入即可求解；（2）由

4。,-2）反1）可得直线,尸*2'①若过尸（卜2）的宜线的斜率不存在‘直线为X”代入椭圆方程，根

据说^而即可求解；②若过P（l,-2）的直线的斜率存在，设点-y-（2+2）=0,M（M，yj,N（w，y2）,联立

kx-y-(k-i-2)=0

,W(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,结合韦达定理和已知条件即可求解.

------1------=1

34

【解答】解：（1）设£的方程为"V+〃），=1（机>0,〃>0且加工〃），

[4,?=1

将A(O,-2),B(3,-1)两点代入得，9

2—/n+n=l

14

解得m=-9n=­f

34

22

故£的方程为三+匕=1；

34

39

(2)由40,—2),8(一,一1)可得直线48:丁二一工一2

23

22

(1)若过点尸(1,-2)的直线斜率不存在，直线x=l.代入工+二=1,

34

可得M(l,-半)W(l,半)，代入AB方程y=|x-2,可得T-亚+3,-孚)，由丽5=闲，得到

”(-2#+5,-半).求得“N方程：y=(2+半)x-2,过点(0,-2).

②若过PQ-2)的直线的斜率存在，设Ax-y-(Z+2)=0,M(x，y),N(x2,y2),

kx-y-(k+2)=0

2

联立fy2得(35+4)x-6kQ+k)x+3k(k+4)=0,

-----1-----=1

_6/(2+外一8(2+6

¥,+¥,=---z----

故有-■女一+4,,且”+.=3(*)

3%(4+左)4(4+4"2/)12-'3二+4

x,x^=——：----

1-3公+4X"3"+4

y=y

联立2可得7(管+3,%),"(3%+6fM,

y=-x-2

I3

可求得此时”