2021年中考数学复习 题型7 几何探究题

题型七几何探究题

®类型1与全等三角形有关的探究

1.[2019江苏泰州]如图，线段/以8,射线3d8/为射线/上一点，以"为边作正方形APCD,且

点C〃与点8在"两侧，连接以在加上取一点夕使/用1。=/协2连接"并延长交朋于点

网点少与点48不重合）.

⑴求证:

⑵判断CF与四的位置关系，并说明理由;

⑶求△悬尸的周长.

⑴证明：：,四边形/皈为正方形，

；.CP=AP,/APD=/CPD43°、

又PE=PE,

.：△/右侬△侬

⑵江工仍

理由：储必

・：/EAP=/ECP.

：/EAP=NBAP,

・：/BAP=/ECP.

；/ECP+/CMPWQ；ZAMF=ZCMP,

：.NAMF+/BAP0。°,

.：/加290°,

.\CFVAB.

(3)解:如图，过点。作CVJ_丝垂足为点K则四边形MCV是矩形，

.\CN=BF,BN=CF.

易知NOW+z"阳40°,/PAB+NAPB冯U°,

・・・/CPN=£PAB.

又.・・AP=CP,/B=/CNP0O°,

・：△0C忸△?!空

.'.CN=PBiPN=AB.

,•・△AE24CEP、

.'.AE=CEt

•:C.^uAE+EF+AF

二CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

24846.

2.如图⑴，点。为线段/!〃上一点，过点〃作〃于点。，且CO=0D,息3为线段"上一点，且

如=面,点分别是阿加的中点，连接0M、0N,MN.

⑴求证：水?=做

(2)试判断△航加的形状，并说明理由；

⑶如图(2),若4％2,点."在应的延长线上，求跖的面积.

c

图（1）图（2）

⑴证明：

.\AAOC=ABOD^°.

・；OA=OB、OC=OD、

工△AOC^XBOD、

.\AC=BD.

（2）△.伏2V是等腰直角三角形.

理由：丁点分别为A&BD的中点2Aoe=/DOBW°、

・：OJf-lfC^AC,ON二gBD,

22

.：OM=ON,ZC=/MOC,AD=ANOD.

•••△AOC^XBOD、

ZZC-ZP,

・•・ZMOO/NOD,

J/MOC+/CON=/NOD+/CON冯金°、

即/加（290°,

・：△例邠是等腰直角三角形.

（3）解：//C=/D/OBD+/D冯/OBD=4CBM、

"C+/CBMt。：

"CMB当,

/.DMLAC.

易知〃於4km彳〃'二1,

；.M\=近,

3.[2020福建]如图,△///是由△/1回绕点/I按逆时针方向旋转90。得到的，且点8的对应点〃恰

好落在回的延长线上，四星相交于点P.

⑴求/叱的度数.

⑵尸是£C延长线上的点，且N0*=N为C

①判断分'和"的数量关系，并证明；

证:丝

PFCF

(1)解:由旋转的性质可知,45=4〃,/切如90°、XABg/\ADE.

.:在肌2\/助中,/8=/力的=45°,

.；NADE=NBH5°,

.：/BDE=/ADB+/ADE帮°.

⑵①DF=PF.

证明油旋转的性质可知,“'引£/0公90°,

.:在Rt/\ACE4«,ZACE^ZAEC=45°.

：4CDF=2CAD、/ACE=2ADBM°,

.：NADB+/CDF=ZACE+N即AFDP=AFPD,

；.DF=PF.

②iff明:如图，过点尸作PH"ED交〃尸于点H,

H

EPDH

PFHF

:NDPF=NADE+/DEPW5°+4DEP、/DPF=/ACE+/DAC工5°+ZDAC,

；.NDEP=NDAC.

又；/CDF=/DAC,

.：/DEP=/CDF,/HPF=/CDF.

又:FP=FD/F=/F、

；.NIPP2[\CDF、

.：HF=CF,；.DH=PC.

4.[2020山东济宁]如图,在菱形ABCD中,AB=AC,息"'在边区上，点G在边CDEBE=CG,AF平分

/必G,点〃是线段?（尸上一动点（与点A不重合），连接EH,GH.

⑴求证:图△/函

（2）当4?=12,止4时.

连接诚求△&；〃的周长的最小值；

②若点〃是4C的中点，是否存在直线。〃将△?1龙分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积

与四边形的面积比为1；3.若存在,请求出空的值;若不存在,请说明理由.

(1)证明：：•四边形,4池为菱形,

.\AB=BC.

又;AB=A&

.：△/回是等边三角形，

ZACD=ZACB^O°=/B.

又;BE=CG,AB=A&

:.XABE会XACG、

.\AE=AG.

:工尸平分/£46,

•：NEAH=4GAH.

在△4以和XAGH中,ZEAH=/GAH,AH=AH,

.：△期白△/阳

⑵解:⑦：•△43△/幽.：EH=HG,

；.DH+HG=DH+EH,

.:当三点共线时，勿/+%的值最小,即此时△467/的周长最小.

如图(1),连接屹过点〃作DM1BC,交火的延长线于点M.

图⑴

由(1)得,⑦+N/flM20°,

.：/〃加50°,

.：/龙犷=30°,

/.ai^CD=f>,

2

.".DM-JcD2-CM2^6V3.

•.•BC=AB=\2,CG=BE^,

,:必吻=8,

；.EM=EC+CM=\A,

.：DE^JDM2+EM2^1V19,

「△”C〃的周长的最小值为4>/19+8.

潍在.

当OH与箧相交时,如图⑵，设交点为A；

BEFC

图⑵

则S、N盛:S四边形制枚=1；3,

••S△小♦S&AECX,4.

又丁点〃为力「的中点，

,:点4是熊的中点,

.'.ON//EC,

.AHAO1

*'AFAC2

当3/与6c相交时，如图⑶，设交点为K、

，SMOC・•4.

又丁点〃为的中点,

.:点4为的中点，

.9.OK//AE,

..A-H-E-K.

AFEF

TBEABC=ABA2,

.\EC=^y.'.EK^EC=\.

过点G作GPLBC,交理的延长线于点右连接FG.

VZBCD=12O°,

・：NG67M800-12047-60°,

/.ZCGP=^0°,

.\CG=2CP.

•・・CG=BEA

・：CP2・・・GP2g

丁AE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

；.l\AEF^l\AGF、

.\EF=FG.

设价n%=x,贝ijFCA-xm.

在Rl△■；P中,根据勾股定理，得FP+GP=M,

即(10-x)<28)=R

解得才需，

.厂厂28,AHEK45

••序二，••赤石苫方

5

综上写的值为萍素

④类型2与相似三角形有关的探究

5.如图，在△加「中，/，刃却以上力1点£为△居「内一点，满足/4FLN跳0435。，点〃是边BC的

⑴求证:

(2)求证:%'J"C

⑶若心1,求△力应'的面积.

⑴证明：TAB=AC,AB工AC,

・：N/3N5°，，/ECB+/ECA=^°.

又/心+N£4C=180°-135°N5°,

••・/ECB=/EAC.

又・・・/BEC=/CEA=\35：

；・XAECsl\CEB.

⑵证明:如图，延长仍至点也使得短/=8次连接CM.

♦：XAECsXCEB、

,空型道四_&

CEACCE

由N0"=18O°-NBECN5。第RI,易得N£K/90。.

：•〃,£分别为以;血/的中点，

.'.DE//CM,

.：NDEC=/ECMWO。，即DELEC.

⑶解:易知/砸侬45°ZABE+/EBC25°,

"ABE=/BCE.

又丁/AEB玛60°-4AEC-/BEC挈°二/DEC,

・：△力纺s△阳

42Dr

:竺空空诋二AE』DE=y[i.

DECECD-BC

2

••.△AECs/xCEB、

.AECE

'9CEBE收

；.BE$('E=y[i•V2/l£=2/4£=2V2,

；•丸海上AE,BEN

6.[2020淮北一模]⑴如图⑴，在Rt△川%'中,NG90°,47盟的以分别平分N。氏/烟，过点P

作DE//AB交/C于点D,交成'于点E.

狂戏证:点尸是线段膜的中点;

酬证:加泳•BA.

⑵如图⑵，在Rt△力比"中,NCK0。，/8=13,比刁2,利平分/力宛过点尸作DE〃AB变〃、于点〃，交

8c于点£若点P为线段应■的中点，求/〃的长度.

⑴证明:①:必平分

.：/ABP=/CBP.

:DE"AB、

；./ABP=4EPB,

.•・/CBP=/EPB、

，BE=PE.

同理可得DP^DA.

VDE//AB,

.CECD

CBCA

又VCA=CB,

：.CE=CD、

.：BE=AD,

；.PE=PD,

.：点户是线段应1的中点.

②由②易AABP=AEBP=AEPB^ACBA.

:AP平分NCAB,

.'/PAB^/CAB.

2

•・・CA=CB,

・・・/CBA=4CAB,

，/ABP=/EBP二4EPB=/PAB、

•,■△ABP^APBE、

.BABP

■♦一~,

BPBE

・・・BP=BE/BA.

⑵解:过点〃作“'的平行线，交欧于点C交4?于点G,如图.

B

DA

在Rt△然ff中,/C=J132-122

-5.

VFG//AC.Pl)//AG,

；./PFE=/8Q°，四边形/Q少是平行四边形，

.,.PG=AD.

\'PE=PD,PF//CD,

是△改力的中位线，

;.EF=FC,PF3CD.

2

由⑴可知BE=EP.

设4%%=x,则m=5.,.：钙(5-犬).

VDE//AB,

.CDCE

'9CACBf

.CDCA5

"CECB12'

.：优专6®*5-x),

.：EF却-4EP=BE=BC-(吟x.

在Rl△£7•y中,sin/£77■噌三•啜.

-5-

又ZEPF=/ED-EDC=sinN"(一|,

.5-xJ.2

•・2x13,

.65

..x=—,

37

.:修竺.

37

7.[2020湖北武汉]问题背景如图(1),已知△々/。-△/班求证:

尝试应用如图⑵，在和△/应'中，/胡C=/%£=90°,NABC=NADE4Q°,4。与场相交于

点五.点〃在6c边上需^^求兴的值；

拓展创新如图⑶，点D是LABC内一点,NBAD=NCBDW:NBDCRO°，力历4,4>2百,直接写出

4〃的长.

图⑶

问题背景证明：：a

—,ZBAC=ZDAE,

ADAE

.:空型力%/

ACAE1

•••XABD^XACE.

尝试应用解:连接工,设劭则ADmBD-ai.

易得.：空生，

ADAE

.AB_AD

*9ACAE'

又/BAC=/DAE、

"BAD二』CAE、

,,ZCEsXABD、

.CE4c遍

BDAB31

33

.也也T

,,有一落

3

：•NADE=/ABC,ZABC=/ACEt

・：/ACE=/ADE4G0.

又/AFD=/EFC,

:•△ADFSXECF、

,DF

••CFCE»J•

拓展创新解的长为伤.

解法提示:过点〃作力〃的垂线交川?于点火连接CM.

易证△物9c

DAB^°,

CM—MD-V3,ZW-Z

；.CM喋4/AMC=/AMD+NDMC=NAMD+/DAB冯Q：

.：/"=JAC2-CM2享

.\AD=AM'COS/MADM.

8.[2020浙江宁波]【基础巩固】

⑴如图⑴，在、中，点〃为相上一点，连接CD/ACD=NB.求证:初刃〃•仍

【尝试应用】

(2)如图⑵，在口4及力中，点K为用上一点，点厂为切延长线上一点，连接BF、EF、NBFE=/A.若

郎可止3,求4?的长.

【拓展提高】

⑶如图⑶,在菱形力及力中，点E是48上一点，点尸是△/欧内一

鼠阳//ACACNEF/ED吟ZBAD,AE=2,〃六5，求菱形ABCD的边长.

⑴证明：：2力切=/4/4=/4

；・XADCS/\ACB、

ADAC

，二ACFD・AB.

ACAB

⑵解：丁四边形被力是平行四边形,

.\AD=BC^A=Z.C.

又♦・・/BFE=/A、

；・/BFE=/C

又V/FBEu/CBF、

・・・4BFEs丛BCF,

.BFBE.BF216

・・一二—,・・BC二——

BCBFBE3

.：A1)=BC里.

3

⑶解:如图，分别延长伊a'相交于点G.

「四边形4式》是菱形，

.\AB〃DC,NBA吟/BAD.

又VAC//EF,

.：四边形为平行四边形,

；.AC=EG,CG=AE,ZEAC=4G.

:NEDF^NBAD,

；.NEDF=NBA&

"EDF=/G.

又；NDEF=/GED、

.•.△EDFSREGD、

DEEF

DE^El-'EG.

EGDE

又:EG=ACn,EF,

；.DR/EP、

；.DE电EF.

又..吧圾事

DFEF

；.DG=\[iDF4近、♦.DC=DG-CG』近2

即菱形,1股力的边长为5V2-2.

④类型3与全等、相似三角形有关的探究

9.[2020浙江杭州]如图，在正方形ABCD中宙、少在回边上，连接好;二的少的平分线与切边交于

点G,与8c的延长线交于点片设崂=虫4和）.

EB

⑴若/仿=2,4=1,求线段〃1的长.

⑵连接EG,若EGVAF,

①东证:点6'为"边的中点.

②求，的值.

⑴解:因为在正方形ABCD中,/〃〃BC,

所以/物后NE

因为“'平分/力£

所以NDAF=NEAF,

所以/&»,=//＜；

所以EA=EF.

因为a=1,BC=AB-1，所以BE=EC=\.

在RtZ\/应■中,由勾股定理猾EA0

所以CF=EF-EC=EA-EO底

⑵④E明:由（1）可知以呻又因为EGA.AF,

所以AG=GF.

又因为NAGD=/FGC,ZDAG=ZF,

所以△物四△。石.

所以DG=CG,

所以点。为切边的中点.

②解:不妨设g,则AD^,CG=\.

由（漪CF=AD=2.

易证△月7cs△前乙所以王空士

CGCF2

所以员7怖所以8好，

所以/

EB3

10.[2020安庆模拟]如图，菱形4及力的边长为4,£尸分别是边/氏/〃上的动点，螭出/物〃=120°,

连接CE,CF,AC与交于点G.

⑴求证:△侬/△力必

证:/咫

葬a=1,求芸的值.

EG

4-7T-------7n

R'

⑴证明：:四边形,4曾为菱形，

・・・AB=B心/CAD]BAD侬；AD〃BC,

/.ZB=1800-ZBAD^O°,

・：/炉/。£/\/施是等边三角形，

・：BC=AC.

又VBE=AF1

/.△BEg/XAFC.

⑵@E明:由⑴知△“注是等边三角形，

・•・EOF&/BCE=/ACF、4BEC=/AFC,4ACB鼻0°、

•:/ACF+/ECG=/BCE+/ECG侬°,

・：△£《尸为等边三角形，

.\ZCEF=&O0,

・：ZABC=/BAC=NCEF$G°.

又/AEG+NCEF+/BECA8Q°,/AEG+/BAC+NAGE工8。

"AGE=/BEC,

.'.ZAGE=ZAFC

②解:过点石作£¥〃比交"于点也

「・/AEM=/ABC=NBAC=60°.EM//AD.

.[△"Qs△"阳△力£1/是等边三角形，

.GF_AF

'"EGEM'

7BE=AFAAB工,

・・・EM=AE4,

.GFAF1

EGEM3

11.[2020合肥二模]如图,在4/纪中,.4仁1比；垂足为点&点£为边然上一点，应1=侬点〃为边州

上一点，切=四,连接力〃交或’于点F.

⑴求证:/四

⑵求证:初好•EC,

⑶若CG-2AG,AD^,AF,BC^>,5R力£的长.

⑴证明：：•陟阳

.：4EBC=^C.

•；AG1BD、BG=GD,

；.AB=AD,

"ABIANADB.

:/ABD=2ABE+4EBC,NADB=NDAC+/C,

.：ZABE=ZDAC,WAABE=ZEAF.

⑵证明：:NAEF=/BEA/EAF=NABE,

.：XAEFsXBEA、

.AE_EF_

'"BE'AE'

.".AS=EF-EB.

:EB=EC,

，AR=EF・EC.

(3)解:如图，设BE交/G于点/连接DJ,DE.

易知/G垂直平分线段做

■:/JBD=』C,

•:4JDB=乙&

/.DJ//AC,

・•・4AEF=4DJF.

VAD=2AF.

,\AF=DF.

又/AEFVDJR4AFE=/DFJ,

・：△/出△〃/7,

，EF=FJ,AE=DJ,

・：四边形4〃於是平行四边形,

.'.DE//AG.

VAGLBQ

.'.EDLBC.

又：'EB二EC、

・・・BD=DC3BR

22

士

4

又：.⑶/网―啮号喘

・力娱

又；/JGDRQ°,

•；DJ*p+DG2=&)2+6)2q.

二心/〃不

12.[2020马鞍山模拟]如图,在矩形ABCD中,E是边6c上一点，连接何过点。作DF_LAE于点F.

⑴如图（1）,若求证:△"4

⑵若四的,4分8,且£为比的中点.

④Z口图⑵，连接字求sin/〃CF的值；

⑴证明：：,四边形4灰券是矩形，

.：N6=90°,AI)//EC,；.NDAF=4AEB.

:DFLAE,；.2AFD=/B壬Q°,

又AE=DA,.,.XABE&XDFA.

⑵解:④图⑴，过点Z7作FH1CD于燕即九4〃于点J.

图⑴

:•四边形ABCD是矩形，.:CD=AB$,BC=AD«/B邯°.

:•点/为仇、的中点，

.：BE=EC2.

」.AEHBE2+AB2V42+62=2A/13.

:NDAF=ZAEB/B=/AFD4Q°,

••.△ABEs/\DFA,

ABBE_AE.64_2V13

DFAFAD'**DFAF8

.16-/13

.T,/1IZ/•=------

13

易知四边形力是矩形,

；.DI曰斗竺受

AD13'

.：FH=DJ=\DF2-F『J（笔^）2-（汐^|,CH-C1）T）H弋卷鸿,

；.CFNFH2+旧-J（F）2+（,）2=6,

②如图(2),延长DF交%的延长线于点K.

图⑵

由明T知4斤2瓜,"

二―/3竺

13

•・・/KEF=/AEB、/EFK:/ABE帮：

.：XKEFs

AEBE

KE,10V13

••2VI3"4,•"7：F•:CK-KE+EC冯.

:AD〃CK、：./XADNS△（：!（扎；竺生

AMAD8

13.[2020合肥瑶海区二模]如图,在等边三角形A8C中,8D=C£连接庞交于点F.

⑴求出/力心的度数；

⑵求证：4C・DF=BD♦BP,

⑶连接)当"?!〃时，求证:劭力以

A

⑴解：丁△力仇、是等边三角形,

，AB=BC,/ABC=/BCEXO°.

又7BD二CE,

.'.△AB哈ABCE,

・・・/BAD=/CBE、

・•・/AFE=/BAF+/ABF=/CBE+/ABF=/ABC=^G°.

(2)证明:由(1)知/BAD=/DBF.

又・・・/ADB=/BDF、・•・AABD^/\BFD、

,DFBF

・，访~AB'

VAB=ACt

—,EPAC*DF=BD・BF.

BDAC

(3)证明：

方法一:如图，过点「作CG1BE交应.的延长线于点G,

则NCGQ90°.

:CF1AD,

.：/仍7=90°.

由⑴知,/月陷60。,

.■.ZCFG=S0°,

.".ZFCG^O:CG±CF.

2

又VZACB=GO°,

."ECG=/DCF.

又・・2EGC=/DFS

1.△CEGsACDF、

.CE_CG_1

•・CDCF2

又：・BD=CE,

:.BD3CD.

2

方法二:连接小

:公N力缪-60°、/FAE:/CAD、

•'.△AEFSAADC,

.AEAF

*'ADAC'

.•.A一E=A—D.

AFAC

又・・・/DAE=NCAF,

••■△AEMAAFC,

.\^AED=^AFC^°,

"DEC秘：

"EDC挈。~60°30°,

・・,CE支CD.

2

又・.・BD=CE,

.：BD&CD.

2

M.[2020芜湖模拟]如图⑴，在△被7中，入430°,AC=BC,D为46上一点，连接以将切绕点C

顺时针旋转90°至态连接AE.

⑴求证:/\比陵△〃£■；

⑵如图（2）,连接若CD=20、AE=\、求仍的长；

⑶如图⑶，若点尸为/〃的中点，连接EB,CF,求证：CF1EB.

图(1)图(2)图(3)

⑴证明:由旋转可得上次工反%90°=/〃耳

.：/BCD=/ACE.

又；AC=BC、

工△BCD^XACE.

⑵解:易知△〃女7是等腰直角三角形，

.\DE-y[2CD=A.

由（1）可知BD=AE=1,NCAE=NB25°=ZCAB,

.：N£4〃R0°,

」.AD=^DE2-AE2心-12-V15,

.：AB=AD+BD-辰+L

⑶证明:如图，设CF与跖交于点〃，过点（、作C入然于点a贝ijAG^AB.

:8=90°、AC=BC、

・"吟"即漆•

:,点尸为题的中点,

.'.FA-AD,

2

.：FG^AGAF-AB-AD^-（AB-AD\-BD.

222、72

由⑴可得即=4£

二月。2/1/：；即空」，

2AE2

.CGFG

''AB^AE'

又7/CGF=/BAE挈：

工△CGFSXBAE、

・・・NFCG=/ABE.

••2FCG+/CFG耶：

・・・/ABE+/CFG=»）°、

.:/BOF冯。：

・：CFLEB.

15.[2020合肥蜀山区模拟]如图，在△/勿中,//微90。心B&CD是四边上的中线，点后为线段

切上一点（不与点重合），连接班；过点£作用的垂线交〃,的延长线于点月交BC于点、6,连接

BF.

⑴求证:△CT^s△啊

（2）求/£77?的度数；

⑶求票的值.

⑴证明：；NACBWQ°,EF1BE,

；./FCG=NBEG帮°.

又/CGF=/EGB、・•・ACFGsREBG.

⑵解:由⑴得△CFGs△EBG,

.CGJG.CG_EG

•・EGBG'•・FGBG'

又•:/CGE=/FGB,

；・ACGEs△FGB、,二/EFB:/ECG・

：3是四边上的中线、AC=BC,

.：NACD=/BCD45°,.：".

⑶解:如图，过点/作FH1DC交火的延长线于点〃

由⑵知，/牙＞45°:/断W5°=/EFB,

•：EF=BE.

易得CDLAB.

:NFEH+NDEB90°、NEBD+/DEB*Q°,

；.乙FEH=2EBD.

在△四和△硼中，

DFEH=UEBD,

DEHF=OBDE=90°,

.EF=BE,

.：△FEM△EBD、；.FH=ED.

:NFCH=』ACD45°,NC7加=90°,

.:乙CFHR&°=/FCH,；.CH=FH.

在RtAOT/41,CF-V2/7Z

；.CF=&D£带当.

16.[2020安庆模拟]如图（1）,在正方形ABCD中点笈厂分别在边阳⑺上，且BE=DF,AE,AF分秒交BD

于点G,H.

⑴求证:any/

(2)连接应如图(2),若EF=BG.

。^证:力。•AH=AF,DR

JAB二AD,NABC=/ADC

又・・,BE=DF、

工△ABF^XADF、工4BAE=/DAF.

又TAB=AD,/ABD=/ADB,

・：4ABGq丛ADII,・：BG=DIL

⑵明:如图,连接小

♦・・BC=DC,BE=DF,

.\CE=CF,

又r/G90°,

.：/阳工5°=/DBC、

・・・EF〃BD.

又•:EF;BG、

・：四边形砥/是平行四边形,

・・・GF〃BE"AD.

又二八〃,：筹券专

VEF//BD,

AGAH

-__^AD-AH=AF-DF.

AEAF}

解法提示:由⑵色冽黑黑

ADAF^AH+HFHF

DFAHAHAH'

-H-F--A-D-1.,

AHDF

设CE=x,BE=yMDF=GF二BE=y、DG$y,DH=BG二EF』x、AD=Cl^^

/.GH-DGDH-y/lyV2v.

VGF//AD,

・:△GFHsXDAH、

.GFGH

**ADDH1

,y_y[2y-y[2x

*'x+yy[2x，

.\y-xy-^=^,

•”外

解得£号（负值不合题意，已舍去）,

・HFAD.%+y.痔1

''AHDFyy2

17.[2020滁州模拟旧知，在△/6C中,/小。90。.

⑴如图(1),分别过4c两点作经过点8的直线的垂线，垂足分别为MN

正:监%：

②若△/,监s△/6C求证:

⑵如图⑵，点〃是。延长线上的一点，应工能四刃氏/3；5,求堂的直

图(1)图(2)

⑴①il明：：2/16广90:;2ABM+/CBN当Q°.

VAMLBM,

/.NABM+NBAM=9Q°,.：NBAM=NCBN.

又ZAMB=NBNC畛Q°,.：AAMBs△BNC.

例E明:如图(1),过点6作优于点Q.

图⑴

:'△4物SZU6C

；.NBAM=/BAC.

在△/M和△物Q中，

UBAM=UBAQ,

UAMB=LL4QB=90°,

.AB=AB,

.：△«!侬△胡Q

,,.AQ=AM.

同理可证CQ=CN,

.\AC=AQ+CQ=AM+CN.

⑵解:如图⑵，过点4作4gL跖于点G；过点，'作CH1BE交所的延长线于点H.

图⑵

又'."DEVEB,

；.CH〃AG〃DE、；.阻出之.

GHAC5

在RI△/仇'中，第

.AB4

"BC3"

由(1)0M知4Ds△附

・AG_空94

—BHCHBC3*

VAE=ABtAG±BE,・：EG=GB.

ri..EGM

’GH飞

.：EG：BG：BHA；3；2.

设ZfG=3a,贝IjBG$a、EB4a、BHCa.

,»GB4.3a4,9

CH3CH34

由勾股定理得BC-y/BH2+CH2

4

.EB6a_24V145

••BC145•

18.[2020贵州遵义]如图，在边长为4的正方形可初中，点E为对角线儿;上一动点。点£与点A,C

不重合)，连接DE,作件工座'交射线BA于点£过点£作物V〃勿分别交O),AB于点MA；作射线DF

交射线。于点G

DMC

⑴求证:£尸二〃£

⑵当AF=2时，求GE的长.

⑴证明：丁四边形/灰力是正方形,"是对角线，

・・・/ECB=/ECMN50.

•・・MN〃Ba/BCM帮°"00°,

"MEC=/ECB=%:/DME=/ENF畛0°,

.・・MC=ME.

易知MN=CB=CI)t.'.DM=EN.

'.'DELEF,•:/DEM+/FEN挈°.

又/EDM+/DEM3°/EDM=4FEN.

在△〃花和△£二尸中，

UEDM=UFEN,

DM=EN,

DDME=OENF,

.\/\DME^/\ENFy.\EF=DE.

⑵解:分点/」在线段,4〃上和线段BA的延长线上两种情况讨论.

①^点/；在线段/夕上时，如图⑴所示，由⑴知△。修△£，/

.\ME=NF,

易知四边形VWK是矩形，

・：MC=BN.

又,.・FN=ME=MC、AB=A、AF2

.-.BN=MC=NF=\,

rZ£ir=90。，/1.'CEE.

\'AF//m.：△DGCs△FGA,.*号—2.

又:AC=AG+GCEAB40,

②当点q在线段BA的延长线上时，如图(2)所示，

同色河'得,月仁外：

:AF畛,ABa,.：BF工,

.".A\=F\-FA^BF^=\.

2

；AB=BCA/B¥°,.：JC^1V2.

VAF//«?,.：△GAFs△CCD,

.：竺必即"一£^,二"=4迎.

CDGC4AG+4V2

易得NE=ANA,/ENA冯0°,

/.AE^,.,.GE=GA+AE^y[2.

综上，面1的长为手或5夜.

19.[2020四川成都]在矩形ABCD的以边上取一点夕将△腔沿应翻折，使点，、恰好落在4〃边

上点尸处.

⑴如图⑴，若比之刚求/烟'的度数；

(2)如图(2),当力作5,且AF>FD=\0时，求用的长；

⑶如图⑶，延长/与//跖的平分线交于点WBM交4。于点川当A户％W/7时，求”的值.

M

A\iD

M\D

D

E

图⑴图⑵图⑶

解:(1)由折叠的性质得BC=BF、NEBF=/EBC.

:BCNBA,；.BF=BCWBA,

Z