2020北京初中数学期中汇编：二次函数图像及性质（教师版）

2020北京初中数学期中汇编：二次函数图像及性质

选择题(共22小题)

1.(2021春•丰台区校级期中)若函数y=12x2-3(x<3),则当函数丫=匕时，自变量x的值是()

,3x(x>3)

A.±3B.5C.±3或5D.5或-3

2.(2020秋•密云区期末)抛物线y=(x+2)2-1的顶点坐标是)

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

3.抛物线y=-(x+1)2-2的对称轴是()

A.x=1B.x=-IC.x=2D.x=-2

4.若函数-4x+〃z的图象上有两点A(xi，%),B(X2，刃)，若XI〈X2<2,则()

A.y\>y2B.y\<y2

C.yi=)，2D.yi，y2的大小不确定

5.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()

A.(2,5)B.(-2,5)C.(-2,-5)D.(2,-5)

6.将抛物线)，=正向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为()

A.y=2(x-2)2+3B.y=2(x-2)2-3

C.y=2(x+2)2-3D.y=2(x+2)2+3

7.(2020秋•门头沟区期末)抛物线y=(x+2)2-3的顶点坐标是()

A.(2,-3)B.(-2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

8.A(-A,%),B(1,y2),C(4,>3)三点都在二次函数y=-(x-2)?+%的图象上，则》,处”的大小关

系为()

A.yi<y2<j3B.C.D.y3<y2<yi

9.抛物线-2x的对称轴是()

A.直线x=-2B.直线x=-lC.y轴D.直线x=l

2

10.点Pi(-1,>'|),P2(3,y2)，Pi(5,券)均在二次函数y=-X+2X-1的图象上，则力，加”的大小关系是

A.y\=y2>y3B.y3>yi=y2C.y\>y2>y3D・y\<y2<y3

11.已知一个二次函数图象经过Pi（-3,yi>P2(-1,>2),P3(1，”)，尸4(3,为)四点,若”<>2</4,则

"，泗的最值情况是（）

A.），3最小，”最大B.与最小，为最大

C.刃最小，%最大D.无法确定

12.如果在二次函数的表达式>=加+〃x+c,中，«>0,^<0,c<0,那么这个二次函数的图象可能是（）

13.抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是（)

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)

14.（2020秋•丰台区期末）函数y=Cr+1）2-2的最小值是（)

A.1B.-1C.2D.-2

15.二次函数>=加+法+。•的图象如图所示，根据图象可得mb,c与0的大小关系是（）

B.。>0,b>0,c>0

C.〃V0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c<0

16.（2020秋•昌平区校级期中）已知y=（相+1）x"U+2根是y关于x的二次函数，则，〃的值为（）

A.-1B.3C.-1或3D.0

17.（2020秋•西城区校级期中）点A（0,N）,B（5,以）在二次函数-4x+c的图象上，》与”的大小关系是

()

A.yi>72B.yi—y2C.yi<y2D.无法比较

18.（2020秋•东城区校级期中）将抛物线丁=上/沿x轴翻折，翻折后的抛物线的解析式为（）

2

A.y=--ix2B.y=2j2C.y=-2X2D.

19.（2020秋•房山区期中）二次函数-©+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

2

20.（2020秋•延庆区期中）已知Pi（Xuyi）,P2（x2,以）是抛物线'=以-4ax上的点，下列命题正确的是（）

A.若》=）〉，则xi=X2B.若M-2|>|及-2|,则yi<>2

C.若|xi-2|>比-2|,则D.若2|=仅2-2|,则

21.（2020秋•西城区校级期中）已知抛物线y=af+fcv+c（厚0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:

X-2-10123

y-40220-4

下列结论：

①抛物线开口向下；

②当-l<x<2时，y>0；

③抛物线的对称轴是直线x」；

X2

④函数、=，4+公+0（中0）的最大值为2.

其中所有正确的结论为（）

A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④

22.已知函数丫=!6-1）2-1643）,则使、=上成立的x值恰好有三个，则后的值为（）

（x-5）2-1（x>3）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共18小题）

23.（2020秋•西城区校级期中）二次函数y=a?+/»+c的图象如图所示，那么abc0（填““="，或

24.（2020秋•东城区校级期中）若要得到函数y=（x+l）2的图象，只需将函数y=F的图象进行平移即可，请描述

平移过程

25.（2020秋•西城区校级期中）已知点A（0,2）,B（2,0）,点C在），=/的图象上，若△ABC的面积为2,则这

样的C点有个.

26.（2020秋•朝阳区校级期中）已知某二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如下表，根据表中信息写出该图

象的对称轴为.

X-2-1045

y158338

27.（2020秋•朝阳区校级期中）将抛物线丫=（x+1）2向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解

析式为.

28.（2020秋•西城区校级期中）抛物线y=2f-4x上三点分别为（-3,%）,（0,小），（3,心），则%，小，”的大

小关系为（用“>”号连接）

29.（2020秋•西城区校级期中）将抛物线向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点

坐标是.

30.（2020秋•通州区期中）二次函数），=-f+2（）x图象的对称轴是.

31.（2020秋•西城区校级期中）若将抛物线）=-氏2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物

线，则新抛物线的表达式是.

32.（2020秋•延庆区期中）如图，正方形OA8C的顶点3恰好在函数（a>0）的图象上，若正方形0A8C的

边长为血，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。，则a的值为.

33.（2020秋•西城区校级期中）抛物线y=a?+以+c经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l,其部分图象如图所

示.对于此抛物线有如下四个结论：

①％■<（）；

②2“+〃=0；

③4a-2b+c>0；

④若m>n>0,则x=m-1时的函数值小于x=n-1时的函数值.

其中正确结论的序号是

34.（2020秋•朝阳区校级期中）已知二次函数y=f-2x+2,当x时，y随x的增大而增大.

35.（2020秋•丰台区期中）写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0,-3）,这个二次函

数的解析式可以是.

36.（2020秋•西城区校级期中）若二次函数-4x+c的图象经过A（-2,»）,8（4,以），则弘____二填

37.（2020秋•西城区校级期中）若点（1,5）,（5,5）是抛物线y=『+fex+c（存0）上的两个点，则b=.

38.（2020秋•海淀区期中）对于二次函数丫=以2和），=加.其自变量和函数值的两组对应值如表所示：

X-1m（m丰-1）

y=ax2Cc

y=bx1c+3d

根据二次函数图象的相关性质可知：〃?=

39.(2020秋•朝阳区校级期中)已知：二次函数y=af+6x+c和)中的x和)，满足下表:

X012345

y3070m8

(1)可求得m的值为；

(2)求出这个二次函数的解析式；

(3)当0<xV3时，则y的取值范围为

40.如下图，正方形ABCD的边A8在x轴上，A(-4,0),8(-2,0),定义：若某个抛物线上存在一点P,使

得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”.若抛物线y=

Zr-nx-H2-1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则〃的值为.

三.解答题(共5小题)

41.已知二次函数y=*-4x+3.

(1)用配方法将其化为>'=«(x-h)2+k的形式；

(2)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象.

42.（2021春•海淀区校级期中）小君根据学习经验对函数y=|以I2+Zzx+c|进行了探究

（1）写出该函数自变量的取值范围

（2）下列表示y与x的几组对应值.

X-1_1_011_325_37_4_95

~2~2~2~2~2

y5907_3154153里m9_5

77TT77

则m—________

（3）如图，在平面直角坐标系xO），中，描出以上对各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;

0.5-

I_____1IIII

-1O12345

（4）请根据图象，写出：

①当区烂4时，y的最大值是；

②当z<x<z+1时，），随x的增大而增大，则z的取值范围是.

43.如图，在平面直角坐标系X。），中，二次函数y=f+fov+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1,0）和（0,-

3）.

（1）求此二次函数的表达式;

（2）结合函数图象，直接写出当y>-3时，x的取值范围.

44.(2021•海淀区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y^a2^-2a2x+4-(«#0).

(1)抛物线G的对称轴为直线》=；

(2)若在抛物线G上有两点(2,»),(相，")，且则机的取值范围是;

(3)若抛物线G的顶点纵坐标r的取值范围为0<f<3,求〃的取值范围.

45.如图，已知二次函数y=o?+历c+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)将直线BC向下移动〃个单位(〃>0),若直线与抛物线有交点，求〃的取值范围；

(3)直线x=/分别交直线8C和抛物线于点M,N,当是等腰三角形时，直接写出机的值.

2020北京初中数学期中汇编：二次函数图像及性质

参考答案与试题解析

一.选择题（共22小题）

1.（2021春•丰台区校级期中）若函数y=12x2-3（x<3）,则当函数n:”时，自变量x的值是（）

,3x（x）3）

A.±3B.5C.±3或5D.5或-3

【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值.

【解答】解：当x<3时，

令2?-3=15,

解得x=-3；

当近3时，

令3x—15,

解得x=5；

由上可得，x的值是-3或5,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答.

2.（2020秋•密云区期末）抛物线y=（x+2）2-1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,-1）C.（-2,1）D.（2,-1）

【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标.

【解答】解：•••），=（x+2）2-1是抛物线的顶点式，

，抛物线的顶点坐标为（-2,-1）.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.

3.抛物线y=-（尤+1）2-2的对称轴是（）

A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2

【分析】由（x-h）2+&的对称轴是直线x=/i可得答案.

【解答】解：抛物线y=-(x+1)2-2的对称轴是直线x=-1,

故选：B.

【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=〃Cx-h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线

x—h.

4.若函数y=f-4x+〃?的图象上有两点A(xi，%),B(初，”)，若为<忿<2,贝！］()

A.%>及B.yi<yi

C.y\—yiD.yi，y2的大小不确定

【分析】根据为、X2与对称轴的大小关系，判断V、》的大小关系.

【解答】解：•••y=x2-4x+m,

，此函数的对称轴为：x=--=-=2,

2a2X1

：X|<X2<2,两点都在对称轴左侧，a=l>0,

对称轴左侧y随X的增大而减小，

：.y\>yz.

故选：A.

【点评】此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出

是解题关键.

5.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()

A.(2,5)B.(-2,5)C.(-2,-5)D.(2,-5)

【分析】根据二次函数的性质y=a(x+/7)2+%的顶点坐标是一h,k)即可求解.

【解答】解：抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标为(2,5),

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆y=a(x+h)2+%的顶点坐标是(-〃，k)(存0)是关键.

6.将抛物线y=2?向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为()

A.y=2(x-2)2+3B.y=2(x-2)2-3

C.y=2(x+2)2-3D.y=2(x+2)2+3

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：将抛物线)，=合2向左平移2个单位长度所得直线解析式为：)=2(x+2)2；

再向下平移1个单位为：y=2(x+2)2-3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

7.(2020秋•门头沟区期末)抛物线y=(x+2)2-3的顶点坐标是()

A.(2,-3)B.(-2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标.

【解答】解：；)，=(X+2)2-3是抛物线的顶点式，

抛物线的顶点坐标为(-2,-3).

故选：B.

【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.

8.4(-A,yi),B(1,)2)，c(4,)3)三点都在二次函数y=-(x-2)?+%的图象上，则“，”，”的大小关

2

系为()

A.y\<yi<y^B.yVy3V”C.y3<y\<yiD.y^<y2<y\

【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出巾、”、为

的大小关系.

【解答】解：二次函数y=-(x-2)2+%的图象开口向下，对称轴为x=2,点A(-微,9)，B(1,>-2)在对

称轴的左侧，由)，随x的增大而增大，有

由犬=-a，x=l,x=4离对称轴x=2的远近可得，yi<>3，因此有？<券</2，

故选:B.

【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点.

9.抛物线-2x的对称轴是()

A.直线x=-2B.直线x=-lC.y轴D.直线x=l

【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解.

【解答】解：抛物线y=r-2x的对称轴是直线》=

2X1

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记.

10.点Pi（-1,%），P2（3,y2）.尸3（5,＞3）均在二次函数y=-^+2x-1的图象上，则y””，”的大小关系是

（）

A.y\—y2＞y?,B.j3＞yi—72C.D.

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=l,图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据

二次函数图象的对称性可知，P\（-1,力）与（3,关于对称轴对称，可判断＞，|=次＞”.

【解答】解：■；）,=-x2+2x-1--（x-1）2,

.,.对称轴为x=l,

尸2（3,以），尸3（5,），3）在对称轴的右侧，），随X的增大而减小，

V3＜5,

根据二次函数图象的对称性可知，P\（-1,yi）与（3,»）关于对称轴对称，

故丫1=丫2＞）3，

故选：A.

【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用

二次函数的性质进行推理是解此题的关键.

1I.已知一个二次函数图象经过P1（-3,%），22（-1，丫2），Pi（1，了3），尸4（3,y4）四点，若丫3＜丫2＜）'4，则》，

）＞，＞3，%的最值情况是（）

A.”最小，yi最大B.丫3最小，山最大

C.yi最小，%最大D.无法确定

【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断.

【解答】解：；二次函数图象经过Pi（-3,yi）,P2（-1,弊），P3（1，＞3），P4（3,g）四点，且"＜”＜/，

，抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，

APi（-3,yi）离对称轴的距离最大，P3（1,券）离对称轴距离最小，

最小，力最大,

故选:A.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键.

12.如果在二次函数的表达式丫=加+以+。,中，«>0,b<0,c<0,那么这个二次函数的图象可能是（）

【分析】由b<0,c<0,推出-梃>0,可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负

半轴，由此即可判断.

【解答】解："：a>0,b<0,c<0,

-旦>0,

2a

...抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交），轴于负半轴,

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常

考题型.

13.抛物线>=（x-2）2+1的顶点坐标是（）

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)

【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴.

【解答】解：（x-2）2+1是抛物线的顶点式,

根据顶点式的坐标特点可知,

对称轴为直线x=2,

故选：D.

【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x-h）2+k,顶点坐标是（"，k）,对称轴是直线

14.（2020秋•丰台区期末）函数y=（x+l）2-2的最小值是（)

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】抛物线>=（x+1）2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为（7,-2）,顶点的纵坐标-2即为函数的

最小值.

【解答】解：根据二次函数的性质，当x=-l时，二次函数）'=（x-1）2-2的最小值是-2.

故选：D.

【点评】本题考查对二次函数最值.求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种

是配方法，第三种是公式法.

15.二次函数y=o?+6x+c的图象如图所示，根据图象可得a,b,c与0的大小关系是（）

A.。>0,i<0,c<0B.a>0,b>0,c>0

C.a<0,h<0,c<0D.aVO,b>0,c<0

【分析】由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与），轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及

抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【解答】解：由抛物线的开口向下知

与y轴的交点为在y轴的负半轴上，

.*.c<0,

:对称轴为x=—>0,

2a

:.a、b异号,BPb>Q.

故选：D.

【点评】二次函数y=a『+bx+c系数符号的确定.

16.（2020秋•昌平区校级期中）已知y=（m+1）小"川+2机是y关于x的二次函数，则机的值为（）

A.-1B.3C.-1或3D.0

【分析】根据>=加+法+。是不为。的常数）是二次函数，可得答案.

【解答］解:y=”』+2m是y关于x的二次函数，则|"L1|=2且机+1川.，

解得：机=3.

故选：B.

【点评】该题主要考查了二次函数的定义；牢固掌握定义是解题的关健.

17.（2020秋•西城区校级期中）点A（0,%）,B（5,"）在二次函数-4x+c的图象上，力与”的大小关系是

（）

A.yi>y2B.y\—y2C.y\<y2D.无法比较

【分析】由抛物线的解析式得出对称轴，利用二次函数的图象与性质解答可得.

【解答】解：：y=x2-4x+c,

.•.抛物线开口向上，对称轴为x=-，^=2,

2X1

•.•点A（0,%）,B（5,>2）在二次函数y=d-4x+c,的图象上，且点B离对称轴较远，

•'•y\<y2-

故选：C.

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得出抛物线上离对称轴水平距离越大,

函数值越大是解题的关键.

18.（2020秋•东城区校级期中）将抛物线〉=工/沿x轴翻折，翻折后的抛物线的解析式为（）

2

22

A.y=--xB.y=2^C.y=-2JTD.y=—x

22

【分析】根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案.

【解答】解：将抛物线丫=工2沿X轴翻折，翻折后的抛物线的解析式为-y=",即），=-".

222

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，点关于x轴对称的特点：两点x坐标相同，y坐标互为相反数是

解题的关键.

19.（2020秋•房山区期中）二次函数y=/-4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（八b、c是常数，存0）的函数，叫做二次函数.其

中x、y是变量，a、b、c是常量，。是二次项系数，。是一次项系数，c是常数项作答.

【解答】解：二次函数），=/-4x+3的二次项系数是1,一次项系数是-4,常数项是3；

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号.

20.（2020秋•延庆区期中）已知P（XI，»）,P2（如y2）是抛物线y=o?-4以上的点，下列命题正确的是（）

A.若刀二以，则X|=X2B.若-2|>比-2|,则yi</2

C.若则D.若|x「2|=肉-2|,则乃=%

【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从

而可以解答本题.

【解答】解：•.•抛物线）=加-4以=。（x-2）2-4a,

该抛物线的对称轴是直线x=2,

若>1=>2,则值1-2|=咫-2|,故选项A错误；

当a>0时,若M-2|>|X2-2|,则％>及，故选项B错误；

当aVO时,若|笛-2|>民-2|,则yi<>2,故选项C错误；

若M-2|=|%2-2|,则yi=步,故选项D正确;

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

21.（2020秋•西城区校级期中）已知抛物线y=af+6x+c（中0）上部分点的横坐标x与纵坐标），的对应值如下表:

X-2-10123

y-40220-4

下列结论：

①抛物线开口向下；

②当-l〈xV2时，y>0；

③抛物线的对称轴是直线x」；

2

④函数丫=加+法+。（4翔）的最大值为2.

其中所有正确的结论为（)

A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④

【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

【解答】解：由表格可知，

抛物线的对称轴是直线x=81=1，故③正确，

22

由抛物线的对称轴可知，当x>工时，y随x的增大而减小，当x<工时，y随x的增大而增大，故抛物线>=

22

cix^+hx+c的开口向下，故①正确，

由表格数据可知，当-1VXV2时，y>0,故②正确；

根据表格数据可知当时，y>2,故抛物线的最大值大于2,故④错误，

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题

意，利用二次函数的性质解答.

22.已知函数产小,「I）2-1（X<3）,则使y=上成立的尤值恰好有三个，则人的值为（）

（x-5）2-1（x>3）

A.0B.1C.2D.3

【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3,3）,所以直线y=3与两抛物线有三个交

点,则得到％=3.

【解答】解：如图，

当y=k成立的x值恰好有三个，即直线y=k与两抛物线有三个交点，

而当x=3,两函数的函数值都为3,即它们的交点为（3,3）,

所以左=3.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数尸加+加+，（时。）的顶点坐标是（-旦，-q-b）,对称轴

2a4a

直线犬=-q_,二次函数），=渥+法+<?（a#））的图象具有如下性质：当”>0时，抛物线），=五+法+（:（"0）的

2a

开口向上，X<-a时，y随x的增大而减小；X>一巨时，y随X的增大而增大；》=一旦时，y取得最小值

2a2a2a

2

4a；b,即顶点是抛物线的最低点.当“VO时，抛物线卜=加+次+c（存0）的开口向下，x<-会时，y随x

的增大而增大；x>一以时，y随X的增大而减小；x=一2时，y取得最大值%c-b,即顶点是抛物线的最

2a2a4a

高点.

二.填空题（共18小题）

23.（2020秋•西城区校级期中）二次函数尸加+fev+c的图象如图所示，那么。反>0（填“>”,“="，或

【分析】根据抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置即可得到。、仄c符号，从而可得答案.

【解答】解：抛物线开口向上，

；.4>0,

对称轴直线在y轴右侧，

-巴>0,

2a

：.b<0,

而抛物线与y轴交点在负半轴，

.•.c<0,

abc>0,

故答案为：>.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握“、氏C符号的判定方法.

24.(2020秋•东城区校级期中)若要得到函数)，=(x+l)2的图象，只需将函数的图象进行平移即可，请描述

平移过程将抛物线y=d向左平移1个单位长度.

【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由。值不变即可找出结论.

【解答】解：•••抛物线产(x+1)2的顶点坐标为(-1,0),抛物线尸/的顶点坐标为(0,0),

•••将抛物线向左平移1个单位长度，即可得出抛物线丫=(x+1)2.

故答案为将抛物线y=/向左平移1个单位长度.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键.

25.(2020秋•西城区校级期中)已知点A(0,2),B(2,0),点C在的图象上，若△ABC的面积为2,则这

样的C点有4个.

【分析】根据三角形面积公式求得C到直线AB的距离为我，即可求得C在直线AB沿直线y=x的方向平移

的单位得到的直线上，求得平移好的直线解析式，然后与y=/联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据

根的判别式即可判断方程的根的情况，进一步得到C点的个数.

【解答】解:如图，:点A(0,2),B(2,0),

**•直线AB为y--x+2,AB=J22+2

设C点到直线AB的距离为〃，

「△ABC的面积为2,

•*-yAB*h=2j即■^•*2加力=2,

；.〃=加,

,/直线y=x与直线AB垂直，

/.直线AB沿直线y=x向上或向下平移J5个单位得到直线y=-x+4或y=-x,

y=-x+4

由「„消去y得到f+x-4=0,

Y=x

VA=12-4X(-4)=17>0,

方程有两个不相等的根,

y=-x_

由|o消去y得到f+x=0,

y=x

VA=l>0,

方程有两个不相等的根,

••・函数），=/的图象上存在4个点（如上面图中四个点Ci，C2,C3,C4）使得△ABC的面积为2,

故答案为4.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，数形结合是解题

的关键.

26.（2020秋•朝阳区校级期中）已知某二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如下表，根据表中信息写出该图

象的对称轴为直线x=2.

X-2-1045

y158338

【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到该函数图象的对称轴.

【解答】解：由表格可得，

该函数图象的对称轴为直线9=2,

2

故答案为：直线x=2.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

27.（2020秋•朝阳区校级期中）将抛物线丫=（x+1）2向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解

析式为v=（x+3）2+2.

【分析】先由二次函数的性质得到抛物线），=（X+1）2的顶点坐标为（-1,0）,再根据点平移的规律，点（-I,

0）平移后所得对应点的坐标为（-3,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式.

【解答】解：抛物线y=（x+l）2的顶点坐标为（-1,0）,把（-1,0）向左平移2个单位，再向上平移2个单

位所得对应点的坐标为（-3,2）,所以平移后的抛物线的解析式是y=（x+3）2+2.

故答案为>>=（x+3）2+2.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物

线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是

只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

28.（2020秋•西城区校级期中）抛物线丫=*-4x上三点分别为（-3,yi）»（0,以），（3,券），则",》2，券的大

小关系为yi>V3>V2（用“>”号连接）

【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x=l,根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较

函数值的大小.

【解答】解：；y=2（x-1）2-2,

.•.抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=l,

•..点4（-3,yi）到对称轴距离最远，点（0,次）到对称轴的距离最近，

故答案为：yi

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.此题需要掌握二次函数图象的增减性.

29.（2020秋•西城区校级期中）将抛物线），=f向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点

坐标是（-2,1）.

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.

【解答】解：将抛物线向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线），=（x+2）2+1.

此时抛物线顶点坐标是（-2,1）.

故答案为：（-2,1）.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律求函

数解析式.

30.（2020秋•通州区期中）二次函数v=-f+20x图象的对称轴是直线x=10.

【分析】把二次函数化成顶点式，然后解题即可.

【解答】解：；y=-X2+20X--（x-10）2+100,

.•.二次函数图象的对称轴是直线x=10.

故答案为直线x=10.

【点评】本题考查了二次函数的对称轴，把二次函数写成顶点式是解题的关键.

31.（2020秋•西城区校级期中）若将抛物线丫=-工2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物

2

线，则新抛物线的表达式是y=->（x+3）2-2.

2

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y=-L2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个

2

单位所得到的图象的函数关系式是：y=-工（x+3）2-2.

2

故答案为：y=-—（x+3）2-2.

2

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

32.（2020秋•延庆区期中）如图，正方形OABC的顶点3恰好在函数（a>0）的图象上，若正方形0ABe的

边长为J5，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15。，则a的值为

【分析】连接08,过8作8£>_Lx轴于。，若04与x轴的正半轴的夹角为15。，那么/8。。=60。；在正方形

OABC中，已知了边长，易求得对角线。8的长，进而可在中求得B。、的值，也就得到了B点的

坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数。的值.

【解答】解：如图，连接08,过B作8O_Lx轴于。，

则/BOA=45°,ZB0D=60°,

已知正方形的边长为圾，则。8=2,

为△080中，0B=2,ZBOD=60°,

则。。=工。8=1,BD=®0B=/,

22

故B（1,«）,

代入中，得：«=〃，

解得a=M，

故答案为«.

【点评】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确

地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键.

33.（2020秋•西城区校级期中）抛物线y=nf+灰+c经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l,其部分图象如图所

示.对于此抛物线有如下四个结论：

①abc<0；

@2a+b=0；

@4a-2b+c>0；

④若m>n>0,则x—m-1时的函数值小于x—n-1时的函数值.

其中正确结论的序号是③④.

【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即