2019甘肃省天水市中考数学试卷 (含答案)

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正

确的选项选出来）

1.（4分）已知间=1,匕是2的相反数，则a+b的值为（）

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

2.（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记

数法表示为（）

45

A.73X10-6B.0.73X10-C.7.3X10“D.7.3X10

3.（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）

4.（4分）一把直尺和一块三角板A8C（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点

D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A,且NCE0=5O°,那么以的大小为（）

A.145°B.140°C.135°D.130°

5.（4分）下列运算正确的是（）

A.（ab）2—a2b2B.a^cP—a4C.（a2）3=a5D.a2*ai=a6

6.（4分）已知“+人=工，则代数式2a+2/>-3的值是（）

2

A.2B.-2C.-4D.-32

2

7.（4分）如图，正方形A8CD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区

域内的概率为（)

D

BC

K

A.1B.1D.

42

8.（4分）如图，等边△0A8的边长为2,则点B的坐标为（)

A.(1,1)B.(1,遂)C.(V3-1)D.（丑，V3）

9.（4分）如图，四边形A8CZ）是菱形,。0经过点A、C、D,与8c相交于点E,连接AC、AE.若/£>=80°,则

NE4c的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

10.（4分）已知点尸为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的

运动时间为x,线段PM的长度为y,表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）

4△

A.PB.C.plD.p

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）

11.（4分）函数>=仃工中，自变量X的取值范围是

12.（4分）分式方程」--2=0的解是.

x-1x

13.（4分）一组数据2.2,3.3,4.4,11.1,a.其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是.

14.（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,

到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.（用百分数表示）

15.（4分）二次函数y=a/+bx+c的图象如图所示，若M=4a+26,N=a-b.则M、N的大小关系为MN.（填

"或“<"）

27

16.（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知OO经过原点。，与x轴、y轴分别交于A、B两点，8点坐标为（0,

2«）,OC与。。交于点C,NOC4=30°,则圆中阴影部分的面积为.（结果保留根号和IT）

17.（4分）如图，在矩形A8CD中，A8=3,40=5,点E在。C上，将矩形A8CZ）沿AE折叠，点。恰好落在BC边

上的点F处，那么sinZEFC的值为.

仁--------------P

18.（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个

O.

OO

OOO

OOOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

O

要个

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19.（10分）（1）计算：（-2）3+V16-2sin30°+（2019-n）°+|«-4|

2」

（2）先化简，再求值：（—尹-1）+长二一，其中x的值从不等式组.-x4^的整数解中选取.

x2+xX2+2X+12x-l<5

20.（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、

声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制

成如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题:

（1）在这次调查中，一共抽查了名学生.

（2）请你补全条形统计图.

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度.

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生?

21.（10分）如图,B（2,〃）两点，与坐标轴分别交于

x

M、N两点.

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出kx+b-1>0中x的取值范围;

x

（3）求△AOB的面积.

四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22.（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1,文化墙PM在天桥底部正前方8

米处（P8的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：V3.（参考数据：V2

心1.414,M&L732）

（1）若新坡面坡角为a,求坡角a度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由.

Mc_______,

PAB

23.（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规

定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数

关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的

销售利润最大？最大利润是多少？

N（件）

~010~16~裕^件）

24.（10分）如图，AB,AC分别是。。的直径和弦，03_LAC于点£>.过点A作。。的切线与

。。的延长线交于点P,PC、A8的延长线交于点E

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若/ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.

25.（10分）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）概念理解：如图2,在四边形ABCD中，AB^AD,C8=C。，问四边形ABC。是垂美四边形吗？请说明理由;

2222

（2）性质探究：如图1,四边形A8CQ的对角线AC、BD交于点O,ACLBD.试证明：AB+CD=AD+BCi

（3）解决问题：如图3,分别以Rt^ACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形A8QE,连结

CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

26.(13分)如图，已知抛物线经过点A(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),CO垂直于y轴，交抛物线

于点。，OE垂直于x轴，垂足为E,直线/是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)若RtZ\40C沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴/重合，再沿对称轴/向上平移到点C与点尸重合，

得到RtZXAiOi凡求此时RtZXAi。/与矩形0CDE重叠部分图形的面积；

(3)若Rt^AOC沿x轴向右平移，个单位长度(0<1<6)得到RtA42(?2C2,RtZXA202c2与RtZ\OE£)重叠部分图

形的面积记为S,求S与，之间的函数表达式，并写出自变量，的取值范围.

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正

确的选项选出来）

1.（4分）已知同=1,b是2的相反数，则a+b的值为（）

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

【分析】先根据绝对值和相反数得出〃、人的值，再分别计算可得.

【解答】解：：同=1,。是2的相反数,

."=1或a=-l,b--2,

当a=l时，a+b—\-2--1；

当a=-1时，a+h=-1-2=-3；

综上，a+b的值为-1或-3,

故选：C.

【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出。的值.

2.（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记

数法表示为（）

A.73X10-6B.0.73X10“c.7.3X10'4D.7.3X10-5

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aX10",与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.000073用科学记数法表示为7.3><10-5,

故选：D.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aX10,其中1W⑷V10,〃为由原数左边起第一个不

为零的数字前面的0的个数所决定.

3.（4分）如图所示，圆锥的主视图是（）

第7页（共74页）

A.B.

【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答.

【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图.

4.（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点

。和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A,且NCE£>=50°,那么雨的大小为（）

【分析】先利用三角形外角性质得到NFQE=NC+NCEO=140°,然后根据平行线的性质得到NB外的度数.

【解答】解：NFDE=NC+NCED=90°+50°=140°,

'：DE//AF,

；.NBFA=NFDE=140°.

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角

相等.

5.（4分）下列运算正确的是（）

A.（ab）2—a2b2B.c^+a1—^C.（a2）3—a5D.a2,a3=a6

【分析】根据合并同类项法则，同底数基相乘，底数不变指数相加；幕的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析

第8页（共74页）

判断后利用排除法求解.

【解答】解：

A选项，积的乘方：Cab）2—a2lr,正确

8选项，合并同类项：“2+“2=202,错误

C选项，幕的乘方：（a?）3=不，错误

。选项，同底数累相乘：。2./="5,错误

故选：A.

【点评】本题考查合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键.

6.（4分）已知则代数式2a+2〃-3的值是（）

2

A.2B.-2C.-4D.-31

2

【分析】注意到2“+2b-3只需变形得2（“+〃）-3,再将“+人=工，整体代入即可

2

【解答】解：

：2"+2b-3=2（a+6）-3.

...将•代入得：2XL-3=-2

22

故选:B.

【点评】此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可.

7.（4分）如图，正方形A8CD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区

域内的概率为（）

A.LB.1.C.—D.—

4284

【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率.

【解答】解：设正方形A8C。的边长为2”，

12

+乂冗Xa，

针尖落在黑色区域内的概率=2-----------=2L.

4a28

故选：C.

【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比.

第9页（共74页）

8.（4分）如图，等边△048的边长为2,则点8的坐标为（)

A.（1,1）B.（1,V3）C.（V3>1）D.（遂，如）

【分析】过点B作于，点，是等边三角形，所以可求出0H和8H长.

【解答】解：过点8作8HL4。于“点，♦.,△04B是等边三角形，

0H=1,BH=42-

.♦.点B的坐标为（1,、门）.

故选:B.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与图形的性质.

9.（4分）如图，四边形A8CD是菱形，。0经过点A、C、D,与8c相交于点E,连接4C、AE.若N£>=80°,则

/E4C的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】根据菱形的性质得到NACB=L/OC8=L（180。-ND）=50°,根据圆内接四边形的性质得到/AEB

22

=/。=80°,由三角形的外角的性质即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABCQ是菱形，/。=80°,

：.ZACB=LXDCB=1.（180°-ZD）=50°,

22

•.•四边形AEC。是圆内接四边形,

第10页（共74页）

.•./AE8=/O=80°,

AZEAC=ZAEB-ZACE=30a,

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

10.（4分）已知点尸为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点尸出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的

运动时间为x,线段的长度为），，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）

【分析】先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P点

在圆上运动时，开始），随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，则可对。进行判断，从而得到正确选项.

【解答】解：y与x的函数图象分三个部分，而8选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分,

所以B、C选项不正确；

A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确；

。选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时;的长有最小值.

故选：D.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，

不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义

即会识图.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）

11.（4分）函数x-2中，自变量x的取值范围是xN2.

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,就可以求解.

【解答】解：依题意，得x-220,

解得：在2,

故答案为：x22.

【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

12.（4分）分式方程工■-2=0的解是x=2.

x-1x

【分析】先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可

第11页（共74页）

【解答】解:

原式通分得：x-2（x-l）—

x（x-l）

去分母得：x-2（x-1）=0

去括号解得，x=2

经检验，x=2为原分式方程的解

故答案为x=2

【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程

求解.

13.（4分）一组数据2.2,3.3,4.4,11.1,a.其中整数a是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是5.

【分析】先利用中位数的定义得到a=4,然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数.

【解答】解：；整数〃是这组数据中的中位数，

.,.a=4,

.•.这组数据的平均数=工（2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5.

5

故答案为5.

【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处

于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中

位数.也考查了算术平方根.

14.（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，

到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为40%.（用百分数表示）

【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决.

【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为X,

20000（1+x）2=39200,

解得，XI=0.4,X2—-2.4（舍去），

该地区居民年人均收入平均增长率为40%,

故答案为：40%.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率.

15.（4分）二次函数y=a/+6x+c的图象如图所示，若M=4a+2S,N=a-b.则M、N的大小关系为MVN.（填

”或“V”）

第12页（共74页）

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【解答】解：当x=-l时，y—a~i>+c>0,

当x=2时，y^4a+2b+c<0,

M-N=4a+2b-（a-b）

=4a+2b+c-(a-h+c~)<0,

即M<N,

故答案为：<

【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.

16.（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知。。经过原点。，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0,

2«）,OC与。。交于点C,NOC4=30°,则圆中阴影部分的面积为2n-2亚.（结果保留根号和口）

【分析】连接AB,根据408=90°可知A8是直径，再由圆周角定理求出NO8A=/C=30°,由锐角三角函数

的定义得出OA及4B的长，根据S阴影=S半网-SAAB。即可得出结论.

【解答】解：连接A3,

VZAOB=9QQ,

.••A8是直径，

根据同弧对的圆周角相等得NO84=NC=30°,

,：OB=2M，

.•.OA=O8tanNABO=OBtan30°=2炳X®=2,AB=AO+sin30°=4,即圆的半径为2,

3

•••S阴影=S半圆-SAABO=¥\匕,-yx2x2依=2TT-2M.

故答案为：2ir-2jW

第13页（共74页）

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

17.（4分）如图，在矩形A8CZ）中，A8=3,AO=5,点E在。C上，将矩形ABC。沿AE折叠，点。恰好落在BC边

上的点F处，那么sin/EFC的值为A.

一5一

【分析】先根据矩形的性质得AO=BC=5,AB=CD^3,再根据折叠的性质得AF=A£>=5,EF=DE,在RtZUBF

中，利用勾股定理计算出8尸=4,则b=8C-"=l,设CE=x,贝I」DE=EF=3-x,然后在Rtz^EC尸中根据勾

股定理得到f+12=（3-X）2,解方程即可得到x,进一步得到EF的长，再根据正弦函数的定义即可求解.

【解答】解：•••四边形ABC。为矩形，

：.AD=BC=5,A8=CD=3,

♦..矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点力恰好落在BC边上的尸处，

：.AF=AD=5,EF=DE,

在RtAABF中，：BF=Tg2-研2=4,

：.CF=BC-BF=5-4=1,

设CE=x,则。E=EF=3-x

在RtAECF中，".'CE^+FC2=EF2,

.,.x2+l2=（3-x）2,解得x=&,

3

：.EF=3-x=^-,

3

AsinZ£FC=^-=A.

EF5

故答案为：a.

5

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质和勾股定理.

第14页（共74页）

18.（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有6058

个O.

OO

OOO

OOOO

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

OO

意个第1个

【分析】根据题目中的图形，可以发现O的变化规律，从而可以得到第2019个图形中。的个数.

【解答】解：由图可得，

第1个图象中。的个数为：1+3X1=4,

第2个图象中O的个数为：1+3X2=7,

第3个图象中O的个数为：1+3X3=10,

第4个图象中。的个数为：1+3X4=13,

.•.第2019个图形中共有：1+3X2019=1+6057=6058个O,

故答案为：6058.

【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中O的变化规律，利用数形结合的思想解

答.

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19.（10分）（1）计算:（-2）3+V16-2sin300+（2019-it）°+|盛-4|

（2）先化简，再求值：（［^-1）二!一,其中x的值从不等式组的整数解中选取.

22

x+xx+2x+l12X-1<5

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x的值代

入计算可得.

【解答】解：（1）原式=-8+4-2X—4-1+4-

=-8+4-1+1+4-遂

（2）原式=•区旦

x(x+l)X-1

第15页（共74页）

——X•x+1

x+1x-l

=-^—f

l-x

解不等式组f-x《l得-1WX<3,

[2x-l<5

则不等式组的整数解为-1、0、1、2,

w±i,xro,

・・x=2,

则原式=，_=-2.

1-2

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和运算法则及解一元一

次不等式组的能力.

20.(8分)天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、

声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)进行了问卷调查，并将调查结果绘制

成如下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽查了3名学生.

(2)请你补全条形统计图.

(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为115.2度.

(4)请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

【分析】(1)用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

(2)先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；

(3)用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数;

(4)用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可.

【解答】解：(1)84-16%=50,

所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；

第16页(共74页)

(2)喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4(人),

条形统计图为:

(3)扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°X」@=U5.2°；

50

故答案为50；115.2；

(4)1200X11=288,

50

所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生.

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，

然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.也考查了扇形统计图.

21.(10分)如图，一次函数、=履+匕与反比例函数y=&的图象交于A(/»,4)、B(2,M)两点，与坐标轴分别交于

x

例、N两点.

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出kx+b-1>0中x的取值范围;

x

(3)求△AOB的面积.

【分析】(1)将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出加、〃的值，从而求出两点坐标;

(2)根据题意，结合图象确定出x的范围即可；

(3)WAAOB的面积转化为S^AON-S&BONW®fRHPRj.

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【解答】解：（1）•••点A在反比例函数y=9•上,

X

.,.——4,解得〃?=1,

ID

...点A的坐标为（1,4）,

又•••点B也在反比例函数y=&上，

x

.".—=n,解得”=2,

2

...点B的坐标为（2,2）,

又•.•点A、B在了=区+匕的图象上，

.fk+b=4,解得［k=-2,

12k+b=2Ib=6

一次函数的解析式为y=-2x+6.

（2）根据图象得：丘+人-&>0时，x的取值范围为xVO或l<x<2；

x

（3）•直线y=-2JC+6与x轴的交点为N,

，点N的坐标为（3,0）,

SJXAOB=S^AON~SABON=Lx3X4--X3X2—3.

22

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的

关键.

四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22.（7分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面8C的坡度为1：1,文化墙在天桥底部正前方8

米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：V3.（参考数据：V2

Vs*51-732）

（1）若新坡面坡角为a,求坡角a度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由.

Mc_______,

PAR

【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；

（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题.

【解答】解：（1）•新坡面坡角为a,新坡面的坡度为1：M，

tana=-^q^,

V33

.,.a=30°；

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（2）该文化墙PM不需要拆除，

理由：作CDJ_AB于点D,则CD=6米,

•.•新坡面的坡度为1：风,

.•.tan/CW=CD=6=匚

AD-AD-V3

解得，米，

•.•坡面BC的坡度为1：1,8=6米，

二8。=6米，

：.AB=AD-BD^(673-6)米，

又,.,PB=8米，

：.PA=PB-AB=S-(673-6)=14-6«%14-6X1.732g3.6米＞3米,

...该文化墙PM不需要拆除.

PABD

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和

数形结合的思想解答.

23.（10分）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规

定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数

关系如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的

销售利润最大？最大利润是多少？

小件）

~010~16~裕件）

【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；

（2）根据“总利润=每件的利润X销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求

解可得.

【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为丫=息+"

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将(10,30)、(16,24)代入，得：［10k+b=30,

I16k+b=24

解得:件7,

lb=40

所以y与x的函数解析式为y=-x+40(10WxW16)；

(2)根据题意知，W=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-f+50x-400

=-(x-25)2+225,

"：a=-l<0,

...当x<25时，W随x的增大而增大，

•.T00W16,

...当x=16时，W取得最大值，最大值为144,

答：每件销售价为16元时•，每天的销售利润最大，最大利润是144元.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次

函数解析式及二次函数的性质.

24.(10分)如图，AB,AC分别是。0的直径和弦，OOLAC于点D过点A作的切线与

0D的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若N48C=60°,AB=10,求线段CF的长.

【分析】(1)连接0C,可以证得△OAP丝△OCP,利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到:

ZOCP=90°,即OC_LPC,即可证得；

(2)先证△08C是等边三角形得NCOB=60°,再由(1)中所证切线可得/OCF=90°,结合半径0C=5可得

答案.

【解答】解：(1)连接0C,

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p

"：OD±AC,。。经过圆心O,

J.AD^CD,

：.PA^PC,

在△OAP和△OCP中,

OA=OC

PA=PC，

OP=OP

：./\OAP^/\OCP(555),

：.ZOCP=ZOAP

,：PA是O。的切线,

NOAP=90°.

/OCP=90°,

即OCJLPC

是O。的切线.

（2）'：OB=OC,ZOBC=60°,

...△OBC是等边三角形，

NCOB=60°,

'：AB=\0,

：.OC=5,

由（1）知NOCF=90°,

CF=OCtanZCOB=573.

【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的

思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题.

25.（10分）如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

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（1）概念理解：如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,CB=CD,问四边形ABC。是垂美四边形吗？请说明理由;

（2）性质探究：如图1,四边形A8CQ的对角线AC、8。交于点O,AC±BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解决问题：如图3,分别以RtZXACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形A8CE,连结

CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算.

【解答】解：（1）四边形ABC。是垂美四边形.

证明：'."AB=AD,

点4在线段BD的垂直平分线上，

'：CB=CD,

，点C在线段BD的垂直平分线上，

直线AC是线段BD的垂直平分线，

：.AC1BD,即四边形ABC。是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.

如图2,已知四边形A8C£＞中，ACLBD,垂足为E,

求证：AD1+BC2=AB2+CD1

证明：'：ACA.BD,

：.ZAED=NAEB=NBEC=/C£D=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AEi+DE1+BE1+CE1,

AB2+CD2=AE1+BE1+CE1+DE2-,

：.ACr+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2^AB2+CD2.

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(3)连接CG、BE,

'：ZCAG=ZBAE=90c,,

，ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/G4B=NCAE,

fAG=AC

在△G48和△CAE中，，ZGAB=ZCAE-

AB=AE

.•.△GABdCAE(SAS),

:.NABG=NAEC,又/AEC+NAME=90°,

NA8G+/AME=90°,即CE_LBG,

四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

：AC=4,AB=5,

：.BC=3,CG=4®,BE=5®

：.GE1=CG2+B£2-CB2=73,

•■•G£=V73-

图3

图2

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四

边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

26.(13分)如图，己知抛物线y=o?+bx+c经过点4(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),CD垂直于y轴，交抛物线

于点。，OE垂直于x轴，垂足为E,直线/是该抛物线的对称轴，点产是抛物线的顶点.

(1)求出该二次函数的表达式及点。的坐标；

(2)若RtZVIOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴/重合，再沿对称轴/向上平移到点C与点尸重合，

得到RtAAiOiF,求此时为△4O1F与矩形OC£)E重叠部分图形的面积；

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(3)若Rt^AOC沿x轴向右平