中考数学二轮培优复习几何专项练习：最值问题之阿氏圆（含解析）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试卷第=page11页，共=sectionpages11页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中考数学几何专项练习：最值问题之阿氏圆一、填空题1．如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0的半径为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以SKIPIF1<0为斜边构造等腰直角三角形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，推得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0即可求出答案．解法2：如图：连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上做点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上做点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，接着推导出SKIPIF1<0，最后证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解法1如图：以SKIPIF1<0为斜边构造等腰直角三角形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：2．解法2如图：连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0根据题意正方形SKIPIF1<0的边长为4，SKIPIF1<0的半径为2SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上做点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上做点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0如图所示连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．2．如图所示的平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第一象限内一动点，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】取点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根据SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，利用勾股定理可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，问题得解．【详解】解：如图，取点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（当B、P、T三点共线时取等号）SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．3．如图所示，SKIPIF1<0，半径为2的圆SKIPIF1<0内切于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别垂直于SKIPIF1<0的两边，垂足为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示，通过代换，将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，得到当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如图所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0取得最大和最小，①连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图1所示：可得：四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；②连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图2所示：可得：四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，由上同理可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．4．如图，在SKIPIF1<0中，点A、点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用相似三角形的性质证明SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值问题转化为求SKIPIF1<0的最小值．求出SKIPIF1<0即可判断．【详解】解：延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．5．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则SKIPIF1<0PA＋PB的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0PA＋PB＝SKIPIF1<0（PA＋SKIPIF1<0PB），利用相似三角形构造SKIPIF1<0PB即可解答．【详解】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝SKIPIF1<0BC＝2，OB＝SKIPIF1<0r＝2SKIPIF1<0，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴SKIPIF1<0，∴PI＝SKIPIF1<0PB，∴AP＋SKIPIF1<0PB＝AP＋PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋SKIPIF1<0PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝SKIPIF1<0BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，∴AI＝SKIPIF1<0，∴AP＋SKIPIF1<0PB最小值＝AI＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0PA＋PB＝SKIPIF1<0（PA＋SKIPIF1<0PB），∴SKIPIF1<0PA＋PB的最小值是SKIPIF1<0AI＝SKIPIF1<0．故答案是SKIPIF1<0．【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．6．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0,则在点P运动的任意时刻，均有PM=SKIPIF1<0，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得SKIPIF1<0．【详解】如图，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造SKIPIF1<0是解题的关键．7．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝SKIPIF1<0．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则SKIPIF1<0DQ+CQ的最小值为．【答案】5【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得SKIPIF1<0即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝SKIPIF1<0QD，故SKIPIF1<0DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．【详解】解：如图，连接AC、AQ，∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝SKIPIF1<0，cos∠PCQ＝SKIPIF1<0，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴SKIPIF1<0∵BP＝SKIPIF1<0，∴AQ＝2，∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴SKIPIF1<0即EQ＝SKIPIF1<0QD，∴SKIPIF1<0DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0DQ+CQ的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.8．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以点B为圆心作圆B与SKIPIF1<0相切，点P为圆B上任一动点，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHSKIPIF1<0ACSKIPIF1<0，接着证明△BPD∽△BCP得到PDSKIPIF1<0PC，所以PASKIPIF1<0PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PASKIPIF1<0的最小值．【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACSKIPIF1<0BA＝2SKIPIF1<0，∴BHSKIPIF1<0ACSKIPIF1<0，∴BPSKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴SKIPIF1<0，∴PDSKIPIF1<0PC，∴PASKIPIF1<0PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而ADSKIPIF1<0，∴PA+PD的最小值为SKIPIF1<0，即PASKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDSKIPIF1<0PC．也考查了等腰直角三角形的性质．9．如图，在RtSKIPIF1<0中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的SKIPIF1<0上任意一点，连接BP，CP，则SKIPIF1<0BP+CP的最小值是．【答案】SKIPIF1<0．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，推出PT＝SKIPIF1<0PB，推出SKIPIF1<0PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝SKIPIF1<0AT•AB，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵∠PAT＝∠PAB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴PT＝SKIPIF1<0PB，∴SKIPIF1<0PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在RtSKIPIF1<0中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0PB+PC≥SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0PB+PC的最小值为SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是.

【答案】SKIPIF1<0【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将SKIPIF1<0转化为DE，从而求得SKIPIF1<0的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4∴SKIPIF1<0∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴SKIPIF1<0∴ED=SKIPIF1<0在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴SKIPIF1<0在Rt△ECB中，EB=SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴2AD+3DB=SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．11．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣SKIPIF1<0PC的最大值为．【答案】5【详解】分析:由PD−SKIPIF1<0PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−SKIPIF1<0PC的值最大，最大值为DG＝5．详解:在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴SKIPIF1<0，∴PG＝SKIPIF1<0PC，当点P在DG的延长线上时，PD−SKIPIF1<0PC的值最大，最大值为DG＝SKIPIF1<0＝5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．二、解答题12．已知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有公共顶点C，SKIPIF1<0为等边三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)如图2，SKIPIF1<0，A、E、D三点共线，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点M，连接SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0以C为旋转中心旋转，取SKIPIF1<0中点F，当SKIPIF1<0的值最小时，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）延长SKIPIF1<0到T，使得SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，过点D做SKIPIF1<0于N，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为等边三角形，设SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，求出x的值即可得出答案；（2）延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，得出SKIPIF1<0，即可证明结论；（3）连接SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点G，以点C为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，在SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于一点，当点F在此点时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小，过点M作SKIPIF1<0于点N，过点A作SKIPIF1<0于点Q，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得出答案．【详解】（1）解：延长SKIPIF1<0到T，使得SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0，过点D做SKIPIF1<0于N，如图所示：∵SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∵四边形ABDC的面积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）证明：延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如图所示：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵A为SKIPIF1<0中点，M为SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：如图，连接SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0于点G，以点C为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，在SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点F为等边三角形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的长度为定值，∴在SKIPIF1<0旋转时，点F在以C为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，∴如图，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于一点，当点F在此点时，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小，过点M作SKIPIF1<0于点N，过点A作SKIPIF1<0于点Q，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出SKIPIF1<0取最小值时，点F的位置．13．如图1，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，抛物线的对称轴是直线SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)若点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0下方的抛物线上一个动点，是否存在点SKIPIF1<0使四边形SKIPIF1<0的面积为16，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交抛物线的对称轴于点SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，2为半径作SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一个动点，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，抛物线的对称轴是直线SKIPIF1<0．待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线SKIPIF1<0解析式，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0等于16建立方程，解一元二次方程即可求得SKIPIF1<0的值，然后求得SKIPIF1<0的坐标，（3）在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0三点共线时，取得最小值，最小值为SKIPIF1<0，勾股定理解直角三形即可．【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，抛物线的对称轴是直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线解析式为：SKIPIF1<0，（2）当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0的面积为16，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，（3）如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交抛物线的对称轴于点SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，2为半径作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线的对称轴，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交抛物线对称轴于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，取得最小值，最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．如图1，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0，与y轴交于点B，在x轴上有一动点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为SKIPIF1<0，△AEN的周长为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到SKIPIF1<0，旋转角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)a=-SKIPIF1<0．直线AB解析式为y=-SKIPIF1<0x+3；(2)2(3)SKIPIF1<0【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出SKIPIF1<0，列出方程即可解决问题；（3）在y轴上取一点M使得OM′=SKIPIF1<0，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+SKIPIF1<0E′B的最小值．【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-SKIPIF1<0，∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴-SKIPIF1<0=4，∴a=-SKIPIF1<0．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AB解析式为y=-SKIPIF1<0x+3；（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵NE∥OB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵抛物线解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根，∴m=2；（3）如图2，在y轴上取一点M′使得OM′=SKIPIF1<0，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=SKIPIF1<0，∴OE′2=OM′•OB，∴SKIPIF1<0，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值SKIPIF1<0．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是SKIPIF1<0的最小值．15．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝SKIPIF1<0，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋SKIPIF1<0AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋SKIPIF1<0AD的最小值．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝SKIPIF1<0AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+SKIPIF1<0AD的值最小，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴SKIPIF1<0，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝SKIPIF1<0，∴BD+SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0；②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，AD＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BD+SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0，综上所述，BD＋SKIPIF1<0AD的值SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，∵CD＝SKIPIF1<0，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴DM＝SKIPIF1<0AD，∴BD+SKIPIF1<0AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+SKIPIF1<0AD的值最小，最小值SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+SKIPIF1<0PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5，B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+SKIPIF1<0PA的最小值为SKIPIF1<0，理由详见解析.【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有SKIPIF1<0，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得SKIPIF1<0等于相似比SKIPIF1<0，进而得PD＝SKIPIF1<0AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+SKIPIF1<0PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴SKIPIF1<0

解得：SKIPIF1<0∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝SKIPIF1<0AB•OC＝SKIPIF1<0×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝SKIPIF1<0AB•MH＝SKIPIF1<0×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴SKIPIF1<0∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴SKIPIF1<0∴PD＝SKIP