第7章 应力状态和强度理论

第七章第七章主要内容§7–1应力状态的概念§7–2二向应力状态分析——解析法§7–3二向应力状态分析——图解法§7–4三向应力状态研究——应力圆法§7–5广义胡克定律§7–6复杂应力状态下的应变能密度§7–7强度理论及其应用重点：1、平面、空间应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。2、广义胡克定律及其应用。3、强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。4、广义胡克定律及其应用。5、常用四个强度理论的理解；危险点的确定及其强度计算。一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？FF低碳钢拉伸F铸铁压缩§7–１应力状态的概念M低碳钢铸铁2、问题：组合变形杆将怎样破坏？MF四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体——包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体单元体的性质——a、各面应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态xyzs

xsz

s

ytxyxyzs

xsz

s

yτxy五、切应力互等定理

过一点的两个正交面上与相交边垂直的切应力分量数值等值、方向相对或相离。六、单元体的画法例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCtzxsxsxBtxztxytyx七、主单元体、主平面、主应力：

主单元体(Principalbody)：

各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面(PrincipalPlane)：

切应力为零的截面。

主应力(PrincipalStress）：

主面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，

s1s2s3y

xzsxsysz

单向应力状态：

一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态：

一个主应力为零的应力状态。

三向应力状态：

三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxzsxtxysyxyzxysxtxysyO§7–2二向应力状态分析——解析法规定：

与截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。一、任意斜截面上的应力图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：sytxysxsataaxyOtn同理：二、极值应力xysxtxysyOxysxtxysyO正应力平面和切应力平面相差45度例：分析受扭构件的破坏规律。MC解：

确定危险点并画其原始单元体

求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析低碳钢铸铁例:

单元体的应力状态如图所示，试求主应力并确定主平面75MPa25MPa40MPa解：1）主应力2）主平面知识点回顾：1、单元体应力状态分布2、单元体内任意截面所受应力符号判定及计算3、单元体内正应力、切应力极值确定；主应力、主平面确定；主应力排序规则例

画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3alSF例：

画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体

xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213406050例：

图示单元体,试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:①求

e-f

截面上的应力60°x②求主应力和主单元体的方位因为|-22.5|<|67.5|,所以

0=-22.5°

y

x

xy-22.5°

1

3一、应力圆（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）§7–3平面应力状态分析——图解法把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去2

,得

建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

在坐标系内画出点A(

x，

xy)

和B(

y，

yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。

以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)sxtxysyxyOnsataaOsataCD(sx

,txy)D’(sy

,tyx)x2anE(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系

面上的应力(

，

)

应力圆上一点(

，

)

两面夹角

两半径夹角2

；且转向一致。FB四、在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s31.求单元体上任一截面上的应力2.求主应力数值和主平面位置3.求最大切应力s3例：求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

1

2解：

主应力坐标系如图

AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

0s1s2BAC2

0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主应力及主平面如图

1

0

2AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO例

两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:①首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图

Mmax

=MC

=80kN·m

FSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab②横截面C上a点的应力为

a点的单元体如图所示a

x

x

xy

yx由

x,xy

定出D

点，由

y,yx

定出D′点，以DD′为直径作应力圆O

C③做应力圆

x=122.5MPa,xy

=64.6MPa

y=0,

xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2

A1,A2

两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力

1和

3

A1点对应于单元体上

1所在的主平面

a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab④横截面C上b点的应力

b点的单元体如图所示b

x

x

b点的三个主应力为

1所在的主平面就是x

平面,即梁的横截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

1上节回顾：二向应力状态分析：

1、解析法与图解法的内在联系

2、应力圆的画法、单元体与应力圆的对应关系

3、应力圆的三个应用4、图解法的综合应用（内力图、应力求解、单元体应力分析、图解法求解主应力及主平面）

s1s2xyzs31、三向应力状态（空间应力状态）xyzABContpxpypz

n

n§7–4三向应力状态研究——应力圆法1）设ABC的法线n的三个方向余弦分别为l，m，n，则：2）设ABC的面积为dA，则：3）ABC面应力p可分解为px，py，pz，则：4）ABC面应力p还可分解为

n，

n，则：1xyzABContpxpypz

n

n23xyzABContpxpypz

n

ns2s1xyzs32、三向应力分析

弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a

整个单元体内的最大切应力为：s2s1xyzs3图btmax例4

求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：

由单元体图知：yz面为主面

建立应力坐标系如图，画应力圆和点

1′,得:5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax例：

单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由

x,

xy

定出D

点由

y,

yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆

A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆一、各向同性材料的广义胡克定律（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定(Signconvention)（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.x

xyz

y

xy

yx

z§7-6广义胡克定律

y

y

x方向的线应变用叠加原理,分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变

x,

y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyyz

z

z

x

x在

x

,

y

,

z同时存在时,x

方向的线应变

x为同理,在

x,

y

,

z同时存在时,y,z

方向的线应变为在xy,yz,zx

三个面内的切应变为上式称为广义胡克定律（GeneralizedHooke’slaw）

——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的角应变

对于平面应力状态（inplanestress-state）

（假设

z

=0,

xz=0,

yz=0）xyz

xy

x

y

yx

x

y

xy

yx3.主应力-主应变的关系（Principalstress-principalstrainrelation）

二向应力状态下：设

3=0已知

1,

2,

3;

1,

2,

3为主应变二、各向同性材料的体积应变

1

2

3a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+

,dy(1+

2,dz(1+

3

V1=dx(1+

·

dy(1+

2

·

dz(1+

3

体积应变（volumetricstrain）为1.纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变三个主应力为

单元体的体积应变

m

m

m结论这两个单元体的体积应变相同

m

m

m

1

2

3dxdydz

单元体的三个主应变为如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力

m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变

x

,

y,

z

有关,仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.例：

已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，

试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态例：图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变

t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚

=10mm，容器材料的E=210GPa，

=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy1、轴向应力:解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程psmsmxD用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：3、求内压（以应力应变关系求之）

t

m外表面ypststDqdqzO

2

3

1图a§7－6复杂应力状态下的应变能密度三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为：用vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度用vV

表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度

2

3

1图a图

c

3

-

m

1-

m

2-

m

m图b

m

m称为形状改变应变能密度或歪形能。图

c

3

-

m

1-

m

2-

m:单元体的应变能密度为：图b例：用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的应变能密度为：

纯剪单元体主应力下应变能密度表示为：txyA

1

3§7–7强度理论及其应用一、强度理论的概念轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件1、简单强度校核（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;2、强度理论的概念是关于“构件发生强度失效起因”的假说.基本观点

构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.屈服失效（Yieldingfailure）

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效（Fracturefailure）（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.3、材料的破坏形式铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？PP铸铁拉伸P铸铁压缩§7–7强度理论及其应用M低碳钢铸铁问题：组合变形杆将怎样破坏？MP引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力1、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。二、四个强度理论及其相当应力2、最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。3、最大切应力（第三强度,Tresca）理论：认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就失效了。1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2）、强度准则：4、畸变能密度（第四强度,Mises）理论：认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服极限时，构件就失效了。1）、破坏判据：2）、强度准则3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。

莫尔强度理论是由综合实验结果建立的，主要考虑了材料抗拉和抗压强度不相等的情况。5、莫尔强度理论1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服或断裂的构件。2）、强度准则：三、强度理论的相当应力1、强度计算的步骤：1）、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。2）、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。3）、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。四、强度理论的应用2、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1）、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3）、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：

2）、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论4）、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论其它应力状态时，使用第三或第四理论。3、强度计算的步骤（1）外力分析:确定所需的外力值;（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面;（3）应力分析:画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.例：

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,为铸铁构件，[

]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。FFTTA解：危险点A的应力状态如图：故，安全。FFTTAAAAst例：图a所示为承受内压的薄壁容器。在容器表面用电阻应变片测得环向应变