第4章信号与系统

§4.1 引言以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围优点在于：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍；缺点在于：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章内容及学习方法

本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。§4.2拉普拉斯变换的定义、

收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换3．拉氏变换对二．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号4．tnu(t)§4.3拉普拉斯变换的基本

性质主要内容线性

原函数微分原函数积分

延时（时域平移）s域平移

尺度变换初值

终值卷积

对s域微分对s域积分一．线性已知则同理例题：二．原函数微分推广：电感元件的s域模型电感元件的s模型应用原函数微分性质设三．原函数的积分电容元件的s域模型电容元件的s模型四．延时（时域平移）时移特性、例题【例1】已知【例2】五．s域平移例六．尺度变换时移和标度变换都有时:七．初值例

即单位阶跃信号的初始值为1例终值存在的条件:八．终值九．卷积十．对s微分十一．对s积分§4.4拉普拉斯逆变换主要内容由象函数求原函数的三种方法部分分式法求拉氏逆变换两种特殊情况一．由象函数求原函数的三种方法(1)部分分式法(2)利用留数定理——围线积分法(3)数值计算方法——利用计算机二．F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点三．拉氏逆变换的过程四．部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在第一种情况：单阶实数极点(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数如何求系数k1,k2,k3``````？第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

求f(t)例题F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法3.第三种情况：有重根存在如何求k2?如何求k2?设法使部分分式只保留k2，其它分式为0逆变换一般情况求k11，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式五．F(s)两种特殊情况非真分式------化为真分式＋多项式1.非真分式－－真分式＋多项式作长除法2.含e-s的非有理式§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型分析电路一.用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。二．微分方程的拉氏变换

我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。例4-5-1（4）求反变换求采用0-系统采用0+系统两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。(3)对微分方程两边取拉氏变换采用0-系统采用0+系统(4)原方程取拉氏变换三．利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型2.电路定理的推广线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。电阻元件的s域模型电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

电容元件的s域模型电流源形式：3.求响应的步骤

画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。例4-5-2例4-5-3例4-5-2列s域方程:结果同例4-5-1例4-5-3(1)(2)(3)列方程解：极点故

逆变换设则波形第一种情况：阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。第二种情况：引入符号所以第三种情况：第四种情况：波形作业4-1（3）（7）（8）（14）（15）（18）4-3（5）4-4（14）（19）（20）4-9外加条件，E=L=C=R=1§4.6系统函数(网络函数)H(s)系统函数LTI互联网络的系统函数并联

级联

反馈连接1.定义一．系统函数响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口4.应用：求系统的响应3．求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→例4-6-1(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)例4-6-2解：于是得到二．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联3．LTI系统的反馈连接例4-6-3已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。§4.7系统函数零、极点分布决定时域特性序言H(s)零、极点与h(t)波形特征H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应

一．序言

冲激响应h(t)与系统函数H(s)从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：1．可以预言系统的时域特性；2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点例4-7-1极点：零点：画出零极点图：2．H(s)极点分布与原函数的对应关系几种典型情况一阶极点当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡二阶极点三．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应激励：系统函数：响应：自由响应分量＋强制响应分量几点认识自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点

自由响应分量；激励函数的极点

强迫响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。暂态响应和稳态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例4-7-2给定系统微分方程试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换零输入响应／零状态响应则

稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应作业4-10：（a），且所有参数的值为14-29§4.8由系统函数零、极点分布

决定频响特性

定义几种常见的滤波器根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一．定义

所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况。前提：稳定的因果系统。

有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。时域：频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。

H(s)和频响特性的关系频响特性系统的稳态响应二．几种常见的滤波器三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线令分子中每一项分母中每一项画零极点图

当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和幅角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。由矢量图确定频率响应特性例4-8-1确定图示系统的频响特性。例4-8-2研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性写出网络转移函数表达式解:频响特性例4-8-3其转移函数为相当于低通与高通级联构成的带通系统。解：低通滤波器高通滤波器频响特性§4.11线性系统的稳定性

引言定义（BIBO）由H(s)的极点位置判断系统稳定性一．引言某连续时间系统的系统函数当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为但t很大时，这个正指数项超过其他项并随着t的增大而不断增大二．定义（BIBO）

一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。对所有的激励信号e(t)其响应r(t)满足

则称该系统是稳定的。式中稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件）：三．由H(s)的极点位置判断系统稳定性1．稳定系统

若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统是稳定的。例如系统稳定；2．不稳定系统

如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点系统是不稳定系统。3．临界稳定系统

如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。为非零数值或等幅振荡。4．系统稳定性的判据从频域看要求H(s)的极点：

①右半平面不能有极点(稳定)②虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。例当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？加法器输出端的信号输出信号如图所示反馈系统，子系统的系统函数则反馈系统的系统函数为为使极点均在s左半平面，必须作业4-38（e）（f）§4.12双边拉氏变换定义双边拉氏变换的收敛域一．定义优点：收敛域：二．双边拉氏变换的收敛域全时域信号s<ba<\收敛带不同的函数在各不相同的收敛条件下可能得到同样的拉式变换。例：取双边拉式变换，注明收敛域解：

求得每一步都应写明变换式的收敛域。4.12拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系引言傅氏变换与拉氏变换的关系衰减函数，傅氏变换是存在:例如：

当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法(定义式)，而是用取极限的方法（矩形脉冲的周期为无穷大），引入了冲激函数而得到的。对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴

（4-162）

则总结

对于有起因信号，求单边拉氏变换中，一般是t>0的信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐标。 例4-12-1例4-12-2两种方法结果相同第四章复习课李莉拉普拉斯变换拉氏变换对基本性质线性

原函数微分原函数积分

延时（时域平移）s域平移

尺度变换初值

终值卷积

对s域微分对s域积分一．线性二．原函数微分三．原函数的积分四．延时（时域平移）五．s域平移六．尺度变换七．初值终值存在的条件:八．终值九．卷积十．对s微分十一．对s积分双边拉氏变换一．定义优点：收敛域：二．双边拉氏变换的收敛域全时域信号s<ba<\收敛带拉普拉斯逆变换拉氏逆变换的过程F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解部分分式展开法(m<n)1.第一种情况：单阶实数极点2.第二种情况：极点为共轭复数3.第三种情况：有重根存在第二种情况：极点为共轭复数共轭极点出现在

求f(t)F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法一般情况求k11，方法同第一种情况：求其它系数，要用下式F(s)两种特殊情况非真分式------化为真分式＋多项式拉普拉斯变换

与傅里叶变换的关系用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。微分方程的拉氏变换

我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型2.电路定理的推广线性稳态电路分析的各种方法都适用。3.求响应的步骤画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。电阻元件的s域模型电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

电容元件的s域模型电流源形式：3.求响应的步骤

画0-等效电路，求起始状态；画s域等效模型；列s域方程（代数方程）；解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)；拉氏反变换求v(t)或i(t)。系统函数(网络函数)H(s)1.定义一．系统函数响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比应用：求系统的响应求H(s)的方法利用网络的s域元件模型图，列s域方程→微分方程两端取拉氏变换→二．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联2．LTI系统的级联3．LTI系统的反馈连接系统函数与系统特性关系H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点一阶极点当，极点在左半平面