知识资料数学空间解析几何(四)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页7（二）两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。设有平面Ⅱ1,:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，则Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式决定：由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1CⅡ1与Ⅱ2平行相当于空间一点P0（x0，y0，z0）到平面的距离，有以下公式：（三）例题【例1-1-5】求过三点Ml(2,-1，4)、M2（-l,3，-2）和M3(0,2,3）的平面的方程。由平面的点法式方程，得所求平面方程为【例1-1-6】求两平面x-y+2z-6=0,2x+y+z-5＝0的夹角。【解】因为故所求夹角。【例1-1-7】平行于x轴且经过点（4,0，-2）和点（2,1,1）的平面方程是【解】由平面平行于x轴知，平面方程中x的系数为0，故（A）、（B）不准确。由平面经过两已知点，知（C）满意，故选（C）.三、直线（一）空间直线的方程设空间直线L是平面Ⅱ1:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，的交线，则L的方程为。此方程称为空间直线的普通方程。设直线L过点M0（x0,y0,z0)，它的一个方向向量为s=（m,n,p)，则直线L的方程为此方程称为直线的对称式方程。如设参数t如下：此方程组称为直线的参数式方程。（二）两直线的夹角两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角（通常指锐角）。设直线L1：和直线L2:则L1和L2的夹角可由下式决定：由此可得L1和L2互相垂直相当于L1和L2平行相当于（三）直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角，通常规定。设直线的方程是平面的方程是则直线与平面的夹角φ由下式决定：由此可得直线与平面垂直相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于Am+Bn+CP=0（四）例题【例1-1-8】求过两点M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直线方程。【解】取=（-4,2,1)为直线的方向向量，由直线的对称式方程得所求直线方程为【解】直线L1和L2的方向向量依次为s1=(1,-4,1)、s2=(2,-2,-1).设直线L1和L2的夹角为,则所以则L的参数方程是【解】因为两平面的交线L与这两平面的法线向量nl=（1，-1,1),n2=（2，1,1）都垂直，所以直线L的方向向量s可取nlXn2，即由此可知（C）与（D）不准确。而点（1,1,1）是直线L上的一点，故应选（A）。四、二次曲面旋转曲面柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。例如球面：椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注重：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。（二）旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面以x轴为旋转轴的旋转双曲面已知旋转曲面的母线C的方程为旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z）＝0中的y换成，便得曲线c绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。（三）柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。例如，以xOy平面上的圆x2+y2＝R2为准线，平行于z轴的直线为母线的圆柱面以xOy平面上的抛物线y2＝2x为准线，平行于z轴的直线为母线的抛物柱面在空间直角坐标系中，倘若曲面方程F(x,y，z)＝0中，缺少某个变量，那么该方程普通表示