SD知识资料第7章知识资料第7章知识资料对一般荷载的反应知识资料

中南大学土木工程学院桥梁工程系主讲教师：韩建平石岩E-mail：syky86@163.com个人主页：兰州理工大学土木工程学院结构动力学DynamicsofStructures结构动力学本章提要§7-1脉冲荷载作用下的动力响应§7-2任意荷载作用下的动力响应§7-3利用频域进行的反应分析§7-4时域和频域转换函数之间的关系3§7-1脉冲荷载作用下的动力响应瞬时冲量：脉冲荷载在极短时间t≈0内给予振动物体的冲量：动量增值：t=0时，瞬时冲量I作用于质点上m，使其增加动量，记作：假设冲击之前的初始位移和初始速度均为零，则冲量I全部传给质点m

，即I=D，就有：瞬时冲量I作用下质点获得的初速度：4由于瞬时冲量I作用时间很短t

≈0，质点获得初速度后还未来得及产生位移冲量即行消失，体系将产生自由振动。自由振动方程：位移反应：因为

v0=0，脉冲荷载

作用下体系的位移反应为：5§7-2任意荷载作用下的动力响应任一时刻t=t

时的脉冲作用下，体系的位移反应：根据叠加原理，体系在任意荷载下的反应可以看作是一系列脉冲连续作用的结果：任意荷载：由一系列连续发生的脉冲荷载组成！t-tFrom6即对单自由度受迫振动体系的运动方程：的一个特解是：称为Duhamel积分。定义单位脉冲响应函数：(a)则（a）式成为卷积积分：方程的通解：（b）Convolutionintegral7Duhamel积分的物理意义整个荷载时程可以看作是由一系列连续的短脉冲所组成所有的脉冲反应均按同样的圆频率、同样的衰减规律振动体系的动力反应可以将0<t<τ

时段内所有荷载时程FP(t)所激励的在时刻t的全部微分反应相加获得每个短脉冲都激起结构的振动每个短脉冲的幅值是不同的问题：Duhamel

积分的使用条件？每个脉冲在t时刻都有反应Itisimportanttonotethatthisapproachmaybeappliedonlytolinearsystemsbecausetheresponseisobtainedbysuperpositionofindividualimpulseresponses.8质点相对于地面的速度为:质点的绝对加速度为:质点的最大绝对加速度为：在求最大值的过程中，作如下简化（1）由于阻尼比

很小；（2）

d与

很相近，所以可以取

d＝

；（3）用sin

(t-

)取代cos

(t-

)。质点相对于地面的速度为质点相对于地面的最大速度反应为11最大相对速度最大加速度在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。最大相对位移12地震反应谱：单自由度体系在给定地震动作用下某种反应量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线。（1）单自由度体系（SDOF）（2）给定地震动（3）非一个结构，一系列SDOF（4）某个地震反应（a,v,d）（5）SDOF的最大反应（6）给定的阻尼比（7）弹性结构ElCentro地震动作用下SDOF位移反应T=0.2sT=1.0sT=2.0sT=4.0s最大反应之间的关系1516ChopraAK：AplotofthepeakvalueofaresponsequantityasafunctionofthenaturalvibrationperiodTn

ofthesystem,orarelatedparametersuchascircularfrequencyωnorcyclicfrequencyfn,iscalledtheresponsespectrumforthatquantity.

ElnashaiAS.FundamentalsofEarthquakeEngineering:FromSourcetoFragilityAresponsespectrumisaplotofthemaximaoftheacceleration,velocityanddisplacementresponseofsingle‐degree‐of‐freedom(SDOF)systemswithvariousnaturalperiodswhensubjectedtoanearthquakegroundmotion.

FarzadNaeim：Theseismicdesignhandbookthemaximumresponseofadampedsingle-degree-of-freedom(SDOF)oscillatoratdifferentfrequenciesorperiods.反应谱的英文表达：特点：不规则，不能用函数表示，如何求解？——数值积分ElCentro地震记录17位移反应谱El-centro1940（N-S）地震记录18相对速度反应谱El-centro1940（N-S）地震记录191940年美国帝国谷（ImperialValley）地震（7.1级）埃森特罗（ElCentro）台站记录（Gal=cm/s2）此记录频带宽、幅值大、获取时间早，长期以来成为地震工程研究和结构抗震分析计算最常用的强震记录，具有经典意义。绝对加速度反应谱ElCentro1940（N-S）地震记录20相对位移反应谱绝对加速度反应谱相对速度反应谱地震反应谱的特点1.阻尼比对反应谱影响很大2.对于加速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。21不同场地条件对反应谱的影响将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱

地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。22(一)、水平地震作用的基本公式对于某一特定的地面运动，体系的加速度反应，质点的绝对加速度为质点的最大绝对加速度地震时结构经受的最大地震作用（3.17)(二)、地震影响系数23地震影响系数包含地面运动强烈程度和结构反应大小

地震系数反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。24

动力系数(放大倍数）为单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面运动最大加速度放大了多少倍。

地震烈度6789

地震系数k

0.050.1(0.15)0.2(0.3)0.4基本地震烈度与地震系数的关系表3.1关键要确定影响因素：设防烈度，场区的地震动特性和场地条件。结构动力特性。(三)、水平地震作用的计算一般有25

——地震影响系数；——地震影响系数最大值；——直线下降段的下降斜率调整系数；——阻尼调整系数；——衰减指数；——场地特征周期；——结构自振周期；标准的地震影响系数曲线

26地震动的特性地震动有很强随机性。同一次地震在不同地点记录到的地震动不同；同一地点在不同地震中记录到的地震动不同；一般认为，地震动主要特征可以通过三个基本要素来描述：幅值、频谱和持时。271）地震动的幅值

定义：地震动振幅可以是地震动加速度、速度或位移三者之一的峰值、最大值或某种有意义的有效值。多种定义峰值有效峰值持续加速度等反应谱有效加速度概率有效峰值静力等效加速度

等效简谐振幅平均振幅

Arias强度均方根加速度谱强度282）地震动持时

1971年美国圣费而南多地震的震害使人们认识到“持时”的重要性。地震动持时的表示方法：①以地震动的绝对幅值定义持时取加速度记录图上绝对幅值首次和最后一次达到或超过给定值（如0.05g）之间所经历的时间。29②以地震动的相对幅值定义持时取地震动参数在首次和最后一次达到或超过峰值的给定比值（如1/3、1/5）之间经历的时间。③以地震动的总能量定义持时取地震动能量从达到总能量的5%开始至达到总能量的95％为止所经历的时间。303）地震动的频谱1950年左右人们认识到地震动频谱的重要性，并将其反应到结构的抗震设计中去。地震动卓越频率在高频段，刚性结构破坏严重。地震动卓越频率在低频段，柔性结构破坏严重。定义：地震动频谱特性是指地震动对具有不同自振周期的结构反应特性的影响，凡是表示一次地震动中振幅与频率关系的曲线，统称为频谱。在地震工程中通常用傅立叶谱、反应谱和功率谱表示。31*傅立叶谱把复杂的地震动加速度过程，按离散傅立叶变换技术展开为N个不同频率的组合：傅立叶幅值谱傅立叶相位谱32同一地震，震中距近似，而地基类型不同地基类似，震级、震中距有加大差异。33震级相同，震中距和地基状况有加大差异。3435

周期性荷载傅里叶级数的指数形式：§7-3利用频域进行的反应分析（5-6）（5-7）36§7-3利用频域进行的反应分析37什么是傅里叶变换？令：

非周期性荷载：周期延拓38

傅里叶级数的指数形式：

这个式子的优点在于:积分限可以任意长，以致它可以把整个荷载周期包括在内。当

:成为傅里叶积分变换对（逆Fourier变换和直接Fourier变换）（7-22）（7-23）39任意荷载可以用无穷多个简谐分量的和表示.

定义了频率为处的单位的荷载分量的幅值乘以,得到频率为处的单位的反应分量的幅值系统的总反应:（7-24）（7-25）40频域反应分析的物理意义整个荷载时程可以看作是由一系列连续的频率分量所组成每个频率分量按照各自的衰减规律振动体系的动力反应可以将所有荷载分量所激励的在时刻t的全部反应相加获得每个频率都激起结构的振动每个频率荷载分量的幅值是不同的每个频率分量在t时刻都有反应41与Duhamel积分的对比42§7-4时域和频域转换函数之间的关系（RelationshipBetweentheTime­andFrequency-­domainTransferFunctions）Asshownintheprevioussections,responseoftheviscously-­dampedSDOFsystemtoanarbitraryloadingp(t)

canbeobtainedeitherthroughthetimedomainusingtheconvolutionintegral,(6­-49)orthroughthefrequencydomainusingtherelation(6­-50)inwhichh(t)andaretheunitimpulseandcomple