方程与不等式：一元二次方程（答案版）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页2021全国中考真题分类汇编（方程与不等式）一元二次方程一、挑选题1.（2021•湖北省武汉市）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36【分析】按照一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，按照根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，∴a2﹣4a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝3，a+b＝3,∴a2﹣4a＝5，b2＝3b+5，∴2a2﹣6a2+b2+7b+1＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．故选：D．2.（2021•怀化市）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（）A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根【分析】按照方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．故选：A．3.（2021•山东省聊城市）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A.2或4 B.0或4 C.﹣2或0 D.﹣2或2【答案】B【解析】【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【详解】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．4.（2021•山东省临沂市）方程x2﹣x＝56的根是（）A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8【分析】利用因式分解法求解即可。【解答】解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，故选：C．5.（2021•山东省泰安市）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后其出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：按照题意得k≠0且△＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故选：C．6.（2021•山东省菏泽市）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥，故选：D．6.（2021•泸州市）关于x的一元二次方程的两实数根，满意，则的值是（）A.8 B.16 C.32 D.16或40【答案】C【解析】【分析】按照一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分离代入一元二次方程中，利用尽全平方公式变形解题即可．【详解】解：一元二次方程或当时，原一元二次方程为，，当时，原一元二次方程为原方程无解，不符合题意，舍去，故选：C．7.（2021•四川省眉山市）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5【分析】按照根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．故选：A．8.（2021•新疆）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A.x1=﹣1，x2=3 B.x1=1，x2=﹣3 C.x1=1，x2=3 D.x1=﹣1，x2=﹣3【答案】C9.（2021•浙江省丽水市）用配主意解方程时，配方结果准确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用尽全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，，，故选：D．10.（2021•湖南省张家界市）对于实数，定义运算“☆”如下：☆=，例如3☆2=，则方程1☆=2的根的情况为（D）没有实数根惟独一个实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根11.（2021•福建省）某市2018年底森林笼罩率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林笼罩率达到68%，倘若这两年森林笼罩率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（）A．0.63（1+x）＝0.68 B．0.63（1+x）2＝0.68 C．0.63（1+2x）＝0.68 D．0.63（1+2x）2＝0.6812.（2021•广西玉林市）已知关于一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则（）A. B. C. D.【答案】D13.（2021•云南省）若一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠014.（2021•内蒙古通辽市）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法准确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法决定【分析】先计算判别式，再配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后按照非负数的性质得到△＞0，再按照判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解答】解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∵（k﹣1）2≥0，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．15.（2021•襄阳市）随着生产技术的长进，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程准确的是（）A. B.C. D.【答案】C16.（2021•黑龙江省龙东地区）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A.14 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：，解得：（舍去），故选B．二．填空题1.（2021•甘肃省定西市）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1。【分析】按照根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．2.（2021•湖北省黄冈市）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是﹣1．（写出一个即可）【分析】按照方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，∴△＝(﹣2)2﹣8×1•m＝4﹣7m＞0，解得：m＜1，取m＝﹣2，故答案为：﹣1．3.（2021•岳阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高为尺，按照题意，可列方程为________．【答案】4.（2021•长沙市）若关于的方程的一个根为3，则的值为______．【答案】5.（2021•江苏省南京市）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．【答案】2【解析】【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴;故答案为：2．6.（2021•江西省）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x1﹣x1x2＝1．【分析】直接按照根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，∴x1+x2＝4，x1x2＝3．则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．故答案是：1．7.（2021•上海市）若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】按照一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．【详解】解：关于x的一元二次方程无解，∵，，，∴，解得，∴的取值范围是．故答案为：．8.（2021•湖北省随州市）已知关于的方程（）的两实数根为，，若，则______．9.（2021•四川省南充市）倘若x2＝4，则x＝±2．【分析】按照平方根的定义解答即可．【解答】解：x2＝4，开平方得x＝±2；故答案为：±2．10.（2021•遂宁市）如图都是由同样大小的小球按一定逻辑罗列的，依照此逻辑罗列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【解析】【分析】按照已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，当共有210个小球时，，解得：或(不合题意，舍去)，∴第个图形共有210个小球．故答案为：．11.（2021•江苏省盐城市）劳动教诲已纳入人才培养全过程，某小学加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增强到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为300（1+x）2＝363．【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝363，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一年的产量为300×（1+x），第二年的产量在第一年产量的基础上增强x，为300×（1+x）×（1+x），则列出的方程是300（1+x）2＝363．故答案是：300（1+x）2＝363．12.（2021•湖北省十堰市）对于随意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．【答案】或2【解析】【分析】按照新定义的运算得到，收拾并求解一元二次方程即可．【详解】解：按照新定义内容可得：，收拾可得，解得，，故答案为：或2．13.（2021•湖南省娄底市）已知，则________．【答案】3．【解析】【分析】先将要求解的式子举行改写收拾再利用已知方程举行求解即可．【详解】解：，又∵，∴，则，故答案为：3．三、解答题1.（2021•江苏省无锡市）解方程：（x+1）2﹣4＝0；解：（1）∵（x+1）2﹣4＝0，∴（x+1）2＝4，∴x+1＝±2，解得：x1＝1，x2＝﹣3．2.（2021•齐齐哈尔市）解方程：．【答案】，【解析】【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，．3.（2021•湖南省常德市）解方程：【答案】，【解析】【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边举行因式分解，然后解方程．详解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=2，x2=﹣1．4.（2021•上海市）解方程组：【答案】和【解析】【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出．【详解】解：由题意：，由方程(1)得到：，再代入方程(2)中：得到：，进一步收拾为：或，解得，，再回代方程(1)中，解得对应的，，故方程组的解为：和．5.（2021•浙江省嘉兴市）小敏与小霞两位学生解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否准确？若准确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；小霞：提取公因式时浮上了错误．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．准确的解答主意：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．6.（2021•四川省南充市）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）倘若方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．【分析】（1）按照方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；(2)解方程求出方程的两根为k,k+1,得出＝1+或＝1﹣,然后利用有理数的整除性决定k的整数值；【解答】（1）证实：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根．(2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x＝k或x＝k+1．∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k,k+1,∴或,倘若1+为整数,则k为1的约数,∴k＝±1,倘若1﹣为整数,则k+1为1的约数,∴k+1＝±1,则k为0或﹣2．∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2．7.（2021•湖北省荆门市）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满意（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，收拾得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围决定m的值．【解答】解：（1）按照题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，收拾得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．8.（2021•北京市）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接举行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后按照一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用尽全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证实：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．9.（2021•湖北省黄石市）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分离为、，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按照方程有实数根的条件，即求解即可；（2）由韦达定理把和分离用含m的式子表示出来，然后按照彻低平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．【详解】（1）由题意可得：解得：即实数m的取值范围是．（2）由可得：∵；∴解得：或∵∴即值为-2．10.（2021•湖北省十堰市）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）直接利用根的判别式即可求解；（2）按照韦达定理可得，，得到，按照两个根和m都是整数，举行分类研究即可求解．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；（2）设该方程的两个根为、，∵该方程的两个根都是符号相同的整数，∴，，∴，∴m的值为1或2，当时，方程两个根为、；当时，方程两个根与不是整数；∴m的值为1．11．（2021•山西省中考）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【分析】按照日历上数字逻辑得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【详解】解：设这个最小数为．按照题意，得．解得，（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．12.（2021•湖北省宜昌市）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分离是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块实验田分离采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块实验田各用水多少吨？（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌实验田的面积都增强了m%，漫灌实验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司所有实验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌实验田添加设备所投入经费为每亩100元，在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节约的水费是否大于今年的以上两项投入之和？【分析】（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得x＝100，可得结论；（2）由“今年的灌溉用水量比去年减少m%”可列出等式，进而求出m的值；（3）分离计算去年因用水量减少所节约的水费和今天的两项投入之和，再举行比较即可．【解答】解：（1）设漫灌方式每亩用水x吨，则100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得x＝100，∴漫灌用水：100×100＝10000吨，喷灌用水：30%×10000＝3000吨，滴灌用水：20%×10000＝2000吨，∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌实验田用水10000吨，喷灌实验田用水3000吨，滴灌实验田用水2000吨．（2）由题意可得，100×（1﹣2m%）×100×（1﹣m%）+100×（1+m%）×30×（1﹣m%）+100×（1+m%）×20×（1﹣m%）＝15000×（1﹣m%），解得m＝0（舍），或m＝20，∴m＝20．（3）节约水费：15000×m%×2.5＝13500元，维修投入：300×30＝9000元，新增设备：100×2m%×100＝4000元，13500＞9000+4000，∴节约水费大于两项投入之和．13.（2021•山东省菏泽市）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，天天可售出160千克；若每千克降低3元，天天的销售量将增强120千克．按照他们的对话，解决下面所给问题：超市天天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【分析】设降低x元，超市天天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．【解答】解：设降低x元，超市天天可获得销售利润3640元，由题意得，（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，收拾得x2﹣12x+27＝0，∴x＝3或x＝9．∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x＝9，∴售价为38﹣9＝29元．答：水果的销售价为每千克29元时，超市天天可获得销售利润3640元．14.（2021•重庆市A）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且所有售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分离是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了迅速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增强a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品所有售出后总销售额将在去年的基础上增强%．求a的值．【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元