第一章高等数学（二十五）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第五节矩阵的特征值与特征向量1．定义设是阶方阵，倘若存在数和维非零向量，使得成立，则称为的特征值，是对应特征值的特征向量。称行列式为的特征多项式,称为的特征方程，特征方程的根就是的的特征值；称矩阵为的特征矩阵，以它为系数矩阵的方程组一定有非零解，它的解就是对应特征值的特征向量。【例题11-1】已知3维列向量满意，设3阶矩阵，则：(A)是的属于特征值的特征向量(B)是的属于特征值的特征向量(C)是的属于特征值的特征向量(D)是的属于特征值的特征向量解：因，由特征值、特征向量的定义，是的属于特征值的特征向量，故应选(C)。【例题11-2】设是3阶实对称矩阵，是3阶可逆矩阵，,已知是的属于特征值的特征向量，则的属于特征值的特征向量是：(A)(B)(C)(D)解：由是的属于特征值的特征向量，有，而所以向量是矩阵的属于特征值的特征向量，应选(B).2．重要结论（1)设为的特征值，是属于特征值的特征向量，则矩阵的特征值分离为，且特征向量都是。（2）倘若是矩阵的互不相同的特征值，则其对应的特征向量一定是线性无关的。异常地，当是对称阵时，特征向量是正交的。【例题11-3】已知阶可逆矩阵的特征值为，则矩阵的特征值是:(A)(B)(C)(D)解：由矩阵特征值的性质，的特征值为，的特征值为，应选(C).【例题11-4】设为三阶实对称阵的特征值，属于的特征向量为则属于的特征向量是：(A)（B）（C）（D）解：因为实对称阵，故属于不同特征值的特征向量是正交的，设，则解方程组，得，故应选A。该题也可用下面主意求解，记则而其他选项都不满意这个条件，故选A。第六节相似矩阵及矩阵的对角化1．相似矩阵的概念与性质（1)定义:设、为两个阶方阵，倘若存在一个可逆矩阵使得成立，则称矩阵与相似，记为。并称可逆矩阵为将变为的相似变换阵。（2)性质:倘若,则有①为正整数)②,即相似矩阵有相同的特征值。③,即相似矩阵行列式的值相等，从而相似矩阵同时可逆或不可逆。④相似矩阵有相同的秩。【例题11-4】已知矩阵与相似，则等于：(A)(B)(C)(D)解：矩阵和相似，则有相同的特征值，由解得矩阵的特征值为，故有，应选(A).2．矩阵的相似对角化（1）定义：设是阶方阵，若与对角阵相似，则称可以相似对角化。这时对角阵中对角线上的元素就是的特征值，而相似变换阵的列向量就是的属于对应特征值的特征向量，即有，，（2）重要结论1）阶矩阵可相似对角化的充足须要条件是有个线性无关的特征向量。2）若有个互不相同的特征值，则可相似对角化。【例题11-5】设三阶方阵的特征值为,,,它们所对应的特征向量分离为,令,则(A);(B);(C);(D)解：方阵有三个互不相同的特征值，故能与对角阵相似。为相似变换阵，与相似的对角阵的对角线元素就是的特征值,,，其罗列顺序与特征向量在中的顺序相同，故选A。第七节二次型1．基本概念（1)定义：含有个变量的二次齐次函数（即每项都是二次的多项式）称为二次型。（2)二次型的矩阵表示:倘若取，则，于是二次型可表为。倘若记，，则有，称该式为二次型的矩阵表示。这里有，即为对称矩阵，称为二次型的矩阵，称矩阵的秩为二次型的秩，记为。例如：二次型的矩阵。（3)合同矩阵:设,为两个阶实对称阵阵,倘若存在一个可逆矩阵使得成立,则称矩阵与合同，记为。【例题11-6】设，与合同的矩阵是：(A)(B)(C)(D)解：取，则，而，故选(A)。2．二次型的标准形和规范形（1）定义：倘若二次型中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零，即这样的二次型称为标准形。异常地形如标准型，称为二次型的规范形。其中为的秩，为正惯性指数,为负惯性指数。（2）结论：任一实二次型都可经合同变换化为规范形,且规范性是惟一的。3．二次型的正定性及正定矩阵（1)定义：倘若实二次型对随意一组不全为零的实数，都有，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵称为正定矩阵。（2）重要结论：1）合同变换不改变二次型的正定性。2)二次型是正定二次型的充足须要条件是：正惯性指数为或的特征值都大于零或的各阶顺序主子式大于零。【例