恒成立与有解问题

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型恒成立与有解问题授课日期及时段教学内容恒成立问题【知识梳理】函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.〔一〕恒成立问题根本类型1：先别离参数，再求函数的最值〔或值域〕假设不等式在区间上恒成立,那么等价于:在区间上,函数假设不等式在区间上恒成立,那么等价于:在区间上,函数例1：〔1〕设实数满足，假设恒成立，那么的取值范围是______〔2〕不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____〔3〕的取值范围______〔4〕的取值范围______.例2．(07上海)函数〔1〕判断函数的奇偶性；〔2〕假设在区间是增函数，求实数的取值范围。例3：〔08年上海〕〔此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值8分.函数f(x)=.假设f(x)＝2，求x的值；假设对于t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围.变式训练：函数是奇函数，且在上单调递增，又，假设对所有的都成立，求的取值范围.〔二〕恒成立问题根本类型2：对一些不能把参数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解〔数形结合〕例4：，求实数a的取值范围。变式训练：假设对任意R,不等式≥ax恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕a＜-1(B)≤1(C)＜1〔D〕a≥1〔三〕恒成立问题根本类型3：一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如以下图〕可得上述结论等价于ⅰ〕，或ⅱ〕可合并定成同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有nmnmoxynmoxy例5．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.变式训练：假设不等式对满足的所有都成立，那么的取值范围_____〔四〕恒成立问题根本类型4：二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，往往转化为求函数在此区间上的最值问题更简捷。例6．〔1〕假设函数的定义域为R，求实数的取值范围.假设函数的值域为R，求实数的取值范围.例7：函数，在R上恒成立，求的取值范围.变式训练1：假设时，恒成立，求的取值范围.变式训练2：假设时，恒成立，求的取值范围.变式训练3：函数〔1〕是否存在实数a使得时，恒成立〔2是否存在实数a使得时，恒成立例8：定义在R上的单调函数满足且对任意的，都有求证是奇函数假设对任意的恒成立，求实数k的取值范围【稳固练习】1、假设不等式对一切恒成立，那么实数a的取值范围2、函数在上，恒成立，那么实数a的取值范围3、不等式在上恒成立，那么实数a的取值范围4、函数，假设时，恒成立，那么实数b的取值范围5、函数在区间上恒有，那么实数a的取值范围6、关于x的不等式，当0≤x≤1时恒成立，那么实数a的取值范围为.7、假设不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，EQ\f(1,2)］成立，那么a的最小值是().

Ａ.０Ｂ.－２Ｃ.－EQ\f(5,2)Ｄ.－３8、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=〔〕.A.1B.-1C.D.-.9、对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；10、函数，．〔I〕求的最大值和最小值；〔II〕假设不等式在上恒成立，求实数的取值范围．方程、不等式有解问题〔存在性问题〕关于方程的实数解的问题方程有解的问题实际上是求函数零点的问题，判断方程有几个解的问题实际上就是判断函数有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理方法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程的根，此法一般适合于含有一元二次〔三次〕的整式函数，或由此组合的分式函数。例1函数的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.3二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程，可以先转化为方程，再在同一坐标系中分别画出函数和的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。此法一般适合于函数解析式中既含有二次函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。例2、方程的实数解的个数是例3、设函数=，那么关于x的方程有7个不同的实数解的充要条件是〔〕ABCD例4、关于x的方程，给出以下4个命题存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根〔2〕存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根〔3〕存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根〔4〕存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其中真命题是例5、假设方程有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。三、别离参数法例6、关于x的方程在内有解，求k的取值范围。变式训练：假设关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，那么实数a的取值范围是〔〕A.B.C.D.〔二〕、关于不等式能成立问题假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上；假设在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的.例7、假设关于的不等式的解集不是空集，那么实数的取值范围是．变式训练：不等式有解，求的取值范围。例8、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是M；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为N，求集合．变式训练：〔1〕对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。〔2〕假设不等式有解，求实数a的范围。〔3〕假设方程有解，求实数a的范围。例9、设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围．例10、假设不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解，那么a的取值范围为〔〕A.B.C.D.〔三〕、关于函数与方程、不等式有解问题利用函数处理方程解的问题，方法如下：〔1〕方程在区间上有解(别离参数法)与的图象在区间上有交点方程在区间上有几个解与的图象在区间上有几个交点例11、是实数，函数如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围。例12、函数假设函数在其定义域上有两个不同的零点，求m的取值范围假设函数在〔1，2〕上有且仅有一个零点，求m的取值范围〔3)在〔1，3〕上，函数是否存在两个不同的零点，假设存在求m的取值范围；假设不存在说明理由。【稳固练习】一．选择题1.函数的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.32.函数的零点为,那么所在区间为〔〕A.B.C.D.3.函数的零点，且常数分别满足，，那么〔〕A.B.C.D.4.，，假设函数有唯一零点，函数有唯一零点，那么有〔〕A.B.C.D.5.对实数和，定义运算“”：设函数假设函数的图像与轴恰有两个公共点，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.6.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，假设在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，那么的取值范围是〔〕A.B.C.D.7.函数满足：①定义域为；②对任意，都有；③当时，.那么方程在区间内的解个数是〔〕A.20B.12C.11D.108.假设函数满足,当时,,假设在区间上,有两个零点,那么实数的取值范围是〔〕B.C.D.9.方程在区间内有两个不同的根，那么的取值范围为〔〕A.B.C.D.10.设为整数，方程在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么的最小值为〔〕A.-8B.8C.12D.13111、函数，那么函数的零点个数不可能是〔〕A.3B.4C.5D.6二.填空题12.关于的方程只有正实数的解，那么的取值范围是