高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.5直线的方程（二）-重难点题型精讲（学生版）

专题2.5直线的方程（二）重难点题型精讲1．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置关系3．直线系方程具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：4．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【题型1求直线方程】【方法点拨】(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.【例1】（2022·江西省高一阶段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−7=0或x−y+1=0 B．x+y−7=0或x−y+1=0或4x−3y=0C．x−y−7=0或x+y+1=0 D．x+y−7=0或x−y+1=0或3x−4y=0【变式11】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．x+4y+7=0 B．x−4y+7=0C．4x+y+7=0 D．4x−y+7=0【变式12】（2022·全国·高二专题练习）过点P3,−23且倾斜角为135°A．3x−y−53=0 C．x+y−3=0 【变式13】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为60∘，且经过点0,1，则直线l的方程为（

A．y=3x B．y=3x−2 C．【题型2直线过定点问题】【方法点拨】(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进而得到定点的坐标.(2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)【变式21】（2022·全国·高二课时练习）直线(2k−1)x−y−1=0所过定点的坐标为（

）A．0,12 B．12,0 C．【变式22】（2021·全国·高二专题练习）直线l在x轴上，y轴上的截距的倒数之和为常数1k，则该直线必过定点（

A．0,0 B．1,1 C．k,k D．1【变式23】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线l:x+my−1=0m∈R的说法中正确的是（

A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−C．直线l过定点0,1 D．直线l过定点1,0【题型3求与已知直线垂直的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线垂直的直线方程可设为.(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且不为零的情况).【例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点P(4,−2)且与直线3x−4y+6=0垂直的直线方程是（

）A．4x−3y−19=0 B．4x+3y−10=0C．3x−4y−16=0 D．3x+4y−8=0【变式31】（2022·全国·高二专题练习）过点P(−1,2)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y−3=0 D．x−2y+5=0【变式32】（2022·江苏·高二课时练习）若△ABC的三个顶点为A(1,0)，B(2,1)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为（

）．A．3x+2y−3=0 B．2x−y−2=0C．2x−y+1=0 D．2x+y−2=0【变式33】（2021·河南·高三开学考试（文））已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为（

）A．4x+2y−5=0 B．4x−2y−5=0 C．x+2y−5=0 D．x−2y−5=0【题型4求与已知直线平行的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，方程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为()，这是常用的解题技巧.当时，直线与重合.(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.【例4】（2022·江苏·高二阶段练习）过点A2,3且与直线l:2x−4y+7=0平行的直线方程是（

A．x−2y+4=0 B．x−2y−4=0 C．2x−y+1=0 D．x+2y−8=0【变式41】（2022·全国·高二）与直线x+y−1=0平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（

）A．x−y+1=0 B．x+y+5=0 C．x+y−5=0 D．x−y−1=0【变式42】（2021·广东·高二期中）若直线l1：2x−3y+4=0与l2互相平行，且l2过点(2,1)，则直线lA．3x−2y−2=0 B．3x−2y+2=0C．2x−3y−1=0 D．2x−3y+1=0【变式43】（2021·天津市高二阶段练习）与直线y=−2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是（

）A．y=−2x+4 B．y=C．y=−2x−83 【题型5根据两直线平行或垂直求参数】【方法点拨】(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意斜率是不是零.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l1过(0,0)、(1,−3)两点，直线l2的方程为ax+y−2=0，如果l1//lA．3 B．13 C．−1【变式51】（2022·重庆八中高一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（

）A．2 B．12 C．－2 D．【变式52】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件p：直线x+y+1=0与直线x+a2y−1=0平行，条件q:a=−1，则p是qA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式53】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线ax−y−2=0与直线(a+4)x+ay+1=0垂直，则a=（

）A．0 B．−3 C．0或−3 D．0或3【题型6直线方程的实际应用】【方法点拨】根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满足实际情境.【例6】（2021秋•徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．（1）如图建立直角坐标系，求线段AB所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）【变式61】（2022•封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【变式62】（2021春•达州期末）图1是台球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．（1）求直线AB的方程；（2）若点D的坐标是(x0，76)，求x0.（提示：直线AB与直线【变式63】（2