必修5综合测试卷

综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设a，b，c，d∈R，且a>b，c<d，那么以下结论中正确的选项是()A．a＋c>b＋d B．a－c>b－dC．ac>bd D.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)解析：利用不等式的性质：a>b，c<d，所以－c>－d，因此a－c>b－d.应选B.答案：B2．(2009·全国卷Ⅰ)不等式|eq\f(x＋1,x－1)|<1的解集为()A．{x|0<x<1}∪{x|x>1}B．{x|0<x<1}C．{x|－1<x<0}D．{x|x<0}解析：由得|x＋1|<|x－1|，(x＋1)2<(x－1)2，由此解得x<0，选D.答案：D3．表示图中阴影局部的不等式组是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,2x－y＋2＝0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,2x－y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,y≥－1,2x－y＋2≥0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,y≥－1,2x－y＋2≤0))解析：由题意可知直线y＝－1上方对应的不等式是y≥－1，y轴左侧的平面区域对应的不等式是x≤0，直线2x－y＋2＝0右下方对应的不等式是2x－y＋2≥0，故答案为C.答案：C4．△ABC的三边长分别为a－2，a，a＋2，且它的最大角的正弦值为eq\f(\r(3),2)，那么这个三角形的面积是()A.eq\f(\r(15),4) B.eq\f(15\r(3),4)C.eq\f(2\r(3),4) D.eq\f(35\r(3),4)解析：先判断出a＋2所对角最大，设为α，那么sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴cosα＝±eq\f(1,2).当cosα＝eq\f(1,2)时，由(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cosα解得a当cosα＝－eq\f(1,2)时，由(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cosα，解得a＝5或a＝0(舍去)．∴S＝eq\f(1,2)(a－2)·a·sinα＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，应选B.答案：B5．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，那么a99＋a100等于()A.eq\f(b9,a8) B．(eq\f(b,a))9C.eq\f(b10,a9) D．(eq\f(b,a))10解析：∵a19＋a20＝a9q10＋a10q10＝q10(a9＋a10)(q为公比)，∴q10＝eq\f(a19＋a20,a9＋a10)＝eq\f(b,a).又a99＋a100＝a19q80＋a20q80＝q80(a19＋a20)＝(eq\f(b,a))8·b＝eq\f(b9,a8)，应选A.答案：A6．0<a<b，且a＋b＝1，那么以下不等式正确的选项是()A．log2a>1 B．log2a＋log2C．log2(b－a)<0 D．log2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))<1解析：因为0<a<b，且a＋b＝1，所以0<a、b<1.故0<b－a<1，即C正确；因为log2aab<(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,4)，∴log2a＋log2b<－2，故B错；因为eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，所以log2(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))>1，故D错，应选C.答案：C7．首项为2，公比为3的等比数列，从第n项到第N项的和为720，那么n，N的值分别是()A．n＝2，N＝6 B．n＝2，N＝8C．n＝3，N＝6 D．n＝3，N>6解析：∵SN－Sn－1＝720，∴eq\f(21－3N,1－3)－eq\f(21－3n－1,1－3)＝720，即3N－3n－1＝720.经检验可知N＝6，n＝3适合上述方程，应选C.答案：C8．如以下图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，那么该四边形的面积等于()A.eq\r(3) B．5eq\r(3)C．6eq\r(3) D．7eq\r(3)解析：在△BCD中，BC＝CD＝2，∠C＝120°，那么∠DBC＝30°，所以BD＝2eq\r(3)，∠ABD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3)，应选B.答案：B9．a>0、b>0，a、b的等差中项是eq\f(1,2)，且α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，那么α＋β的最小值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：由题意知a＋b＝1，那么α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋eq\f(1,\f(a＋b,2)2)＝5，应选C.答案：C10．△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3,2)，那么b＝()A.eq\f(1＋\r(3),2) B．1＋eq\r(3)C.eq\f(2＋\r(3),2) D．2＋eq\r(3)解析：∵a、b、c成等差数列，∴2b＝a＋c.在△ABC中，B＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sin30°＝eq\f(3,2)，∴ac＝6.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos30°＝(a＋c)2－(2＋eq\r(3))ac，即b2＝4b2－6(2＋eq\r(3))，∴b2＝4＋2eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)＋1，应选B.答案：B11．数列{an}中，an>0，且{anan＋1}是公比为q(q>0)的等比数列，满足anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N*)，那么公比q的取值范围是()A．0<q<eq\f(1＋\r(2),2) B．0<q<eq\f(1＋\r(5),2)C．0<q<eq\f(－1＋\r(2),2) D．0<q<eq\f(－1＋\r(5),2)解析：令n＝1，不等式变为a1a2＋a2a3>a3∴a1a2＋a1a2q>a1a2∵a1a2>0，∴1＋q>q2解得0<q<eq\f(1＋\r(5),2)，应选B.答案：B12．设α，β是方程x2－2x＋k2＝0的两根，且α，α＋β，β成等比数列，那么k为()A．2 B．4C．±4 D．±2解析：α＋β＝2，αβ＝k2，又(α＋β)2＝αβ，∴4＝k2，∴k＝±2，应选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．数列{an}的通项公式an＝2n－49，那么Sn到达最小时，n等于________．解析：an＝2n－49，∴{an}是等差数列，且首项为－47，公差为2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2n－49>0，,an－1＝2n－1－49≤0，))解得n＝25，∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24项之和最小．答案：2414．在△ABC中，假设b＝2eq\r(2)，a＝2，且三角形有解，那么A的取值范围是________．解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(2),2)sinB≤eq\f(\r(2),2).因为a<b，所以A<B，所以A为锐角，所以0°<A≤45.答案：{A|0°<A≤45°}15．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图像上运动，那么9x＋3y的最小值为________．解析：因为点P(x，y)在y＝4－2x上，所以2x＋y＝4，所以9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(34)＝18.答案：1816．约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,y－x≤\f(1,2)))表示的平面区域的面积是________．解析：画出可行域，如以下图阴影局部所示，易知所求面积．S＝S四边形OABE－S△CED＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)集合P＝{x|x2－x－2>0}，Q＝{x|x2＋4x＋a<0}，假设P⊇Q，求实数a的取值范围．解析：解不等式x2－x－2>0得x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(1)假设Q＝∅，那么x2＋4x＋a<0无解，即Δ＝16－4a≤0，a≥4，此时P⊇Q(2)假设Q≠∅，设f(x)＝x2＋4x＋a，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16－4a>0，,f－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<4，,a≥3，))即3≤a<4.综上可得a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞)．18．(12分)假设数列{an}是等比数列，an>0，公比q≠1，lga2是lga1和1＋lga4的等差中项，且a1a2a3＝1，求{解析：由题知2lga2＝lga1＋(1＋lga4)，即lgaeq\o\al(2,2)＝lg10a1a4，那么aeq\o\al(2,2)＝10a1a4，aeq\o\al(2,1)q2＝10aeq\o\al(2,1)q3，∵a1>0，q2>0，∴q＝eq\f(1,10).又a1a2a3＝1，∴aeq\o\al(3,1)q3＝aeq\o\al(3,1)·(eq\f(1,10))3＝1，∴aeq\o\al(3,1)＝103，∴a1＝10，∴an＝10·(eq\f(1,10))n－1＝102－n.19．(12分)为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会桔祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属，生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会桔祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．假设奥运会标志每套可获利700元，奥运会桔祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会桔祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？解析：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会桔祥物分别为x，y套(x，y为整数)，月利润为z元，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0，))目标函数为z＝700x＋1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如以下图：目标函数可变形为y＝－eq\f(7,12)x＋eq\f(z,1200)，∵－eq\f(4,5)<－eq\f(7,12)<－eq\f(3,10)，∴当y＝eq\f(－7,12)x＋eq\f(z,1200)通过图中的点A时，eq\f(z,1200)最大，即z最大．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y＝200，,3x＋10y＝300，))得点A坐标为(20,24)，且20,24∈N，将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元．∴该厂生产奥运会标志和奥运会桔祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．20．(12分)a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，(1)假设△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，求a、b的值．(2)假设acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．解析：(1)由得eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝bsin60°，∴b＝1.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝eq\r(3).(2)由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B又A，B为三角形内角，∴A＋B＝90°或A＝B.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．21．(12分)某化装品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2008年北京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化装品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足关系式：x＝3－eq\f(2,t＋1).2008年生产化装品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化装品需要投入32万元的生产费用，假设化装品的年销售收入额为其年生产本钱的150%与年促销费的一半之和．问：该企业2008年的促销费投入多少万元时，企业的年利润y(万元)最大？(注：利润＝销售收入－生产本钱－促销费，生产本钱＝固定费用＋生产费用)解析：当年生产x(万件)时，年生产本钱＝年生产费用＋年固定费用＝32x＋3＝32(3－eq\f(2,t＋1))＋3，年销售收入＝150%[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]＋eq\f(t,2).∵年利润＝销售收入－生产本钱－促销费，∴y＝150%[32(3－eq\f(t,t＋1))＋3]＋eq\f(t,2)－[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]－t＝eq\f(1,2)[32(3－eq\f(2,t＋1))＋3]－eq\f(t,2)＝50－eq\f(1,2)[eq\f(64,t＋1)＋(t＋1)]≤50－eq\f(1,2)·2eq\r(\f(64,t＋1)·t＋1)＝42(万元)，当且仅当eq\f(64,t＋1)＝t＋1，即t＝7时ymax＝42.∴当促销费定在7万元时，利润最大．22．(12分)对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an