高中数学二次函数

二次函数〔一〕1.二次函数的定义与解析式①一般式：__________________.②顶点式：__________________,顶点为______.③零点式：____________________,其中_______是方程ax2+bx+c=0的两根.y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(m,n)忆一忆知识要点(1)二次函数的定义

形如:f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式x1,x2①对称轴:______②顶点:_________2．二次函数的图象和性质图象函数性质定义域x∈R(个别题目有限制的,由解析式确定)值域a>0a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0a<0图象特点上递减上递增上递增上递减忆一忆知识要点3.与坐标轴的交点①与y轴的交点是________;②当Δ>0时，与x轴两交点的横坐标x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．且|x1-x2|=______;

③当Δ＝0时,与x轴切于一点________;

④当Δ<0时，与x轴_______．不相交(0,c)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)忆一忆知识要点4.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值(2)假设[m,n],那么①当

x0<m

时,f(x)min=f(m);②当

x0>n

时,f(x)min=f(n).(1)假设∈[m,n],那么f(x)min=f(x0)=③当

x0<时,f(x)max=f(n);④当

x0>时,f(x)max=f(m);求二次函数的解析式【例1】二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数．二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法,根据题设恰中选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷．题型二二次函数单调性问题题型三二次函数最值问题小结：一般分以下四种情况讨论：二次函数〔二〕Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集有两不等实根x1,x2{x|x<x1,x>x2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}R1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x1<x<x2}ØØ2.不等式

ax2+bx+c>0

恒成立问题①

ax2+bx+c>0在R上恒成立

③

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)min>0(x∈[m,n])②

ax2+bx+c<0在R上恒成立

④f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立

f(x)max<0(x∈[m,n])要点梳理那么问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，〔1〕参变别离法例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,那么实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo〔2〕转换求函数的最值例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,那么实数m的取值范围是_______.不等式恒成立问题那么解：构造函数23y..xo例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,那么实数m的取值范围是_______.〔３〕数形结合思想不等式恒成立问题练习二：与直线y=k有交点,xy-11Y=k例2.假设方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,那么实数k的取值范围为_____________.-1≤k≤3由图象，得例4.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.那么f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,所以实数x的取值范围是二次函数的图象与性质【例2】函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时,求f(|x|)的单调区间．应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.二次函数的图象与性质函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．①方程

f(x)=0

有两正根

②方程

f(x)=0

有两负根

③方程

f(x)=0

有一正根一负根

记

f(x)=ax2+bx+c(a>0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根分布问题二次方程的根的分布问题根的分布图象等价条件根的分布图象等价条件根的分布图象等价条件两个实根有且仅有一根在区间内二次方程的根的分布问题的解题过程如下：1、作与二次方程对应的二次函数的图象2、根据图象列不等式组，主要包括以下三个方面：①判别式；②对称轴；③区间端点函数值的正负〔这三方面是否全写视具体题目而定〕3、根据所列不等式组再画图，与前一次所作图象