简明电工学课件：含电阻、电容、电感元件的交流电路分析

含电阻、电容、电感元件的交流电路分析4.1正弦交流电4.2正弦量的相量表示法4.3单一参数元件的交流电路4.4电阻、电容与电感元件串联的交流电路4.5阻抗串联交流电路4.6并联交流电路4.7功率因数的提高

正弦交流电简称交流电,是目前供电和用电的主要形式。比如交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器输出的信号电压,都是随时间按照正弦规律变化的。而正弦交流电之所以应用广泛,是因为:正弦交流电容易产生;通过变压器可以简单又经济地将正弦电压升高或降低;正弦交流电用复数表示后便于运算;正弦量变化平滑,一般不会引起过电压而破坏电气设备等。本模块主要对含有电阻、电容、电感元件的正弦交流电路进行分析。

能力要素

(1)掌握相量表示法,能够应用相量对正弦交流电进行计算。

(2)掌握单一参数交流电路的相关概念,能够对电阻、电容和电感元件的串联电路进行分析。

(3)能够对简单的阻抗串联与并联交流电路进行分析。

(4)掌握有功功率、无功功率、视在功率等概念,能够对功率因数进行调整。

知识结构

4.1正弦交流电

正弦电压和电流等物理量统称为正弦量。正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值,用小写字母表示。以电流为例,波形如图4.1.1所示,其数学表达如式(4.1.1)所示。式中,i即为瞬时值,Im称为幅值,ω称为角频率,ψ称为初相位。幅值、角频率和初相位可以确定正弦量,因此称为正弦量的三要素。图4.1.1正弦交流电

1.幅值

幅值,又称为最大值,其决定正弦量的大小。在实际使用中,经常用有效值表示正弦交流量的大小。有效值用大写字母表示,和表示直流的字母一致,其关系如下:

电压、电动势的最大值和有效值同样是2的关系。一般所说的交流电压和电流的大小,都是指有效值。我国民用电压一般为220V,其最大值约为310V。而美国部分地区民用电压为110V,其最大值约为156V。

一般交流电压表、电流表测量的电压、电流均为有效值,交流设备铭牌标注的电压、电流也均为有效值。

2.角频率

周期指正弦交流电变化一周所需的时间,用T表示。频率指正弦交流电每秒变化的周期数,用f表示,单位为Hz。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外,还可以用角频率ω表示。正弦交流电一个周期内经历了2π弧度,因此

交流电频率有高有低,世界各地不尽相同。我国采用50Hz作为电力标准频率,称为工频,而美国和日本则采用60Hz。各种技术领域使用各种不同的频率,无线通信使用的频率甚至高达300GHz(1GHz=109Hz)。

3.相位

ωt+ψ称为相位,又称为相角。而初相位ψ表示正弦量在t=0时的相角,给出了观察正弦波的起点或参考点,又称为初相角,则

任意两个同频率的正弦量之间的相位关系可用相位差φ表示,显然,相位差就是初相位之差。

相位关系如表4.1.1所示。

4.2正弦量的相量表示法

图4.1.1的波形图和式(4.1.1)的瞬时表达式是正弦量的两种表示方式,但计算都不方便。如求和时,三角函数运算较为麻烦,而波形图也难以叠加,因此需要寻找更为简单的表示和计算方法。

对于正弦交流电路而言,一般情况下正弦激励和响应均为同频率的正弦量,因此在正弦量的三要素中只需要考虑幅值(或有效值)和初相角即可,而复数恰好可由表征长度的模和表征角度的辐角确定,这与正弦量的表示方法相符。正弦量与复数的对比如表4.2.1所示。

因此,可以用复数表示同频率的正弦量,称为相量。由于复数计算较为便捷,因此相量表示法是常用的方法。

复数A,模为r,辐角为ψ,如图4.2.1所示。

复数的四种表达如表4.2.2所示。图4.2.1复数

表4.2.2复数的四种表达

需要注意的是,相量只是用来表示正弦量的,但不等于正弦量。因此正弦量的计算方法为:将同频率的正弦量用相量表示,使用复数运算法则计算完毕后再恢复为正弦量。

相量计算时,“加减”用代数式,“除”用指数式或极坐标式。

此处,还需注意两点:

(1)相量为复数,可将其绘制在复平面内,称为相量图。在计算的时候,同频率的正弦量才可以绘制在同一相量图上。

(2)任意一个相量乘以±j,相当于在相量图上逆/顺时针旋转90°。因为图4.2.2相量图

4.3单一参数元件的交流电路

分析正弦交流电路时,首先需要掌握单一参数(电阻、电容、电感)元件的电压和电流关系与功率求解方法,因为其他电路无非也是单一参数元件的组合。

4.3.1电阻元件的交流电路

电阻元件交流电路如图4.3.1所示。因为u和i为正弦量,其方向会变化,所以图示方向均为参考方向。

可得图4.3.1电阻元件交流电路

相量表达式体现了两个关系:大小关系和相位关系。相量图如图4.3.2所示。图4.3.2u与i相量关系

(3)功率。

为便于分析,设

如图4.3.3所示,p=ui≥0,表示外电路从电源取用能量。这与电阻元件是耗能元件的相关结论相符。图4.3.3瞬时功功率

瞬时功率在一个周期内的平均值,称为平均功率,又称为有功功率,用“P”表示,常用单位为瓦(W)、千瓦(kW)等。在电阻元件电路中,有功功率为

4.3.2电容元件的交流电路

电容元件交流电路如图4.3.4所示。

由模块3可知

可得图4.3.4电容元件交流电路

将式(4.3.10)和式(4.3.2)进行对比,可得如下结论:

(1)电压与电流关系。

①频率相同。

②相位关系。

可得

即电流超前电压90°。

③大小关系。

可得

XC称为容抗,体现电容的阻碍作用,单位为欧姆。直流时,f=0,XC趋于无穷大,电容C视为开路,所以电容元件具有“通高频”“阻低频”的特性。

(2)相量关系。

相量图如图4.3.5所示,需要注意的是-jXC是复数,但不是相量。图4.3.5u与i相量关系

(3)功率。

为便于分析,设

如图4.3.6所示,瞬时功率p是一个正弦量。电容元件只和电源进行能量交换,即重复进行储能-放能,并不消耗能量,所以其有功功率为0。这与电容元件是储能元件,而非耗能元件的相关结论是相符的。图4.3.6瞬时功率

能量交换的规模用无功功率QC表示,用瞬时功率达到的最大值表征,常用单位为乏(var)、千乏(kvar)等。

4.3.3电感元件的交流电路

电感元件交流电路如图4.3.7所示。

由模块3可知

可得图4.3.7电感元件交流电路

将式(4.3.16)和式(4.3.1)进行对比,可得如下结论:

(1)电压与电流关系。

①频率相同。

②相位关系。

可得

即电压超前电流90°。

③大小关系。

可得

XL称为感抗,体现电感的阻碍作用,单位为欧姆(Ω)。直流时,f=0,XL=0,电感L视为短路,所以电感元件具有“通低频”“阻高频”的特性。

(2)相量关系。

相量图如图4.3.8所示,同样,jXL是复数,但不是相量。图4.3.8u与i相量关系

(3)功率。

为便于分析,设

则瞬时功率

如图4.3.9所示,瞬时功率p是一个正弦量。电感元件只和电源进行能量交换,即重复进行储能-放能,并不消耗能量,所以其有功功率为0。这与电感元件是储能元件,而非耗能元件的相关结论是相符的。图4.3.9瞬时功率

能量转换的规模用无功功率QL表示,与QC一样,用瞬时功率的最大值表征。

需要说明的是,电容元件和电感元件都是储能元件,它们与电源进行能量交换是工作需要,本身并不消耗能量,但是对于电源来说是一种负担。

将单一参数元件交流电路的相关分析总结如表4.3.1所示。

4.4电阻、电容与电感元件串联的交流电路

电阻、电容与电感元件串联的交流电路如图4.4.1所示,各元件流过相同的电流,电压与电流的参考方向已在图中标出。由KVL可得图4.4.1R、C、L串联电路图4.4.2阻抗三角形

1.电压图4.4.3电压和电流的相量图

2.功率

式(4.4.7)两边同时乘以I可得

由4.3节可知,RI2表示电阻元件消耗的有功功率,即电路存在的有功功率。XLI2、XCI2表示电感元件和电容元件的无功功率,即电路存在的无功功率。显然,电源提供的电能一部分被耗能元件消耗,一部分与储能元件进行能量交换。

由上可知,交流电源(如交流发电机、变压器)既需要给电路(负载)提供有功功率,还需要提供无功功率。交流电源输出的功率不仅与电源端电压和输出电流的有效值乘积有关,还与电路的参数有关。电路参数不同,则电压与电流的相位差φ不同,在同样电压U和电流I之下,电路的有功功率和无功功率也会不同。式(4.4.8)中的cosφ称为功率因数,用来衡量对电源的利用程度。一般情况下,电源要满足负载的有功功率和无功功率需求,达到功率平衡。

(3)视在功率。用S表示电路中总电压与总电流有效值的乘积,称为视在功率,为了与有功功率及无功功率区分,视在功率单位是伏安(V·A)或千伏安(kV·A)。

交流电气设备是按照规定的额定电压UN和额定电流IN来设计和使用的,UN和IN的乘积称为容量,即其额定视在功率

式(4.4.8)、式(4.4.10)和式(4.4.11)是正弦交流电路进行有功功率、无功功率和视在功率计算的一般公式。

显然

有功功率、无功功率、视在功率的关系可用三角形表示,如图4.4.4所示,称为功率三角形。阻抗三角形每条边乘以I2,即可得到功率三角形。需要说明的是图4.4.2、图4.4.3(b)、图4.4.4中的三角形是相似的,φ均指阻抗角。图4.4.4功率三角形

【例4.4.1】电路如图4.4.5所示,XL=XC,已知电压表V1、V2的读数分别为150V和120V,求电压表V的读数。图4.4.5例4.4.1的电路图4.4.6相量图

4.5阻抗串联交流电路

交流电源和各种阻抗可组合成不同参数与不同结构的正弦交流电路。本节主要对最简单和最常用的阻抗串联交流电路进行分析。以图4.5.1(a)所示阻抗串联电路为例进行分析。设图4.5.1阻抗的串联

3.相量图

串联交流电路中,一般选取电流为参考量。设

和其他相量绘入同一相量图,如果角度特殊,则使用相量图分析更为方便。图4.5.2相量图

【专4.2】R、C、L串联的正弦交流电路中,是否总电压一定大于分电压?R、C和L处于何种关系时电路电流最大?此时电路是否有无功功率?

【练4.4】电路如图1所示,求(a)、(b)的电压U。图1练4.4的电路

【练4.5】电路如图2所示,含R、L的线圈与电容C串联,已知线圈电压URL=50V,电容电压UC=30V,总电压与电流同相,求总电压U并分析功率情况。

【练4.6】日光灯电源的电压为220V,频率为50Hz,灯管相当于300Ω的电阻,与灯管串联的镇流器在忽略电阻的情况下相当于400Ω感抗的电感,试求灯管两端的电压和工作电流,并画出相量图图2练4.5的电路

4.6并联交流电路

以图4.6.1(a)所示阻抗并联电路为例进行分析。设图4.6.1阻抗的并联

说明并联电路中如果同时存在电感元件和电容元件时,电路总的无功功率也应为二者无功功率之差,差值部分才和电源进行能量交换。

无论是串联交流电路还是并联交流电路,电路中总的有功功率等于各阻抗的有功功率之和,电路中总的无功功率等于各阻抗的无功功率之和,但是一般情况下,电路总的视在功率不等于各阻抗的视在功率之和。

3.相量图

并联交流电路中,一般选取电压为参考量。令̇U=U∠0°,和其他相量绘入同一相量图,如果角度特殊,则使用相量图分析更为方便。图4.6.2相量图

例4.5.1中电路总的阻抗角φ为-8°,称电路呈现容性,负载为容性负载。例4.6.1中电路总的阻抗角φ为45°,称电路呈现感性,负载为感性负载。φ与电路性质和负载性质的关系见表4.6.1。

4.7功率因数的提高

正如4.4节所讲,cosφ称为功率因数,而φ指电压与电流的相位差,即阻抗角,又叫功率因数角。当cosφ<1时,电路中发生能量互换,出现无功功率。异步电动机在额定负载时的功率因数约为0.7~0.9,轻载时功率因数更低。高压供电的工业企业的平均功率因数要求不低于0.95。供电局一般要求用户的功率因数不低于0.9。

1.功率因数减小的原因

日常生活中很多器件都会使用到电感或者产生电感效应,如电机、日光灯等,包含这些器件的电路可等效为RL串联电路。由式(4.4.4)可知,RL串联电路的阻抗角可表达为

电感L增大则感抗XL增大,会导致阻抗角φ增大,进而使得功率因数cosφ减小。

2.功率因数减小的影响

1)电源设备的容量不能充分利用假设电源设备的容量为SN,则

如果cosφ=1,则电源可发出的有功功率为

故无需提供无功功率。

如果cosφ=0.6,则电源可发出的有功功率为

故需要提供的无功功率为

所以提高cosφ可使发电设备的容量得以充分利用。

2)增加线路和发电机绕组的功率损耗

因为P=UIcosφ,所以

又因为损耗

所以提高cosφ可减小线路和发电机绕组的电流,进而降低损耗。

由上可知,提高功率因数有现实意义。

3.功率因数的提高

从4.6节中可知,无论是串联交流电路还是并联交流电路,电容元件和电感元件产生的无功功率可相互补偿。因此,要想提高功率因数,只需要在RL电路中串联或者并联容性负载即可。但是提高功率因数的同时必须保证原负载的工作状态不变,即负载上的电压和有功功率不变,因此不可以在RL电路串接容性负载。一般情况下,采取的措施为在感性负载两端并联静电电容器。

设̇U=U∠0°,RL电路的阻抗角为φ1,由图4.7.1和图4.7.2可知,未并联电容前,̇I=̇I1,̇I滞后̇Uφ1,φ1即为电路总的阻抗