数学-2.2 乘法公式-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)（解析版）

2.2乘法公式知识点一知识点一平方差公式我们把a+ba−b知识点知识点二完全平方公式我们把a±知识点知识点三运用乘法公式进行计算遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的。

题型一利用乘法公式化简求值【例题1】先化简，再求值：，其中，．【答案】，9【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：，当，时，原式．【变式1-1】先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：当，时，原式．【变式1-2】先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】先利用多项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项，最后代入数值求解即可．【详解】解：原式

∵∴∴原式【变式1-3】先化简，再求值．，其中．【答案】，7【分析】先根据多项式混合运算法则计算，将多项式化简，再将整理体代入计算即可．【详解】解：，∵，∴原式．【变式1-4】先化简，再求值：，其中实数a，b满足．【答案】，7【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据绝对值和偶次方的非负性得出，，最后代入求出答案即可．【详解】解：∵∴∴，，原式．

【变式1-5】先化简，再求值．，其中．【答案】，【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的运算法则去掉中括号里面的小括号，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可．【详解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．题型二利用完全平方公式的变形求值【例题2】已知，，则的值为（

）A．5 B．25 C．37 D．6【答案】B【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．

【详解】解：∵，，∴．故选：B．【变式2-1】若中，则（

）A．10 B． C． D．40【答案】C【分析】根据完全平方公式得出，代入求出即可．【详解】解：∵，∴，故选：C．【变式2-2】已知，则的值为（

）A．10 B．17 C．26 D．33【答案】B【分析】根据完全平方公式变形计算即可．【详解】∵，，∴．故选B．【变式2-3】若，，则的值为（

）A．21 B．29 C．17 D．33【答案】C

【分析】根据变形，然后将已知代入即可求．【详解】解：∵，∴，故选C．【变式2-4】已知，，则的值为（）A．25 B．36 C．11 D．16【答案】D【分析】根据完全平方公式变形求值即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：D．【变式2-5】已知，则（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【分析】根据，可得，从而得到，再由完全平方公式，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴．故选：C【变式2-6】已知，，那么的值是（

）A．11 B．13 C．37 D．85

【答案】D【分析】根据，得到，进而求出的值，即可求出的值．【详解】解：∵，，∴，∴，∴；故答案为：85．【变式2-7】，为实数，整式的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值．【详解】解：，∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．故选：A．【变式2-8】已知，则代数式的值为_____．【答案】【分析】将已知等式完全平方，然后根据完全平方公式展开即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，

∴，故答案为：．【变式2-9】已知：，则________．【答案】【分析】将方程两边同时除以字母x，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解．【详解】解：将方程两边同时除以字母x得：，故答案为：．【变式2-10】已知，则______．【答案】【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．【详解】解：，，，，

．故答案为：．【变式2-11】多项式的最小值是______．【答案】12【分析】利用完全平方公式把多项式化成一个偶次方加常数的形式，偶次方为0时，代数式有最小值．【详解】解：，的最小值是12，故答案为：12．【变式2-12】已知a2－3a＋1＝0，则分式的值是_______．【答案】【分析】利用降幂的思想，由题可知a2=3a-1，进行代入多次降幂即可求解.【详解】解：∵a2－3a＋1=0∴a2=3a-1∴======故答案为：

题型三乘法公式的实际应用【例题3】如图1，长方形的两边分别是，，如图2的长方形的两边为，（其中m为正整数）．(1)求出两个长方形的面积S1、S2；(2)现有一个正方形，它的周长与图1的长方形的周长相等，试证明该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数，并求出这个常数．【答案】(1)（m为正整数），（m为正整数）；(2)该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数4【分析】（1）根据长方形面积长宽及整式乘法法则直接计算即可得到答案；（2）设正方形边长为a，根据周长相等得到边长，再根据正方面积公式求出面积与长方形面积比较即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，（m为正整数），（m为正整数）；（2）解：设正方形边长为a，由题意可得，，∴，∴，∵，∴，∴该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数4．

【变式3-1】某市有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化．(1)绿化部分的面积是多少平方米（用含，的式子表示）？(2)若，满足，求绿化部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；（2）根据多项式乘以多项式求出a与b的值，再将a与b的值代入计算即可求出值．【详解】（1）解：由题知，绿化部分的面积是.故绿化部分的面积是；（2）解：∵，即，∴，，∴．故绿化部分的面积是．【变式3-2】【阅读理解】若满足，求的值．解：设，则，，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】

(1)若满足，则；(2)若满足，求的值；(3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)15(2)(3)【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可．（2）根据题意可得，设，，则，，将化成的形式，代入求值即可．（3）根据题意可得，设，，则，，再由阴影部分的面积，即可求出阴影部分的面积．【详解】（1）解：设；则，，∴，故答案为：．（2）解：设，，则，，∴

，故答案为：．（3）解：由题意得，，，∵长方形的面积为，∴，设，，则，，∴阴影部分的面积，，∴阴影部分的面积和为．【变式3-3】数形结合可以让抽象的数学问题更加直观形象，课上老师准备了如图①所示的长为4a，宽为b的长方形纸片，沿虚线用剪刀剪出4个全等的小长方形，按照图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分的图形是正方形．(1)填空：图②中阴影部分正方形的边长是______；（用a、b表示）请你观察图形，写出、、ab之间的等量关系：______．问题探究(2)如图③是由两个正方形与一个长方形组成，其中小正方形的边长为m，面积为，大正方形的边长为n，面积为，若长方形的周长是14．．求长方形的面积．拓展延伸

(3)图④中正方形的边长为x，，长方形的面积是100，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出四边形的面积=______．【答案】(1)，(2)12(3)464【分析】（1）根据长方形的边长关系即可得到正方形的边长，利用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到阴影面积，由此列得等量关系式；（2）由题意得，利用完全平方公式变形求出即可；（3）由大正方形的边长为x，则，设，，则四边形的面积，代入即可．【详解】（1）解：由题意得，小长方形的长为b，宽为a，图②中阴影部分正方形的边长是，∴阴影部分的面积为，∵阴影部分的面积，∴，故答案为：，；（2）由题意得，∵，∴，∴，∴长方形的面积是12（3）∵正方形的边长为x，∴，∴，设，

∴，∵四边形和四边形都是正方形，∴，∴，∴四边形是正方形，∴四边形的面积，故答案为：464．【变式3-4】阅读：数学学习中，“算两次”是建立相等关系的一种重要思想，例如：一条直线上有个点，它们可以确定多少条线段呢？方法一：从左至右，不重不漏的数．以为端点的线段共条；以为端点的线段共条；以为端点的线段共条；……以为端点的线段是1条．以上累加起来即可．方法二：每个点都能和除它以外的个点形成线段，共可形成条线段，但所有线段都数了两遍．(1)根据上述两种方法计算线段的总条数N，各写出一个用n表示N的表达式．方法一：方法二：(2)运用：①试猜想之间的关系．②计算：(3)拓展：七年级一班有8名班干部，现要随机选派3人参加某志愿者活动，共有种不同的选派方案．（填数字）【答案】(1)，(2)①；②(3)56【分析】（1）由不同的计算方法求解即可；（2）①利用整式的乘法求解即可；

②首选根据平方差公式展开，然后利用（1）总结的规律求解即可；（3）由方法一求解即可．【详解】（1）解：把不同端点的线段相加可得总条数；由点和线段的规律可得线段的总条数；故答案为：，．（2）①∵∴之间的关系是；②；（3）由题意可得，共有．【变式3-5】微专题探究学习：阅读探究学习过程，完成（1）小题中的填空、（2）小题的图形设计和（3）小题的求面积．《面积与完全平方公式》如图1，阴影部分是一个边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形和两个宽为的长方形之后所剩余的部分．

(1)①图1中剪去的长方形的长为______，面积为______．②用两种方式表示阴影部分的面积为______或______，由此可以验证的公式为______．(2)请设计一个新的图形验证公式：．(3)如图2，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)①；；②；；(2)图形见解析(3)【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式计算；（2）通过面积构造几何图形；（3）利用所得乘法公式计算．【详解】（1）解：①由长方形的性质可知，图1中剪去的长方形的长为，∵长方形宽为，∴长方形的面积为．故答案为：；．②由题意可得，图1中阴影部分是一个正方形，面积为：，还可以表示为：，∴可以验证的公式为：．故答案为：；；．（2）1个边长为的正方形，1个边长为的正方形和2个长为，宽为的长方形可拼成一个边长为的正方形，如下图所示，∴．

（3）∵，分别表示边长为，的正方形的面积，且，∴，∵，∴．∵，∴，∴，∴．∴图中阴影部分的面积为．【变式3-6】阅读理解，自主探究数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．例如：平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，就等于䢍两个数的平方差”，即，平方差公式的几何意义如下图所示：图甲阴影部分面积为，图乙阴影部分面积为；由于阴影部分面积相同，所以有

(1)解决问题：如下图是完全平方公式的几何意义，请写出这个公式________．(2)学以致用：请解释的几何意义．(3)拓展延伸：请解释的几何意义，并写出乘积的结果．【答案】(1)(2)见解析(3)；图见解析【分析】（1）根据图形面积的两种不同表达方式，可得到恒等式；（2）由恒等式可知，可以构造整体图形为边长为的正方形，阴影部分正方形边长，据此作图即可．（3）由恒等式可知，整体图形为边长为、的长方形，然后用两种方法表示长方形面积，即可解答．【详解】（1）解：根据正方形面积公式可得，图3中图形的面积为：，同时图中图形的面积也可表示为：，故可得恒等式：；（2）如图：阴影部分正方形面积等于：，也可以表示为，故：；

（3）解：如图：-【变式3-7】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片______张，号卡片______张，号卡片_____张．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值．(3)两个正方形，如图3摆放，边长分别为，．若，，求图中阴影部分面积和．

【答案】(1)3，2，7(2)，(3)8【分析】（1）计算，再根据三个纸片的面积可求解；（2）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出三者的关系；设，，则，，，利用等量关系求出即可求解；（3）根据图形得到,，利用完全平方公式分别求得和即可求解.【详解】（1）解：，又种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为，∴需种纸片3张，种纸片2张，种纸片7张，故答案为：3，2，7；（2）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为，∴，故答案为：；设，，则，，，∵，

∴，则，∵，∴，∴；（3）解：由题意和图形知，，，则，则，∴，∴或（舍去），阴影部分的面积和为．题型四巧用平方差公式计算【例题4】计算的结果为（

）A． B．1 C．11 D．4027【答案】B【分析】根据题意可以写成，利用平方差公式简便计算出结果．【详解】解：．故选：B．【变式4-1】化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可知，原式由两个平方差公式组成，因此利用平方差公式计算即可．

【详解】解：故选：D．【变式4-2】计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：．故选：D．【变式4-3】计算的值为（

）A．5048 B．50 C．4950 D．5050【答案】D【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．【详解】解：1002-992+982-972+…+22-12=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1

=101×（99-97+95-…+3-1）=101×（2+2+…+2）=101×25×2=5050．故答案为：D.【变式4-4】计算，结果的个位数字是（）A．6 B．5 C．8 D．7【答案】B【分析】根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5．【详解】解：…．∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现．∵，∴的个位数字为6，∴的个位数字为．故选B．【变式4-5】算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】先配一个（2-1），则可利用平方差公式计算出原式=264

，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解．【详解】解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1=（232-1）×（232+1）+1=264-1+1=264，因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，所以264的个位数是6．故选：B．【变式4-6】请你估计一下，的值最接近于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式对所求式子进行化简，从而进行求解．【详解】解：．故选：B．【变式4-7】计算：____________.【答案】2019.

【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．【详解】解：∵∴=故答案是：2019.【变式4-8】请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）【答案】##【分析】各式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可．【详解】解：∵，，；∴猜想，故答案为：题型五求完全平方式中的字母系数【例题5】若是一个完全平方式，则常数k的值为（

）A．11 B．21 C．21或 D．11或【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得出答案.【详解】解：是一个完全平方式∴解得：或，故选：C．【变式5-1】若是完全平方式，则n的值为（

）A．6 B．或6 C．1 D．

【答案】B【分析】由完全平方式的特点可得或再解方程即可．【详解】解：是完全平方式，∴或解得：或，故B正确．故选：B．【变式5-2】已知是一个完全平方式，则可为（）A．3 B． C．7 D．7或【答案】D【分析】先将原式变形为，即可得到，进而得到或，即可求出，问题得解．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴或，∴或．故选：D【变式5-3】已知，则b的值为（

）A．6 B． C．12 D．【答案】D【分析】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可．【详解】∵，∴，

∴，∴，故选D．题型六运用乘法公式找规律【例题6】观察下列等式：已知：＝（a﹣b）（a+b）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）；＝（a﹣b）（）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得=①，设=k②，则由①+②得：③，由①-②得：④，由④-③得：=，即可求解．【详解】解：由题意，得=(2-1)()=即=①，设=k②，由①+②得：，，即③，由①-②得：，即④，由④-③得：=，∴=k，解得：k=．故选：D．

【变式6-1】已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则的值为（）A．1008015 B．1009019 C．2016030 D．无法求解【答案】B【分析】通过观察可以看出b=1004，a=（1004-1）×（1004+1）=1003×1005．从而得到a+b的值．【详解】解：由所给的各式可知，b与第一个加数相等，a=（b-1）（b+1），因此b=1004，a=（1004-1）×（1004+1）=1003×1005．a+b=1004+1003×1005=1009019．故选B．【变式6-2】某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得到；第二步：算出的各位数字之和得到，计算得到；第三步：算出的各位数字之和得到，再计算得到；…；依此类推，则的值是（

）A．63 B．80 C．99 D．120【答案】A【分析】先根据题意分别求出，，，，，可得出从第3个数开始，每2个数一循环，进而求解即可．【详解】解：根据题意，，，，，，，，，，，∴从第三个数开始，每2个数一循环，∵，∴是第个循环的第1个数，∴的值为63，

故选：A．【变式6-3】我国宋代数学家杨辉发现了（，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上