第一章绪论第二章受轴向拉伸（讲稿）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页第一章绪论同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴了解材料力学的任务和研究内容；(2)了解变形固体的基本假设；(3)构件分类，知道材料力学主要研究等直杆；(4)具有截面法和应力、应变的概念。2、教学内容(1)构件的强度、刚度和稳定性概念，安全性和经济性，材料力学的任务；(2)变形固体的延续性、匀称性和各向同性假设，材料的弹性假设，小变形假设；(3)构件的形式，杆的概念，杆件变形的基本形式;(4)截面法，应力和应变。二、重点与难点重点同教学内容，基本上无难点。三、教学方式讲解，用多媒体显示工程图片资料，提出问题，引导学生思量，研究。四、建议学时1～2学时五、实施学时六、讲课提纲1、由结构与构件的工作条件引出构件的强度、刚度和稳定性问题。强度：构件抵御破坏的能力；刚度：构件抵御变形的能力；稳定性：构件保持自身的平衡状态为。2、安全性和经济性是一对矛盾，由此引出材料力学的任务。3、引入变形固体基本假设的须要性和可能性延续性假设：材料延续地、不间断地弥漫了变形固体所占领的空间；匀称性假设：材料性质在变形固体内到处相同；各向同性假设：材料性质在各个方向都是相同的。弹性假设：材料在弹性范围内工作。所谓弹性，是指作用在构件上的荷载撤消后，构件的变形所有小时的这种性质；小变形假设：构件的变形与构件尺寸相比异常小。4、构件分类杆，板与壳，块体。它们的几何特征。5、杆件变形的基本形式基本变形：轴向拉伸与压缩，剪切，扭转，弯曲。各种基本变形的定义、特征。几种基本变形的组合。6、截面法，应力和应变截面法的定义和用法；为什么要引入应力，应力的定义，正应力，切应力；为什么要引入应变，应变的定义，正应变，切应变。

第二章轴向拉伸与压缩一、教学目标和教学内容1、教学目标⑴控制轴向拉伸与压缩基本概念；⑵熟练控制用截面法求轴向内力及内力图的绘制；⑶熟练控制横截面上的应力计算主意，控制斜截面上的应力计算主意；⑷具有胡克定律，弹性模量与泊松比的概念，能熟练地计算轴向拉压情况下杆的变形；⑸了解低碳钢和铸铁，作为两种典型的材料，在拉伸和压缩实验时的性质。了解塑性材料和脆性材料的区别。(6)建立许用应力、安全系数和强度条件的概念，会举行轴向拉压情况下构件的强度计算。(7)了解静不定问题的定义，判断主意，控制求解静不定问题的三类方程（条件）：平衡方程，变形协调条件和胡克定律，会求解容易的拉压静不定问题。2、教学内容(1)轴向拉伸与压缩的概念和工程实例；(2)用截面法计算轴向力，轴向力图；(3)横截面和斜截面上的应力；(4)轴向拉伸和压缩是的变形；(5)许用应力、安全系数和强度条件，刚度条件；(6)应力扩散的概念；(7)材料在拉伸和压缩时的力学性能；(8)塑性材料和脆性材料性质的比较；(9)拉压静不定问题(10)圆筒形压力容器。二、重点难点重点：教学内容中的（1）～（5），（7）～（9）。难点：拉压静不定问题中的变形协调条件。通过讲解原理，多举例题，把变形协调条件的形式举行归类来解决。讲解静定与静不定问题的判断主意。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思量，让学生回答问题。四、建议学时8学时五、实施学时六、讲课提纲Ⅰ、受轴向拉伸（压缩）时杆件的强度计算轴向拉（压）杆横截面上的内力1、内力的概念（1）内力的含义（2）材料力学研究的内力——附加内力2、求内力的主意——截面法截面法的基本思想假想地用截面把构件切开，分成两部分，将内力转化为外力而显示出来，并用静力平衡条件将它算出。举例：求图示杆件截面m-m上的内力图2-1截面法求内力按照左段的平衡条件可得：ΣFX=0FN-FP=0FN=FP若取右段作为研究对象，结果一样。截面法的步骤：①截开：在需要求内力的截面处，假想地将构件截分为两部分。②代替：将两部分中任一部分留下，并用内力代替弃之部分对留下部分的作用。③平衡：用平衡条件求出该截面上的内力。运用截面法时应注重的问题：力的可移性原理在这里不适用。图2-2不允许使使劲的可移性原理3、轴向内力及其符号规定（1）轴向拉（压）杆横截面上的内力——轴向内力，轴向内力FN的作用线与杆件轴线重合，即FN是垂直于横截面并通过形心的内力，因而称为轴向内力，简称轴力。（2）轴力的单位：N（牛顿）、KN（千牛顿）（3）轴力的符号规定：轴向拉力（轴力方向背离截面）为正；轴向压力（轴力方向指向截面）为负。4、轴力图何谓轴力图？杆内的轴力与杆截面位置关系的图线，即谓之轴力图。例题2-1图2-3,a所示一等直杆及其受力图，试作其轴力图。(a)(b)图2-3轴力图的绘制主意①轴线上的点表示横截面的位置；②按选定的比例尺，用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值；③正当画在基线的上侧,负值画在基线的下侧；④轴力图应画在受力图的对应位置，FN与截面位置一一对应。轴力图的作用使各横截面上的轴力一目了然，即为了清晰地表明各横截面上的轴力随横截面位置改变而变化的情况。（4）注重要点：①一定要示出脱离体（受力图）；②按照脱离体写出平衡方程，求出各段的轴力大小；③按照求出的各段轴力大小，按比例、正负画出轴力图。轴向拉（压）杆横截面及斜截面上的应力1、应力的概念（1）何谓应力？内力在横截面上的分布集度，称为应力。（密集程度）（2）为什么要研究应力？判断构件破坏的根据不是内力的大小，而是应力的大小。即要判断构件在外力作用下是否会破坏，不仅要知道内力的情况，还要知道横截面的情况，并要研究内力在横截面上的分布集度（即应力）。（3）应力的单位应力为帕斯卡（Pascal），中文代号是帕；国际代号为Pa，1Pa=1N/M2常用单位：MPa(兆帕)，1MPa=106Pa=N/MM2GPa（吉帕），1GPa=109Pa。2、横截面上的应力为研究横截面上的应力，先用示教板做一实验：图2-4示教板演示看见示教板上橡胶直杆受力前后的变形：受力前：ab、cd为┴轴线的直线受力后：a’b’、c’d’仍为┴轴线的直线有表及里作出即：假设原为平面的横截面在变形后仍为垂直于轴线的平面。（1）看见变形平面假设即：假设原为平面的横截面在变形后仍为垂直于轴线的平面。即：纵向伸长相同，由延续匀称假设可知，内力匀称分布在横截面上即：纵向伸长相同，由延续匀称假设可知，内力匀称分布在横截面上（2）变形逻辑（3）结论横截面上各点的应力相同。即（5-1）式中：σ——横截面上的法向应力，称为正应力；FN——轴力，用截面法得到；A——杆件横截面面积。横截面上正应力计算公式（2-1式）应用范围的研究：①对受压杆件，仅适用于短粗杆；②上述结论，除端点附近外，对直杆其他截面都适用。申维南（SaintVenant）原理指出：“力作用杆端方式的不同，只会使与杆在不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。”③对于变截面杆，除截面突变处附近的内力分布较复杂外，其他各横截面仍可假定正应力分布。正应力（法向应力）符号规定：拉应力为正；压应力为负。例题2-2已知例题2-1所示的等直杆的横截面面积A=400MM2，求该杆的最大工作应力？解：由例题2-1轴力图可知，该杆上，所以此杆的最大工作应力为例题2-3一横截面为正方形的变截面杆，其截面尺寸及受力如图2-5所示，试求杆内的最大工作应力？（a）（b）图2-5尺寸单位：mm（1）作杆的轴力图，见图2-5，b（2）因为是变截面，所以要逐段计算3、斜截面上的应力异常普通横截面上的应力异常面上的应力异常普通随意截面上的应力普通面上的应力推导主意与横截面上正应力的推导一样图2-6（1）看见变形相对平移（2）结论斜截面上各点处的全应力、Pα相等图2-7显然：Pα·Aα=FNα(a)式中：Aα—α截面的面积FNα=(b)Pα=(c)斜截面面积Aα与横截面面积A有如下关系：图2-8A=Aα·cosα∴Pα===·cosα=·cosα式中的=是杆件横截面上的正应力。（3）全应力Pα的分解：（任取一点o处）图2-9Pα：=Pα·cosα=·cos=（2-2）=Pα·sinα=·sincos=sin2（2-3）正应力、剪应力极值：从式（2-2）、（2-3）可见，、都是α角的函数，因此总可找到它们的极限值分析式（2-2）可知：当α=0°时，达到最大值，即==分析式（2-3），若假定从x轴沿轴逆时针转向到α截面的外法线时，α为正；反之α为负，即图2-10则当α=45°、α=-45°时，达到极值，====-剪应力互等定律由上述分析可以看到：在α=+45º和α=-45º斜截面上的剪应力满意如下关系：=-正、负45º两个截面互相垂直的。那么，在随意两个互相垂直的截面上，是否一定存在剪应力的数值相等而符号相反的逻辑呢？回答是绝对存在的。这可由上面的（2-3）式得到证实：=sin2=-sin2（+90°）=-即：通过受力物体内一点处所作的互相垂直的两截面上，垂直于两截面交线的剪应力在数值上必相等，而方向均指向交线或背离交线。这个逻辑就称为剪应力互等定律。剪应力（切向应力）符号规定：剪应力以对所研究的脱离体内任何一点均有顺时针转动趋势的为正，反之为负。例题5-4向来径为d=10mm的A3钢构件，承受轴向载荷FP=36kN.试求α1=0°、α2=30°、α3=45°、α4=60°、α5=90°、α6=-45°各截面上正应力和剪应力值。解：①α1=0°时，即截面1-1：图2-11===②α2=30°时，即截面2-2：图2-12==③α3=45°时，即截面3-3：图2-13==④α4=60°时，即截面4-4：图2-14==⑤α5=90°时，即截面5-5：图2-15==⑥α5=-45°时，即截面6-6：图2-16==由上述计算可见：发生在试件的横截面上，其值=发生在α=45°斜面上，其值=三、轴向拉（压）杆的强度计算极限应力，安全系数、容许应力（1）极限应力①何谓极限应力？极限应力是指材料的强度遭到破坏时的应力。所谓破坏是指材料浮上了工程不能容许的异常的变形现象。②极限应力的测定极限应力是通过材料的力学性能实验来测定的。③塑性材料的极限应力σ°=σ5④脆性材料的极限应力σ°=σb（2）安全系数①何谓安全系数？对各种材料的极限应力再打一个折扣，这个折扣通常用一个大于1的系数来表达，这个系数称为安全系数。用n表示安全系数。②决定安全系数时应考虑的因素：=1\*romani）荷载预计确实切性=2\*romanii）简化过程和计算主意确实切性；=3\*romaniii）材料的匀称性（砼浇筑）；=4\*ROMANIV）构件的重要性；=5\*romanv）静载与动载的效应、磨损、腐蚀等因素。③安全系数的大致范围：：1.4～1.8：2～3（3）容许应力①何谓容许应力？将用实验测定的极限应力σ0作适当降低，规定出杆件能安全工作的最大应力作为设计的根据。这种应力称为材料的容许应力。②容许应力的决定：=(n1)(5-4)对于塑性材料：=对于脆性材料：=强度条件（1）何谓强度条件？受载构件安全与危险两种状态的转化条件称为强度条件。（2）轴向拉（压）时的强度条件（5-5）（3）强度条件的意义安全与经济的统一强度计算的三类问题（1）强度校核：（2）截面设计：（3）决定容许载荷：例题2-5钢木构架如图2-16所示。BC杆为钢制圆杆，AB杆为木杆。若FP=10kN,木杆AB的横截面面积AAB=10000mm,容许应力=7MPa;钢杆BC的横截面积为ABC=600mm,容许应力=160MPa①校核各杆的强度；②求容许荷载③按照容许荷载，计算钢BC所需的直径。（a）(b)图2-16解：①校核两杆强度为校核两杆强度，必须先知道两杆的应力，然后按照强度条件举行验算。而要计算杆内应力，须求出两杆的内力。由节点B的受力图（图2-16，b），列出静力平衡条件：FNBC·cos60°-FP=0得FNBC=2FP=20kN(拉)FNAB-FNBC·cos30°=0得FNAB=所以两杆横截面上的正应力分离为=1.73MPa<=7MPa=33.3MPa<=160MPa按照上述计算可知，两杆内的正应力都远低于材料的容许应力，强度还没有充足发挥。因此，悬吊的分量还可以大大增强。那么B点处的荷载可加到多大呢？这个问题由下面解决。②求容许荷载因为==而由前面已知两杆内力与P之间分离存在着如下的关系：按照这一计算结果，若以BC杆为准，取，则AB杆的强度就会不足。因此，为了结构的安全起见，取为宜。这样，对木杆AB来说，恰到益处，但对钢杆BC来说，强度仍是有余的，钢杆BC的截面还可以减小。那么，钢杆BC的截面究竟多少为宜呢？这个问题可由下面来解决。③按照容许荷载，设计钢杆BC的直径。因为，所以=。按照强度条件钢杆BC的横截面面积应为钢杆的直径应为例题2-6简易起重设备如图2-17所示，已知AB由2根不等边角钢

L63x40x4组成，，试问当提起分量为W=15kN时，斜杆AB是否满意强度条件。图2-17解：①查型钢表，得单根L63x40x4=4.058cm图2-18节点D处作用的力：FP=W（平衡）,计算简图：2W作用点图2-19②∴AB杆满意强度要求。Ⅱ、受轴向拉伸（压缩）时杆件的变形计算一、纵向变形虎克定律图2-201、线变形：△L=L1-L（绝对变形）——反映杆的总伸长，但无法说明杆的变形程度（绝对变形与杆的长度有关）2、线应变：（相对变形）（2-6）——反映每单位长度的变形，即反映杆的变形程度。（相对变形与杆的长度无关）3、虎克定律：（2-7）（2-8）二、横向变形泊松比1、横向缩短：△b=b1-b2、横向线应变：3、泊松比实验结果表明：在弹性范围，其横向应变与纵向应变之比的绝对值为一常数，既泊松比：考虑到两个应变的正负号恒相反，即故有ε'=-με（2-9）拉伸时：ε故有ε'=-με（2-9）压缩后：ε-,ε'+三、变形和位移的概念变形——物体受外力作用后要发生形状和尺寸的改变，这种现象称为物体的变形。位移——物体变形后，在物体上的一些点、一些线或面就可能发生空间位置的改变，这种空间位置的改变称为位移。变形和位移的关系——因果关系，产生位移的缘故是杆件的变形，杆件变形的结果引起杆件中的一些点、面、线发生位移。例题2-7图2-21已知：①杆为钢杆，杆直径d=34mm,L1=1.15m,E1=200GPa;②杆为木杆，杆截面为边长a=170mm的正方形，L2=1m,E2=10GPa;P=40kN,α=30°求δBX、δBy和δ解：（1）FN1、FN2=?用截面法，画出节点B的受力图，由平衡条件得FN1=80kN,FN2=-69.3kN(2)求△L1、△L2=？△L1=△L2=(3)画节点B的位移图①按解得的变形情况作位移图；②作弧线、交于B′③∵变形极小，∴可用切线代弧线，作交于B″。(4)求δBX、δBy和δ=?为计算节点B在x、y方向的位移和总位移，必须研究节点位移图中各线段之间的几何关系：图2-22δX===△L2=0.24mm()因为画节点位移图时已考虑了杆件是拉伸还是压缩这一现实，所以计算位移时只需代各杆伸长或缩短的绝对值。()表示位移方向。δy===()δ=Ⅲ材料在拉伸和压缩时的力学性质概述＊为什么要研究材料的力学性质为构件设计提供合理选用材料的根据。强度条件：理论计算求解通过实验研究材料力学性质得到＊何谓材料的力学性质材料在受力和变形过程中所具有的特征指标称为材料的力学性质。＊＊材料的力学性质与哪些因素有关？与材料的组成成分、结构组织（晶体或非晶体）、应力状态、温度和加载方式等诸因素有关。材料在拉伸时的力学性质低碳钢的拉伸实验低碳钢是工程上广泛使用的材料，其力学性质又具典型性，因此常用它来阐明钢材的一些特性。拉伸图与应力应变曲线FP-ΔL图σ-曲线（受几何尺寸的影响）（反映材料的特性）图2-23（2）拉伸时的力学性质低碳钢材料在拉伸、变形过程中所具有的特征和性能指标：一条线（滑移线）二个逻辑（FP∞△L逻辑、卸载逻辑）三个现象（屈服、冷作硬化、颈缩）四个阶段（弹性、屈服、强化、颈缩）五个性能指标（E、、、、）下面按四个阶段逐一推荐：Ⅰ弹性阶段（OB段）OB段产生的弹性变形；该阶段的一个逻辑：FP∞△L逻辑该阶段现有两个需要讲清的概念：比例极限弹性极限该阶段可测得一个性能指标——弹性模量E也就是：OA直线段的斜率：tg=Ⅱ屈服阶段（BD段）⑴进入屈服阶段后，试件的变形为弹塑性变形；⑵在此阶段可看见到一个现象——屈服（流动）现象；⑶可测定一个性能指标——屈服极限：=注重：FPS相应于FP-ΔL图或ơ-є曲线上的C‘点，C‘点称为下屈服点；而C称为上屈服点。⑷在此阶段可看见到：在试件表面上浮上了大约与试件轴线成45°的线条，称为滑移线（又称切尔诺夫线）。=3\*ROMANIII强化阶段（DG段）=1\*GB3①过了屈服阶段后，要使材料继续变形，必须增强拉力。缘故：在此阶段，材料内部不断发生强化，因而抗力不断增长。=2\*GB3②在此阶段可以发现一个卸载逻辑——卸载时荷载与变形之间仍遵循直线关系。图2-24=3\*GB3③在此阶段可以看到一个现象——冷作硬化现象，即卸载后再加载，荷载与变形之间基本上还是遵循卸载时的直线逻辑。冷作的工程作用：提高构件在弹性阶段内的承载能力。④在此阶段可测得一个性能指标：强度极限：=Ⅳ颈缩阶段（GH段）过G点后，可看见到一个现象——颈缩现象，试件的变形延伸度方向不再是匀称的了。随着试件截面的急剧缩小，载荷随之下降，最后在颈缩处发生断裂。拉断后对拢，可测得两个两个塑性指标：延伸率：面缩率：工程上：是衡量塑、脆性材料的标准。（3）拉伸试件的断口分析：断口：杯锥状破坏缘故：剪应力所致的剪切断裂低碳钢的力学性能分析：由轴向拉杆横截面及斜截面上的应力分析可知：低碳钢的抗剪能力低于抗拉能力。铸铁的拉伸实验铸铁也是工程上广泛应用的一种材料。其拉伸σ-ε曲线如下：图2-25从σ-ε曲线可见，该曲线没有显然的直线部分，应力与应变不成正比关系。工程上通常用割线来近似地代替开始部分的曲线，从而认为材料顺从虎克定律。铸铁拉伸没有屈服现象和颈缩现象。在较小的拉力下骤然断裂。以拉断时的应力作为强度极限：σb=破坏断口：粗糙的平断口其他材料在拉伸时的力学性质简介有些材料（如16MN钢、508A）在拉伸过程中有显然的四个阶段；有些材料（如黄铜、PCrNiMo）没有屈服阶段，但其他三个阶段却很显然；有些材料（如35CrMnSi）惟独弹性和强化阶段。(a)(b)图2-26对于没有显然屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力作为屈服极限，用σ0.2来表示。国标GB228-87对测定σ0.2的主意有详细的规定。σ0.2称为名义屈服极限。从上图可见，有些材料（如黄铜）塑性很好，但强度很低；有些材料（如35CrMnSi）强度很高，但塑性很差。材料在压缩时的力学性质低碳钢压缩与拉伸σ-ε曲线的比较图2-27（1）在屈服阶段之前，两曲线重合，即σ+s=σ-sE在屈服之后，试件越压越高，并不断裂，因此测不出强度极限。2、铸铁压缩与拉伸σ-ε曲线的比较图2-28与拉伸相同之处：没有显然的直线部分，也没有屈服阶段。压缩时有显著的塑性变形，随着压力增强试件略呈鼓形，最后在很小的塑性变形下骤然断裂。破坏断面与轴线大致成45º-55º的倾角。压缩强度极限σ-b比拉伸强度极限高4-5倍。Ⅳ拉伸和压缩的超静定问题超静定问题的概念及其解法何谓静定？杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力能用静力平衡方程求解的，这类问题称为静定问题。这类结构称为静定结构。例如图2-29，a所示的结构：图2-29何谓超静定及第二数？杆件或杆系结构的约束反力、各杆的内力不能用静力平衡方程求解的，即未知力的数目超过平衡方程的数目，这些问题称为超静定问题。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。为提高图2-29，a所示结构的强度和刚度，可在中间加一杆，如图b所示：三个未知内力，两个平衡方程（平面汇交力系），一次超静定。超静定问题的普通解法：（举例说明）图2-30解：（1）静力平衡方程：∑FY=0，FR1+FR2=FP（a）FR1、FR2、FP组成一共线力系，二个未知力，惟独一个平衡条件，超静定一次。要解，必须设法补充一个方程。从变形间的协调关系着手。（2）变形几何方程（也称为变形协调方程）：ΔL1+ΔL2=0（b）ΔL1、ΔL2不是所要求的未知力，惟独通过物理条件才干把变形用未知力来表示，即（3）物理方程：（c）（4）建立补充方程：即将（c）式代入（b）式：=0即（d）联立解（a）、（d）两式，得;若解得FR1、FR2为正当，说明FR1、FR2的假设方向与实际一致，若L1=L2，则FR1=FR2=已知FR1、FR2，FN1，FN2即得解。归纳上述解题，得到超静定问题的普通解法和步骤。按照静力学平衡条件列出应有的平衡方程；按照变形协调条件列出变形几何方程；按照力与变形间的物理关系建立物理方程；利用物理方程将变形几何方程改写成所需的补充方程；联立求解由平衡方程、补充方程组成的方程组，总算解出未知力。装配应力何谓装配应力？对于超静定结构，因为发明误差，在装配后，结构虽未承载，但各杆内已有内力存在。这种因强行装配而引起的应力称为装配应力。例图2-31，a.图2-31对于静定结构，普通不存在这样的问题。例图2-31，b.例题2-8已知：L1钢=L2钢=20cm,d1=d2=1cm;E1=E2=210GPa.L3铜=19.989cm,A铜=6cm2;E3=100GPa.求：各杆内的装配应力。（a）(b)(c)图2-32解：1)静力平衡方程：(图2-32,c的受力图)装配后因为对称，有及（a）2)变形几何方程：（变形协调关系）（b）而3)物理方程：；（c）4)补充方程：（将（c）带入（b）式）（d）其中：联立求解（a）、（d）式，设所以：3、装配应力的利弊：装配应力的存在普通是不利的，因为未受力而浮上初应力。一分为二：利用装配应力的举例：机械发明上的紧配合；土木建造上的预应力。三、温度应力1、何谓温度应力？在超静定结构中，因为温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。2、例题2-9高压蒸汽锅炉与原动机之间以管道衔接,暗示图见图2-33图2-33∵∴管道受热膨胀时，锅炉、原动机妨碍管道自由伸长，即有、作用于管道上：图2-34解：1）平衡方程；-=0（a）共线力系，一个平衡方程，两个未知力，一次超静定。2）变形几何方程；设想解除B端约束，允许管道自由伸长；图2-35但B端实际不允许自由伸长，因此支反力把管道压缩，即在轴向压力FN作用下压短（b）3)物理方程：（c）4)补充方程：（将（c）代入（b）式）（d）联立求解（a）、（d）式，得于是温度应力为设管道是钢制的，E=200GPa,