第4章知识资料知识资料知识资料多自由度体系振动

第四章多自由度体系振动(6h)运动方程的建立（第二章已完成）自振特性分析（频率与振型）动力响应分析（振型叠加法与逐步积分方法）中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动中南大学桥梁工程系4.0前言教材3.1-3.4思路3.4——从数学角度说明，多自由度系统方程可以实现解耦。第四章多自由度体系振动3.1——线性微振动概念，稳定性条件3.2——线性微振动的能量近似表达式3.3——线性微振动的自由振动方程中南大学桥梁工程系4.1运动方程的建立基本思路

运用弹性系统动力学总势能不变值原理与形成系统矩阵的“对号入座”法则，建立系统振动的矩阵方程。

通过两个实例（多刚体系统与平面梁），理解系统振动方程的建立全过程。第四章多自由度体系振动中南大学桥梁工程系弹性系统动力学总势能不变值原理

——系统弹性应变能；——系统惯性力作功负值；——系统粘滞阻尼力作功负值；——系统库伦摩擦力作功负值；——系统干扰力作功负值；——系统重力势能实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）第四章多自由度体系振动中南大学桥梁工程系复杂单自由度体系

分别用直接平衡法、虚位移原理与不变值原理建立其方程。第四章多自由度体系振动中南大学桥梁工程系多刚体系统

第四章多自由度体系振动系统的两个自由度为：、弹性应变能：惯性力势能：阻尼力势能：外力势能：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动系统的总势能：总势能位移变分：振动方程：注意：这里是先有方程组，再写成矩阵形式，中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动“对号入座”法则：k加到K矩阵i行j列c加到C矩阵i行j列m加到M矩阵i行j列p加到P列阵i行中南大学桥梁工程系平面梁（变形体系统）第四章多自由度体系振动①分析思路：划分单元系统总势能位移变分对号入座成矩阵中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动系统的总势能=各单元惯性力势能+各单元阻尼力势能+各单元弹性变形能

+所有外力势能中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动②单元位移模型单元节点位移：单元内部位移：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动③单元弹性变形能及变分单元弹性变形能：变形能的位移变分：单元刚度矩阵中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动积分内移得到单元刚度矩阵各元素kij：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动③单元惯性力势能及其位移变分(阻尼力势能同此)单元惯性力势能：惯性力势能变分：积分内移得到单元质量矩阵各元素mij：单元质量（阻尼）矩阵中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动④外荷载势能及变分外荷载势能：外荷势能变分：荷载元素对号入座到荷载列阵：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动⑤单元矩阵叠加到总体矩阵（对号入座法则）

重点：单元矩阵叠加到总体矩阵的具体过程中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动桁架梁段单元中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动重点：

介绍梁段有限元的基本思想，如桁段，轨段，板梁段单元等，介绍建模过程。课后任务：选择一个对象建立起振动方程，列出完整的过程。中南大学桥梁工程系4.2多自由度系统自由振动及自振特性频率与振型计算方法

第四章多自由度体系振动设多自由度体系作用振动为简谐振动，即：代入上式，消去公因子，得：无阻尼自由振动方程

中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动求解出n个解，得到n阶频率将逐阶频率代入求得n阶振型中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动振型：结构按某一频率振动时，结构各自由度变化的比例关系。自振频率：多自由度系统，多阶频率计算方法：精确解法算出所有频率与振型；

矩阵迭代法依次算出所有频率与振型；

子空间迭代法一次算出部分低阶频率与振型中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动实例分析1（例3-1），，

中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动实例分析2——介绍节点定理

中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动实例分析3

中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动实例分析4

中南大学桥梁工程系自由振动表达式第四章多自由度体系振动（1）求得方程的n个特解（3）通解中有2n个待定参数，这些参数由各自由度初始位移与初始速度确定。但非常繁琐，用振型叠加方法求解简便一些（5.1节）（2）故方程的n个通解(基于展开定理，要求线性无关)为：（4）至此，得到自由振动表达式中南大学桥梁工程系主振动概念第四章多自由度体系振动当初始位移与初始速度取得适当使得其他均为零于是，可独立发生第i阶主振动，其他阶不动例如:主振动：特定条件下的独立运动；（主）振型：主振动过程中各广义坐标的比例关系中南大学桥梁工程系主振型的正交性（也可用主振动与功的互等证明）

第四章多自由度体系振动正交性：相对质量与刚度矩阵，不同频率对应的振型相互正交。中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动证明过程：、对称矩阵两式相减中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动正交性广义刚度与广义质量一般振型vs正则振型一般振型矩阵vs正则振型矩阵Q:广义质量与广义刚度为定值吗？与单自由度的频率计算类似？中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动有可能两阶频率相同！频率方程有重根的讨论两阶频率相同——振型可能不正交，振型叠加无法实现中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动频率重根，则对应的主振型有无穷个。任取一个主振型与其他频率对应的振型是正交的。任取重根频率对应的两个主振型不一定正交。对于频率重根，可以找到相互正交的两个主振型。过程如下：（1）先任意选取，若两者不正交，则（2）取，求得适当的c使得正交如何找到相互正交的振型组？中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念

假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲线之和表示，即用数学式表达如下：（1）广义坐标法---广义坐标---形状函数讨论：如何构建合适的形状函数？4.3动力响应分析的振型叠加法中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念简支梁广义坐标表述方法：中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（2）振型叠加表述体系位移（坐标变换）：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动主振型矩阵耦合振动方程坐标变换：代入耦合方程

并左乘：问题：阻尼矩阵还不能解耦，怎么办?（3）振型叠加法的计算过程（如何解耦为单自由度方程？）中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动（4）问题：阻尼矩阵还不能解耦，怎么办?假定阻尼为瑞丽阻尼，即：实现方程解耦：瑞丽阻尼系数a、b根据实验资料确定，见式（5-5-11）中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动用杜哈密积分解出各个。稳态响应：由坐标变换得到（5）单自由度问题的求解（解析解或杜哈密积分）中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动

自由振动项：初始条件：如何得到？

完整的振动响应=自由振动项+稳态振动项（6）自由振动项（关键是广义坐标的初始条件）中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念讨论：只用少数阶振型表述体系位移，作近似计算，理由如下。对于大多数荷载类型，通常低阶振型的位移贡献最大，而高阶振型的贡献则趋于减小；当已经得到所需要的精度的反应时，可以截断级数。（荷载频率成分vs结构频率成分）在预测振动的高阶振型时，任何复杂结构体系的的数学抽象都是趋于不可靠的，故要限制振型参与的数目。中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动作业1：中南大学桥梁工程系第四章多自由度体系振动作业2：中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念关于振型叠加法的讨论：（1）采用了叠加原理，原则上仅适用于线弹性问题。

（2）要求阻尼正交，实际工程中存在大量不满足阻尼正交的问题，只能采用近似处理方法。课后任务：

针对以上两个问题，目前研究有何新进展。要求写出较详细的读书笔记。中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（1）连续（分布参数）体系问题：用位移函数v(x,t)或v(x,y,t)表述结构位移，如何求解？4.4连续（分布参数）体系动力响应分析中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（2）连续（分布参数）体系线性微振动方程微元体竖向作用力平衡中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（2）连续（分布参数）体系线性微振动方程微元体对A力矩平衡中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（2）连续（分布参数）体系线性微振动方程中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（3）连续（分布参数）体系线性微振动的振型展开要点1：此处用了离散系统展开的模式，但振型函数仍未知！要点2：描述自由振动时，为简谐量中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（4）振型正交性（特定边界）中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（4）振型正交性主振动对应的位移与惯性力（可理解为惯性力作用下的平衡）要点：两组独立的平衡状态！中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念对“两组独立的平衡状态”应用功的互等定律中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念对“两组独立的平衡状态”应用功的互等定律（自己推导！）以质量为加权参数的正交条件以刚度为加权参数的正交条件中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（5）求解振型与频率自由振动方程：考虑梁的第i

阶主振动：Q:如何求解？

求解得到什么？中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（5）求解振型与频率方程：通解：待定系数：由边界条件唯一决定，同时由非零解条件得到频率中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（5）求解振型与频率简支梁实例：，，边界条件：Q:如何代入通解方程？A:利用主振动概念，转换上述边界条件中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念，，边界条件：A:利用主振动概念，转换上述边界条件

代入上式得到：中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念，，简支梁计算结果：

中南大学桥梁工程系第二章结构动力学的基本概念（5）求解振型与频率方程：通解：Q: