03两直线相对位置（二）平面投影、平面内点和直线

§２.2直线的投影（续）

§２.３平面的投影

两直线垂直（相交或交叉垂直）（重点、难点）；平面的表达法；各种位置平面的投影特性及作图方法（重点）。若两直线互相垂直（相交或交叉），且其中一条直线平行于某一投影面（条件），则两直线在该投影面上的投影仍垂直（投影特性）；反之，亦成立（判断方法）。

BACcb’a’c’ba4.两直线垂直（相交或交叉）—直角投影定理两直线的相对位置AB垂直于BC,且AB平行于H面,则有ab

bc(相交垂直)。ab’c’cba’OXAB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab

mn。

(交叉垂直)O2024/2/28f例1:过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f

e

e2024/2/28b

例2：作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。bca

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

aOBAC直角投影定理的应用——求距离

例3：求点到直线的距离k’k得到点到直线距离的投影后再求实长。距离实长a’b’bacc’h’h距离实长投影必须完整（1）（2）OX（f）ef’e’g’gOX同习题集2-212、直线和直线外一点（直线AB、点C）

；3、两条平行直线；4、两条相交直线（AB、BC）

；5、平面图形（ΔABC

）。一.用几何元素表示平面(五种)1、不在一直线上的三点决定一个平面（点A、B、C）；平面的表示法——Oa’b’aba”b”c’c”cXZYHYW§２.３平面的投影平面在三投影面体系中的投影特性

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面平行于某一投影面与三个投影面都倾斜

水平面

正平面

侧平面各种位置平面的投影投影面垂直面垂直于某一投影面，而且倾斜于另两个投影面

铅垂面

正垂面

侧垂面PpP”P’水平面的投影特性：1.水平投影反映空间平面的实形；2.正面和侧面投影都积聚为一条直线，且分别平行于OX轴和OY轴。投影面的平行面1.水平面——平行于H面的平面积聚性积聚性实形性投影面的平行面2.正平面——平行于V面的平面是什么位置的平面？qq’q”Qr’rr”投影面的平行面3.侧平面——平行于W面的平面1.在其所平行的投影面上的投影，反映空间平面的实形。2.在其它两个投影面上的投影，分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面平行面的投影特性：

1.铅垂面——垂直于H面，且倾斜于V面、W面的平面投影面的垂直面平面对投影面的倾角：对水平投影面的倾角——

对正立投影面的倾角——

对侧立投影面的倾角——

铅垂面的投影特性：1.水平投影积聚为一条倾斜线段,且该直线段与OX、OY轴的夹角反映空间平面对V面、W面的倾角；2.正面投影和侧面投影为空间平面的类似形。类似性类似性积聚性2024/2/28类似形：边数相同平行关系不变凹凸关系不变2024/2/28投影面的垂直面2.正垂面——垂直于V面，且倾斜于H面、W面的平面是什么位置的平面？正垂面2024/2/28投影面的垂直面3.侧垂面——垂直于W面，且倾斜于V面、H面的平面投影面垂直面的投影特性：

1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线，且该直线与投影轴的夹角反映空间平面对其它两投影面的倾角。2.其它两个投影面上的投影，为空间平面的类似形。

2024/2/28投影特性：三个投影都是空间平面图形的类似形。一般位置平面思考：从属于投影面的平面的投影特性是什么？其投影图如何？a

b

c

abcabca

c

b

例4:根据投影图，判断下列平面的空间位置.水平面铅垂面OXOX一、平面上的直线必须满足的几何条件：通过平面上两点，如BE。或

过平面内一点（C），且平行于平面内的一条直线（AB），如直线CD

。a’b’aba”b”c’c”cd’dd”e’ee”OZXYHYW平面上的点和直线二、平面内的点：必在平面内的一直线上，平面内定点须先定线。e’dd”e

例5：已知D点在ABC平面内，补全其投影。e”a’b’aba”b”c’c”cd’OZXYHYW作图思路和要点：1、先过点的已知投影作平面内直线的投影，并求出直线的其它投影；2、再在直线的其它投影上求点的相应投影。2024/2/28例6：已知点Ｋ属于

ABC平面，试求其水

平投影k。bacc

a

k

b

●k●OX2024/2/28例7：已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。d'dee'不属于OXbc解法一：例8：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。ada

d

b

c

OXbckada

d

b

c

k

解法二：OXP平面上的特殊位置直线一例9：过C点作平面内的水平线。dd’d’d”一、平面上的投影面平行线1.投影特点——同时满足投影面平行线和平面上的直线的投影特点。解题思路：1、明确水平线的投影特性；2、从平行于投影轴的投影入手，在给定平面内取线。a’b’aba”b”c’c”cOZXYHYW例10：已知点E在

ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e在平面上取点、取直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用它可以解决三类问题：判别已知点、直线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。OX2024/2/28PPHCD

aS

AE二、平面的最大斜度线（对某一投影面而言）平面内垂直于该平面的投影面平行线（或平面的迹线）的直线。

平面上的特殊位置直线二平面对某投影面的最大斜度线是平面上对该投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2024/2/28平面的最大坡度线平面对H面的最大斜度线——平面的最大坡度线。最大斜度线的几何意义——是用来测定平面对投影面的倾角。2024/2/28例11：求作

ABC平面对水平投影面的最大斜度线

BE及其倾角

。bd'de'eOX2024/2/28be

BEbOX2024/2/28aa

例12：已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。OX本讲小结:重点掌握以下内容

1、理解并熟练掌握直角投影定理；２．熟练掌握各种位置平面的投影特性和投影图的画法；。３．熟练掌握平面上取点、取线的作图方法；

4.熟练掌握平面上的投影面平行线和最大斜度线的投影特性、作图方法及最大斜度线的几何意义。

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