高考数学一轮复习 课时跟踪检测（三十八）直线、平面平行的判定及其性质 文（含解析）苏教版-苏教版高三数学试题

课时跟踪检测（三十八）直线、平面平行的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．答案：平行或直线b在平面α内2．(2018·南京模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．解析：如图，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.答案：AC∥平面DEF3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．①平面A1BC1和平面ACD1；②平面BDC1和平面B1D1A；③平面B1D1D和平面BDA1；④平面ADC1和平面A1D1C.解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1∥平面ACD1，平面BDC1∥平面B1D1A.答案：①②4．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.解析：因为α∥β，所以CD∥AB，则eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，所以AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是________．(填序号)解析：因为点M，N，Q分别为所在棱的中点，所以在①中AB与平面MNQ相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB与平面MNQ平行．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·滨海期末)已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m，n⊂γ，若增加一个条件就能得出m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．①m∥γ，n∥β；②α∥γ，n⊂β；③n∥β，m⊂γ.解析：对于①，若β∥γ，由m⊂β，满足m∥γ，由n⊂γ，满足n∥β，但m，n可为异面直线，则不成立；对于②，由α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得m∥n，则成立；对于③，n∥β，m⊂γ，则γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得n∥m，则成立．答案：②或③2．(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d＝2sin30°＝1.答案：13．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：如图，因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证AB1∥DC1，BD∥B1D1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的．答案：35．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．(2018·盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，E为棱AD的中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD­A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1EB的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD­A1B1C1D1上过B1作与平面A1EB平行的平面．取A1D1和BC的中点分别为F，G，连结B1F，FD，DG，GB1，则A1F綊ED，所以四边形A1FDE是平行四边形，所以A1E∥FD.因为FD⊄平面A1EB，A1E⊂平面A1EB，所以FD∥平面A1EB.同理：DG∥平面A1EB.又FD∩DG＝D，所以平面DFB1G∥平面A1EB，则四边形DFB1G所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB1G为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB1G的边长为eq\r(5)，cos∠A1EB＝eq\f(1,5)，∴sin∠A1EB＝eq\f(2\r(6),5)，∵∠A1EB＝∠FDG，∴S菱形DFB1G＝eq\r(5)×eq\r(5)×sin∠FDG＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)8．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________．解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，因为A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，取MN的中点O，连结A1O，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，此时A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以A1O≤A1P≤A1M，即eq\f(3\r(2),4)≤A1P≤eq\f(\r(5),2)，所以线段A1P长度的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))9．如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.证明：(1)连结EC，因为AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC綊AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连结FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.10.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1∥MC1.又因为MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连结EO，D1O，则OE綊eq\f(1,2)DC，又D1G綊eq\f(1,2)DC，所以OE綊D1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为：eq\r(52－32)＝4，eq\r(52－42)＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或72．如图所示，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a3．(2019·南通调研)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，E，F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝B1F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N.(1)若EC＝3BF，试确定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并说明理由；(2)若K，R分别为AA1，C1B1的中点，求证：KR∥平面AEF.解：(1)当eq\f(AM,AC)＝eq\f(EN,EC)＝eq\f(1,3)时，平面BMN∥平面AEF.理由如下：∵EN＝eq\f(1,3)EC，BF＝eq\f(1,3)EC，∴EN綊BF，∴四边形BFEN是平行四边形，∴BN∥EF.