2019-2021三年中考数学真题分类汇编 12 平行四边形与特殊的平行四边形（学生版+解析版）

专题12.平行四边形与特殊的平行四边形

一、单选题

1.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在矩形ABCC中，45=15,BC=20,把边AB沿对角线8。平

移，点A'，B'分别对应点A，民给出下列结论：①顺次连接点A'，B'，C,。的图形是平行四边形；②

点C到它关于直线A4,的对称点的距离为48；③A'C—B'C的最大值为15；④A'C+8'C的最小值为

9g.其中正确结论的个数是()

C.3个D.4个

2.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，菱形ABC。中，N8=60。，点尸从点8出发，沿折线BC—C。方

向移动，移动到点。停止.在A48P形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等边三角形一等腰三角形一直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形等边三角形

C.直角三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形t直角三角形T等腰三角形

3.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，在平行四边形A8QD中，E是的中点，则下列四个结论：①

AM=CN；②若ZA=90°,则8M=CM；③若MD=2AM，则S/=S.E；④若

AB=MN,则△MRV与全等.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在菱形4BC。中，ZA=60°,点E,尸分别在边A8,8c上,

AE=BF=2,△。所的周长为3指，则A£>的长为（）

A.V6B.26C.百+1D.273-1

5.（2021•江苏宿迁市•中考真题）折叠矩形纸片ABCD,使点B落在点D处，折痕为MN,已知A8=8,AD=4,

则MN的长是（）

A.-A/5B.2J5C.-y/5D.4J5

33

6.（2021•河北中考真题）如图1,oABCO中，AD>AB，NA8C为锐角.要在对角线BO上找点N,

M.使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

图2

取8。中点O,作作力NLBD于N,作AN,CM分别平

BN=NO,OM=MDCMLBD于M分2BAD,NBCD

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

7.（2021•四川眉山市•中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）

A.1：3B.1：2C.2：1D.3：1

8.（2021•天津中考真题）如图，的顶点A,B,C的坐标分别是（0,1）,（—2,—2）,（2,—2）,则顶点

。的坐标是（)

A.（-4,1）B.（4,-2）C.（4,1）D.（2,1）

9.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）如图，在AABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC=5,点。在AC上，且AT>=2,

点E是AB上的动点，连结£）石，点尸，G分别是BC,DE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段

DE长为（）

10.（2021•安徽中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，ZA=120°,过菱形ABC。的对称中心。分

别作边AB,8C的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFG”的周长为（）

A.3+6B.2+2&C.2+6D.1+273

11.（2021•重庆中考真题）如图，把含30。的直角三角板尸MN放置在正方形A8CD中，/PMN=30。,直

角顶点尸在正方形A8CD的对角线8。上，点M,N分别在AB和C£>边上，MN与BD交于点、O,且点。

为MN的中点，则的度数为（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

12.（2021•四川乐山市•中考真题）如图，已知点P是菱形A8C。的对角线AC延长线上一点，过点P分别

作4。、。。延长线的垂线，垂足分别为点E、/.若NA8C=120。，AB=2，则尸石―尸”的值为（）

35

A.-B.J3rC.2D.一

22

13.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，在正方形A8CZ）中，AB=6,M是AO边上的一点,

AM:MD=\：2.将ABA以沿BM对折至ABM/V,连接£W,则。N的长是（)

14.（2021•浙江宁波市•中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的CJABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝

隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为M,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张矩形纸

片EFG”的面积为S3,FH与GE相交于点。.当的面积相等时，下列结

论一定成立的是（）

A.S1=S2B.S1=S3C.AB^ADD.EH=GH

15.（2021•江苏扬州市•中考真题）如图，点A、B、C、D、£在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、

EA，若ZBGD=100°,则ZA+N3+ZD+NE=()

A.220°B.240°C.260°D.280°

16.（2021•重庆中考真题）如图，正方形ABC。的对角线AC,BD交于点、O,M是边AO上一点，连接。M,

过点。做ONLOM,交CD于点、N.若四边形MONO的面积是1,则AB的长为（）

A.1B.0C.2D.272

17.（2021•四川遂宁市•中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=5,AO=3,点E为8c上一点，把△C0E

沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的尸处，则CE的长是（)

435

A.1B.-C.D.

323

18.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，将矩形纸片ABC。沿EF折叠后，点。、C分别落在点“、C,

的位置，区〃的延长线交于点G,若N£EG=64。，则NEGB等于（）

A.128°B.130°C.132°D.136°

19.（2021•浙江温州市•中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形AB8如图所

示.过点。作。尸的垂线交小正方形对角线£尸的延长线于点G,连结CG,延长BE交CG于点、H.若

AE=2BE，则焉的值为（）

A.3B.④C.迹D.还

275

20.（2021•四川南充市•中考真题）如图，点。是QABC。对角线的交点，E尸过点O分别交4。，BC于点

E,F.下列结论成立的是（）

A.OE=OFB.AE=BFC.ZDOC=ZOCDD.NCFE=NDEF

21.（2021•四川资阳市•中考真题）下列命题正确的是（）

A.每个内角都相等的多边形是正多边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线D.三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

22.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中

的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）

23.（2021•四川泸州市•中考真题）下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

24.（2020•广西贵港市•中考真题）如图，点E，尸在菱形的对角线AC上，ZADC=120°,

NBEC=NCBF=50。,ED与8尸的延长线交于点M.则对于以下结论：①N3ME=30°；②

△ADE丝AABE;③EM=BC；④AE+8W.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

25.（2020•广西贵港市•中考真题）如图，动点M在边长为2的正方形A8CD内，且P是CD

边上的一个动点，E是4。边的中点，则线段尸石+?M的最小值为（）

A.710-1B.V2+1C.V10D.V5+1

26.（2020•辽宁朝阳市•中考真题）如图，在正方形A8Q9中，对角线AC,8。相交于点O,点E在BC边

上，且CE=2BE,连接4E交8。于点G,过点8作BE,AE于点F,连接OF并延长，交BC于点M,

过点。作QP_L。尸交。C于占N,S四边形“ON。=7，现给出下列结论:①空=：;②sinZBOF=之叵；

~4AG310

③OF二巫;④OG=3G；其中正确的结论有（）

5

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

27.（2020•辽宁锦州市•中考真题）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PELBC

于点E.于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+尸尸的值为（）

BEC

2448

A.4B.—C.6D.——

55

28.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，正方形A3CO中，点尸是3c边上一点，连接Ab，以Ab为对

角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点〃，连接OG.以下四个结论：①

NE4B=NG4D：②△AFCS^G。；③246=AH-AC；④OG，AC.其中正确的个数为（）

C.3个D.4个

29.（2020•山东威海市•中考真题）如图，在平行四边形48C。中，对角线8DJ_A0,AB=10,AD=6,

。为BD的中点，E为边上一点，直线E。交CO于点F,连结。七，8厂.下列结论不成立的是（）

A.四边形QEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形。石3尸为矩形

C.若AE=5,则四边形。“尸为菱形D.若AE=4.8,则四边形。即尸为正方形

30.（2020•山东东营市•中考真题）如图，在正方形中，点P是A8匕一动点（不与48重合），对角

线AC、比＞相交于点O,过点P分别作AC、3。的垂线，分别交AC、BD于点E、尸，交A。、BC于点

M.N.下列结论：©NAPE^IAME；②PM+PN=AC；③PE?+PF?=PO?；④APOF~ABNF；

⑤点。在M、N两点的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

31.（2019•广东中考真题）已知菱形ABC。，E,F是动点,边长为4,BE=AF,NBAD=120。,则下

列结论正确的有几个（）

GF1

①ABEC会AAFC；②AECF为等边三角形③NAGE=NAFC；④若A/=l，则——=-

GE3

A.1B.2C.3D.4

32.（2019•四川绵阳市•中考真题）如图，在四边形A8C。中，AB//DC,NAZ）C=90。，AB=5,

CD=AD=3,点E是线段CD的三等分点，且靠近点C,NFEG的两边与线段AB分别交于点尸、G,

3

连接AC分别交跖、EG于点H、K.若BG=—,NEEG=45°，则〃K=（）

2

33.（2019•四川眉山市•中考真题）如图，在菱形ABC。中,已知AB=4，ZABC=60)ZEAF=60°，

点E在CB的延长线上，点尸在。C的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②NEAB=/CEF；③

MBE-AEFC；④若NBAE=15"，则点尸到的距离为26-2.则其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

34.（2019•山东济南市•中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/EAF=45。,

BE

AE、AF分别交BD于M、N,连按EN、EF、有以下结论：®AN=EN,②当AE=AF时，一=2-正，

EC

③BE+DF=EF,④存在点E、F,使得NF>DF,其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

35.（2021•江西中考真题）如图，将口A8C。沿对角线AC翻折，点8落在点E处，CE交于点尸，

若28=80°,NACE=2NECD,FC=a,FD=h,则oABCD的周长为.

36.（2021•青海中考真题）如图，在“IBC中，D，E，尸分别是边AB，BC,C4的中点，若GEF

的周长为10,则AA6c的周长为.

37.（2021•北京中考真题）如图，在矩形A8CD中，点瓦尸分别在3cA。上，AF=EC.只需添加一

个条件即可证明四边形AEC户是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

38.（2021•四川广元市•中考真题）如图，在正方形ABCO中，点。是对角线8D的中点，点P在线段

上，连接AP并延长交C。于点E,过点P作PFLAP交BC于点F,连接AE、EF，Af交80于G,

现有以下结论：①AP=P尸；②DE+BF=EF；③PB—PD=叵BF；④S.AEF为定值；⑤

S四边形PEFG=之四。.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.

39.（2021•浙江金华市•中考真题）如图，菱形ABC。的边长为6cm,ABAD=60°,将该菱形沿AC方向

平移2百cm得到四边形A!B'CD,ND交CD于点E,则点E到AC的距离为cm.

40.（2021•江苏南京市•中考真题）如图，将°ABC。绕点A逆时针旋转到oAB'C'。'的位置，使点"落在

BCk,BC'与CD交于氤E,若AB=3,BC=4,66'=1,则CE的长为.

41.（2021•湖北黄冈市•中考真题）如图，正方形ABCD中，A3=l，连接AC,NAC。的平分线交AD

于点E,在AB上截取Ab=DE，连接。/，分别交CE,AC于点G,，，点P是线段GC上的动点，

PQJ_AC于点Q,连接尸”.下列结论：①CE，OP；②。E+ZX?=AC；③E4=GA〃；④尸〃+尸。

的最小值是YZ.其中所有正确结论的序号是.

2

42.（2021•湖南株洲市•中考真题）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蠕，同"蝶”），它

的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共

十三只（图①中的懒”和“身为“样”和“只”）.图②为某蝶几设计图，其中和ACBO为“大三斜”组件

（“一梯二集”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点p处，点P与点A关于直线

OQ对称，连接CP、DP.若NADQ=24。，则/比P=度.

5缝

Mfb

t阈

图1图2

43.（2021•江苏苏州市•中考真题）如图，四边形A8CD为菱形，ZABC=70°,延长到£,在NDCE

内作射线CM,使得NECM=15。，过点。作。尸，。0,垂足为尸,若DF＜，则对角线80的长

为,（结果保留根号）

44.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）如图，在QABCO中，对角线AC,80交于点0,AB，AC,AH1BD

于点H,若AB=2,5C=2x/3（则A"的长为.

45.（2021•江苏扬州市•中考真题）如图,在DABCD中，点E在/W上，且EC平分/BED，若ZEBC=30°,

BE=1（）,则aABCD的面积为.

D

B

46.（2021•四川成都市•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E,F分别在边A。,5c上，

且AE=3,按以下步骤操作：第一步，沿直线所翻折，点A的对应点4恰好落在对角线AC上，点B

的对应点为8'，则线段B/的长为；第二步，分别在EEA⑦'上取点“，N,沿直线继续翻

折，使点F与点E重合，则线段的长为.

47.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，将矩形纸片ABC。折叠（AD>AB）,使AB落在AD上，AE

为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将跳边折起，使点8落在AE上的点G处，连

接DE，若DE=EF，CE=2,则的长为.

48.（2021•江苏连云港市•中考真题）如图，菱形ABC。的对角线AC、6。相交于点O,OE1AD,垂足

为IE,AC=8,BD=6,则OE的长为.

D

B

49.（2021•四川南充市•中考真题）如图，点E是矩形A8C。边AO上一点，点凡G,H分别是BE,BC,

CE的中点，AF=3,则G”的长为.

50.（2021•四川遂宁市♦中考真题）如图，正方形ABC。中，点E是C£>边上一点，连结BE,以BE为对角

线作正方形BGEF,边EF与正方形ABCQ的对角线BQ相交于点“，连结AF,有以下五个结论：①

ZABF=ZDBE；②AABFSADBE；③ARLBO；④2BG2=BH.BD；⑤若CE:OE=1:3,则

BH:DH=17:16,你认为其中正确是（填写序号）

51.（2021•青海中考真题）如图，正方形A8CO的边长为8,M是。。边上一点，且£>M=2，N是对

角线AC上一动点，则QN+MN的最小值为.

52.（2020•柳州市柳林中学中考真题）如图，在矩形纸片48C。中，AB=6,8c=10,点E在CO上，将ABCE

沿5E折叠，点C恰好落在边A。上的点F处，点G在AF上，将AABG沿8G折叠，点A恰好落在线段

BF上的，处，有下列结论：①NE8G=45。；@25ABFG=55AFGW;③△£）EFSA4BG；®4CE=5ED.其中

正确的是.（填写所有正确结论的序号）

53.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在矩形纸片A5C。中，A£>=10,AB=8,将AB沿AE翻折，使点

B落在B'处,AE为折痕;再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB上的点C'处,EF为折痕，连接AC'.若

CF—3,则tanZB'AC'—.

54.（2020•西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把

沿PE折叠，得到连接CF.若AB=10,BC=12,则CF的最小值为.

55.（2020•辽宁大连市•中考真题）如图，矩形ABCD中，A8=6,AD=8,点E在边A。上，CE与BD

相交于点£设OE=x,BF=y,当0勃Jv8时，y关于x的函数解析式为.

56.（2020•辽宁鞍山市♦中考真题）如图，在菱形ABCD中，NAOC=60°,点E,尸分别在AD，CO上，

且尸，与CE相交于点G,BG与AC相交于点儿下列结论：①AACF/ACDE；②

CG2=GHBG-，③若Ob=2C/，则CE=7GE；@S.=—BG2.其中正确的结论有

m四3形Rrr4

.（只填序号即可）

DEA

57.（2020•内蒙古鄂尔多斯市•中考真题）如图，己知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点（不与

点A重合），且AM<AB,4CBE由△ZWW平移得到，若过点E作EHLAC,H为垂足，则有以下结论：

①点M位置变化，使得NDHC=60。时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=®HM；

③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形:④无论点M运动到何处，ZCHM一定大于135。.

以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）.

58.（2020•四川雅安市•中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边

形ABCD,对角线AC、3。交于点。.若AD=2,BC=4,则AB?+8?=.

三、解答题

59.（2021•浙江绍兴市♦中考真题）如图，矩形ABCC中，A8=4，点E是边AO的中点，点尸是对角线

8。上一动点，ZADS=30°,连结EF,作点。关于直线E尸的对称点P.

（1）若EF上BD，求。尸的长.（2）若PELBD，求。尸的长.

（3）直线PE交8。于点Q,若A0EQ是锐角三角形，求。尸长的取值范围.

60.（2021•浙江温州市•中考真题）如图，在中，E，/是对角线BD上的两点（点E在点尸左

3

侧），且NA£8=NCF£>=90°.（1）求证：四边形AECR是平行四边形.（2）当AB=5,tan/A8E=3

4

NCBE=NE4R时，求的长.

61.（2021•北京中考真题）如图，在四边形ABC。中，NACB=NC4£>=90。，点E在8C上,

AE//DC,EFLAB,垂足为尸.（1）求证：四边形AEC。是平行四边形；（2）若AE平分

4

NBAC,BE=5,cosB=g,求B尸和AO的长.

62.（2021•四川南充市•中考真题）如图，点E在正方形ABCD边AO上，点尸是线段AB上的动点（不与点

A重合）.DF交AC于点G,GHLAD于点、H,AB=1，DE=-.

3

（1）求tanNACE.（2）设Ab=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.

（3）当NA£>E=NACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

63.(2021•山东聊城市•中考真题)如图，在四边形ABC。中，AC与8。相交于点。，且AO=C。，点E在

BD上,满足NEAO=/DCO.(1)求证：四边形AEC。是平行四边形；

(2)若AB=BC,C£>=5,AC=8,求四边形AEC。的面积.

64.(2021•山东泰安市•中考真题)四边形ABCD为矩形，E是延长线上的一点.

图1图2

(1)若AC=£C,如图1,求证：四边形8ECQ为平行四边形；(2)若AB=AD，点尸是A3上的点,

AF=BE，田7_14。于点6,如图2,求证：△OGF'是等腰直角三角形.

65.（2021•四川广元市•中考真题）如图1,在AANC中，NACB=90°,AC=BC,点。是A8边上一

点（含端点A、B）,过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点尸在射线CD上，且EF=BE,连接AF、

BF.（1）求证：AABFSKBE：（2）如图2,连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE、砂的

的»的值；（3）在（2）的条件下，若BC=&直

中点，连接PA/、MN、PN.求NPMN的度数及

PM

接写出APMN面积的最大值.

图1图2

66.（2021•四川广元市•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，E为。C边的中点，连接AE，若AE的

延长线和的延长线相交于点F.（1）求证：BC=CF；（2）连接AC和3E相交于点为G,若AGEC的

面积为2,求平行四边形ABCO的面积.

DE

67.（2021•江苏宿迁市•中考真题）在①4E=CF；②OE=OF；③BE〃。厂这三个条件中任选一个补充在下面

横线上，并完成证明过程.已知，如图，四边形ABC。是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E、

F在AC上，（填写序号）.求证：BE=DF.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

68.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在DABCZ）

中，BELAD，垂足为E，尸为。。的中点，连接EF，BF，试猜想与8尸的数量关系，并加以证

明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABC。沿着8尸（尸为8的中点）所在直线折叠，如图

②，点C的对应点为C',连接。C并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将oABCO沿过点3的直线折叠，如图③，点4的对应点为A'，使

4'3d.CD于点H,折痕交AO于点M，连接A'M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此口ABCD

的面积为20,边长AB=5，BC=26，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题,

直接写出结果.

69.（2021•浙江绍兴市♦中考真题）问题：如图，在口ABCD中，AB=8，A£>=5,/DAB，NABC的平

分线AE,8尸分别与直线C£）交于点E,F,求EF的长.

答案：EF=2.

探究：（1）把“问题”中的条件"AB=8”去掉，其余条件不变.①当点E与点尸重合时，求A8的长；②当

点E与点C重合时,求EF的长.（2）把“问题”中的条件“A8=8,AO=5"去掉，其余条件不变，当点C,

An

D,E,尸相邻两点间的距离相等时，求——的值.

AB

70.（2021•浙江嘉兴市•中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一

个矩形ABC0绕点A顺时针旋转矶0°<&W90°）,得到矩形43'C'。'

［探究1］如图1,当a=90°时，点C'恰好在延长线上.若A3=l，求8c的长.

［探究2］如图2,连结AC',过点。'作。'M//A。交8。于点M.线段D'M与DM相等吗？请说明理

由.［探究3］在探究2的条件下，射线。8分别交A。'，4。于点P,N（如图3）,MN,PN存在一定

的数量关系，并加以证明.

专题12.平行四边形与特殊的平行四边形

一、单选题

1.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=\5,BC=20,把边48沿对角线8。平

移，点A'，8'分别对应点4,B.给出下列结论：①顺次连接点41B'，C,。的图形是平行四边形；②

点C到它关于直线44的对称点的距离为48；③4。一3'。的最大值为15；④A'C+8'C的最小值为

9历.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到8D的距离，从而对

②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作。关于A4'的对称点。。。交A4'于连

接BD，过W作mv_L5c于N,分别交AA4,BD于K,H,注明DC是最小值时的位置，再利用勾股

定理求解D'C,对④做出判断.

【详解】解：由平移的性质可得48〃4"且A8=A3'

,/四边形ABCD为矩形.•.A8//CO,48=CO=15；.A'B'//CD且A'B'=CD

二四边形AB'C。为平行四边形，故①正确

在矩形A8CQ中，BD7AB2+AD?=J152+2（>=25,过A作AWBD,CNLBD,则AM=CN

：.S^BD=—ABCD=—叵变=12,点C到A4'的距离为24

2225

点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；.故②正确

VA'C-B'C<AB'：.当A',B',C在一条直线时A'C-B'C最大，此时8'与。重合

...A'C-B'C的最大值=AB'=15故③正确，

如图，作。关于A4'的对称点。C,DD交AA'于M,连接B。'，过。0作D'N，5C丁-N,分别交

AM,BDJK,H,则A8〃A3'〃K”,A3=K"=15,KM为△DHD的中位线，BDLDU.

：.D'K=HK=15,由aA'B'CD可得B'C=4。，二B'C=A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+A'D'=D'C,此时最小，由②同理可得：DM=D'M=12,

vtanZDBC=^=-=-=^-,设HN=3x,则BN=4x,

BC204BN

由勾股定理可得：DD'2+BD2=BD'2=BN2+D'N2,252+242=（30+3x）2+（4%）2,

743

整理得：25¥+180%—301=0,/.（5x-7）（5x+43）=0,解得：x,（负根舍去）,

.•.NC=20-4x=F，O'N=p,.•.℃=/（子］+［号［=9如，；•故④正确故选n

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质，锐角三角函数的应用等知识点，

熟练掌握相关的知识是解题的关键.

2.（2021•浙江绍兴市•中考真题）如图，菱形ABC。中，NB=60°,点P从点8出发，沿折线8C-C。方

向移动，移动到点。停止.在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）

A.直角三角形T等边三角形T等腰三角形T直角三角形

B.直角三角形T等腰三角形一直角三角形一等边三角形

C.直角三角形-等边三角形一直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形一等边三角形一直角三角形一等腰三角形

【答案】C

【分析】-ABP是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可.

【详解】解：连接AC,BD,如图所示.：四边形A8CD是菱形，.•.A8=8C=CD=D4,ZD=ZB.

ZB=60°,AZD=ZB=60°./.△ABC和❖ADC都是等边三角形.

点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：

。（尸4）尸3。（尸2）

（1）当点户移动到8c边的中点时，记作耳.

：AABC是等边三角形，6是BC的中点，A[_LBC.乙4《5=90。.-AB耳是直角三角形.

（2）当点P与点C重合时，记作鸟.此时，❷A3Q是等边三角形；

（3）当点P移动到CO边的中点时、记为•••△ABC和都是等边三角形，

二Z^AB=30°+60o=90°.是直角三角形.

（4）当点尸与点。重合时，记作《.=.•.❷AB舄是等腰三角形.

综上，-ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：

直角三角形一等边三角形T直角三角形一等腰三角形.故选：C

【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知

识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键.

3.（2021•山东泰安市•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，E是BO的中点，则下列四个结论：①

AM=CN；②若=ZA=90°,则=③若=则=S^BNE；④若

AB=MN,则△MFN与ADFC全等.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明ADME也△及但(445),进一步转换后

可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到垂直平分BC,即可完成求证，

③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明

△MN£^A£>CM(S4S)后可进一步证明/A£>CF(A4S),即可完成求证.

【详解】解：•.•平行四边形ABCD中，E是6。的中点，.二8£=D£，ADUBC,AO=BC，

/.ZMDE=ZNBE,NDME=ZBNE.：.ADME当ABNE(AAS),

:.DM=BN,：.AM=CN，故①正确；若NA=90°,则平行四边形ABC。是矩形，

由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，E点到8、C两点的距离相等，

.♦.E点在BC的垂直平分线上，由MD=A/W，可得BN=CN,所以N点是8c的中点，

...加%垂直平分8。，，3"=。〃，故②正确；若MD=2AM，则8N=2CM

如图1,分别过。、E两点向BC作垂线，垂足分别为。点和P点，

景点是血中点，，吟EP,•"曲c=*N.D*CN.2EP=CN.EP,

S.BNE=LBN-EP=；X2CN.EP=CN-EP：.S^MNC=S^BNE.故③正确；

若AB=MN,因为A3=DC,所以。C=MN,分别过N、C两点向AO作垂线，垂足分别为，、K,

由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK,：.Rt^NHM^RuCKD(HL),

：./NMD=/MDC，:.AMND'DCM(SAS)、：,ZMND=ZDCM,

又•.•NA™=NCFD,△MNrgAOb(/L4S),故④正确；故选：D.

MMHK

AD

BPN

图1

【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等

三角形的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性

质进行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综

合分析能力有一定的要求.

4.（2021•四川南充市•中考真题）如图，在菱形ABCC中，ZA=60°,点E,P分别在边A2,8C上，

AE=BF=2,