2020-2021年北师大版数学九年级中考模拟题及答案解析

北师大版数学九年级中考模拟题及答案解析

一.选择题(共12小题)

1.抛物线y=-1(x+1)2+3的顶点坐标()

2

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,-3)D.(-1,3)

2.二次函数丫=2*2+6*+(:与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大

3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为

()

A.k>-工B.k>-工且kWOC.k»-工D.k»-工且kWO

4444

4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有

()

①a+b+c>0②a-b+c>0③abc<0④b+2a=0⑤△>().

A.5个B.4个C.3个D.2个

5.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线

(抛物线所在平面与墙面垂直)，(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米，离

地面也米，则水流下落点B离墙距离OB是()

3

y

A.2米B.3米C.4米D.5米

6.如图，点A为Na边上任意一点，作AC1.BC于点C,CDLAB于点D,下列

用线段比表示sina的值，错误的是()

BCABACAC_

7.在aABC中，若tanA=l,sinB=返，你认为最确切的判断是()

2

A.aABC是等腰三角形B.AABC是等腰直角三角形

C.^ABC是直角三角形D.ZSABC是一般锐角三角形

8.如图，过点C(-2,5)的直线AB分别交坐标轴于A(0,2),B两点，则

9.如图，为了测量河岸A,B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C,测得

AC=a,NABC=a,那么AB等于()

tanCL

10.下列函数中，是二次函数的有()

①y=l-②y=^"©y=x(1-x)(4)y=(1-2x)(l+2x)

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.抛物线y=2(x-3)2+4顶点坐标是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)

12.已知二次函数y=x2-2mx(m为常数)，当-1WXW2时，函数值y的最小

值为-2,则m的值是()

A.AB.V2c.初/D_

222

二、填空题

13.若JMtan(a+10°),则锐角a=.

14.如图，在。0中，弦AB=3cm,圆周角NACB=30。，则。0的直径等于

cm.

15.如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则

这条管道中此时水深为米.

16.如图，AB与。0相切于点B,线段0A与弦BC垂直，垂足为D,

AB=BC=2,则NA0B=

三、解答题

17.计算

(l)2sin30°-3cos60°

(2)V3cos30°-V2sin45o+tan45°«cos60°.

18.小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了50m后，到达山顶的点B.已知山

顶B到山脚下的垂直距离约是30m,求山坡的坡度.

B

C

19.小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往塔的

方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那么该塔有多高？(小明的身高忽略

不计，结果保留根号)

D

20.如图，^ABC内接于。0,BC是。。的直径，弦AF交BC于点E,延长BC

到点D,连接OA,AD,使得NFAC=NAOD,ZD=ZBAF.

(1)求证：AD是。。的切线；

⑵若。。的半径为5,CE=2,求EF的长.

21.如图，在。。中，弦人8=弦CD,ABJ_CD于点E,且AEVEB,CEVED,连

结AO,DO,BD.

⑴求证：EB=ED.

⑵若AO=6,求命的长.

22.如图，已知等腰直角三角形ABC,ZACB=90°,D是斜边AB的中点，且

AC=BC=16分米，以点B为圆心，BD为半径画弧，交BC于点F,以点C为圆

心，CD为半径画弧，分别交AB、BC于点E、G.求阴影部分的面积.

G

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.抛物线y=-1(x+1)2+3的顶点坐标()

2

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,-3)D.(-1,3)

【考点】H3：二次函数的性质.

【专题】选择题

【分析】可直接根据顶点式的特殊形式得顶点坐标.

【解答】解：因为y=-L(x+1)2+3是抛物线的顶点式，

2

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(-1,3).

故选D.

【点评】主要考查了求抛物线顶点坐标的方法.

2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大

【考点】H2：二次函数的图象；F4：正比例函数的图象.

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与

y轴的交点可得相关图象.

【解答】解：•.•一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c),

两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；

当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；

当aVO时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；

故选A.

【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数

和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于

0,图象经过一、三象限；小于0,经过二、四象限；二次函数的二次项系数大

于0,图象开口向上；二次项系数小于0,图象开口向下.

3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与X轴有两个交点，则k的取值范围为

()

A.k>--B.k>-工且kWOC.k2-—D.k2-2且kWO

4444

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的定义得到kWO,根据.442-4ac决定抛物线与x轴

的交点个数得到(-7)2-4k・(-7)>0,然后求出两个不等式的公共部分即

可.

【解答】解：根据题意得0，

△=(-7)2-4k'(-7)>0

解得k>-工且kWO.

4

故选B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是

常数，aWO)与x轴的交点坐标，令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次

方程即可求得交点横坐标.442-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：442-

4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个

交点；△=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有

()

①a+b+c>0②a-b+c>0③abc<0④b+2a=0⑤△>().

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】利用x=l时，y>0,x=-l时，yVO可对①②进行判断；根据抛物线

开口方向得到a<0,再利用对称轴为直线x=--1得到b>0,由抛物线与y

2a

轴的交点在x轴上方得到c>0,则可对③进行判断；根据x=--l可对④进

2a

行判断；根据抛物线与x轴有2个交点可对⑤进行判断.

【解答】解：Vx=l时，y>0,

.*.a+b+c>0,所以①正确;

Vx=-1时，y<0,

...a-b+cVO,所以②错误；

•••抛物线开口向下，

•\a<0,

•••抛物线的对称轴为直线x=-且=1,

2a

b=-2a>0,

•.•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.*.c>0,

.,.abc<0,所以③正确；

x=--^-=1,

2a

b+2a=0,所以④正确;

•••抛物线与x轴有2个交点，

...△>0,所以⑤正确.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（aW

0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开

口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称

轴的位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时

（即abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y

轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac>0时，抛物线

与x轴有2个交点；442-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；44?-4ac

V0时，抛物线与x轴没有交点.

5.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线

（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】选择题

【分析】以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已

知点代入，求出解析式后，令y=0,即可解答.

【解答】解：设抛物线解析式：y=a（x-1）2+殁，

3

把点A（0,10）代入抛物线解析式得：

a=-AP-,

3

・•・抛物线解析式：

y=--1^（x-1）

33

当y=O时,xi=-1（舍去），X2=3.

，0B=3米.

故选B.

【点评】本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实

际问题.

6.如图，点A为Na边上任意一点，作AC1.BC于点C,CDLAB于点D,下列

用线段比表示sina的值，错误的是（）

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】选择题

【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【解答】解：A、在^BCD中，sina=—,故A正确；

BC

B、在Rt/XABC中sina=地，故B正确；

AB

C、在RtZXACD中,sina=坦，故C正确；

AC

D、在RtAACD中，cosa=型，故D错误；

AC

故选：D.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦

为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

7.在△ABC中，若tanA=l,sinB=返，你认为最确切的判断是（）

2

A.AABC是等腰三角形B.^ABC是等腰直角三角形

C.^ABC是直角三角形D.aABC是一般锐角三角形

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】选择题

【分析】先根据特殊角的三角函数值求出/A,ZB的值，再根据三角形内角和

定理求出NC即可判断.

【解答】解：•.,tanA=l,sinB=』l_,

2

/.ZA=45",ZB=45".

又•.•三角形内角和为180。，

/.ZC=90o.

/.△ABC是等腰直角三角形.

故选B.

【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等

腰三角形的判定.

8.如图，过点C(-2,5)的直线AB分别交坐标轴于A(0,2),B两点，则

【考点】T7：解直角三角形；D5：坐标与图形性质.

【专题】选择题

【分析】利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利

用正切函数定义求解.

【解答】解：设直线AB的解析式是y=kx+b,

根据题意得：「2k+b=5,

lb=2

解得1一不

,b=2

则直线AB的解析式是y=-当+2.

2

在y=-AX+2中令y=0,解得x=A.

23

则B的坐标是(A,0),即OB=1.

33

4_

贝ljtan/0AB@=12.

0A23

故选B.

【点评】本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得

B的坐标是关键.

9.如图，为了测量河岸A,B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C,测得

AC=a,NABC=a,那么AB等于()

A.a*sinaB.a*cosaC.a*tanaD.——^-―

tana

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】选择题

【分析】根据已知角的正切值表示即可.

【解答】解：,.,AC=a,ZABC=a,在直角^ABC中tana=£,

AB

Z.AB=—.

tanCL

故选：D.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解

决本题的关键.

10.下列函数中，是二次函数的有()

①y=l-②y=^jg)y=x(1-x)(4)y=(1-2x)(l+2x)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】Hl：二次函数的定义.

【专题】选择题

【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答.

【解答】解：①y=l-扬2=-扬2+1,是二次函数；

②y=3,分母中含有自变量，不是二次函数；

③y=x(1-x)=-x2+x,是二次函数；

@y=(1-2x)(l+2x)=-4x2+1,是二次函数.

二次函数共三个，故选C.

【点评】本题考查二次函数的定义.

11.抛物线y=2(x-3)2+4顶点坐标是()

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)

【考点】H3：二次函数的性质.

【专题】选择题

【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标.

【解答】解：y=2(x-3)2+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,4).

故选A.

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x-h)

2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.

12.已知二次函数y=x2-2mx(m为常数)，当-14W2时，函数值y的最小

值为-2,则m的值是()

A.B.V2C.■或6D.亚

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<-l、m>2和-lWmW2三种情

况，根据y的最小值为-2,结合二次函数的性质求解可得.

【解答】解：y=x2-2mx=(x-m)2-m2,

①若mVT,当x=-l时，y=l+2m=-2,

解得：m=--；

2

②若m>2,当x=2时，y=4-4m=-2,

解得：m=W<2（舍）；

2

③若-lWm<2,当x=m时，y=-m2=-2,

解得：或m=--1（舍），

Am的值为-或6，

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解

题的关键.

13.若«=1211（a+10°）,则锐角a=50°.

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】填空题

【分析】根据后tan（a+10。），求出a+l（T=60。，继而可求得a的度数.

【解答】解：•••后tan（a+10°）,

，a+10°=60°,

，a=50°.

故答案为：50°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角

的三角函数值.

14.如图，在。0中，弦AB=3cm,圆周角NACB=30。，则。0的直径等于6

cm.

【考点】M5：圆周角定理；KO：含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】连接A0,并延长交圆于点D,再连接BD,根据直角三角形的性质可

得出AD的长.

【解答】解：连接A0,并延长交圆于点D,再连接BD,

，ZABD=90°,

VZACB=30",

；.ND=30。，

VAB=3cm,

AD=6cm.

故答案为：6.

【点评】本题考查了圆周角定理以及含30度角的直角三角形，是基础知识要熟

练掌握.

15.如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则

这条管道中此时水深为0.4米.

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理.

【专题】填空题

【分析】利用垂径定理，以及勾股定理即可求解.

【解答】解：作出弧AB的中点D,连接OD,交AB于点C.

则OD±AB.AC=lAB=0.8m.

在直角△OAC"i,OC=y0A2-AC12-0~

则水深CD=OD-OC=1-0,6=0.4m.

【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的

计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，

然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线.

16.如图，AB与。0相切于点B,线段0A与弦BC垂直，垂足为D,

AB=BC=2,则NAOB=60

C

【考点】MC：切线的性质.

【专题】填空题

【分析】由垂径定理易得BD=1,通过解直角三角形ABD得到NA=30。，然后由

切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得NAOB的度数.

【解答】解：•.•OA_LBC,BC=2,

,根据垂径定理得：BD=1BC=I.

2

在RtaABD中，sinNA=至匹L.

AB2

,ZA=30°.

VAB与。0相切于点B,

.•.ZABO=90°.

，ZAOB=60°.

故答案是：60.

【点评】本题主要考查的圆的切线性质，垂径定理和一些特殊三角函数值，有

一定的综合性.

17.计算

(l)2sin30°-3cos60°

(2)后os30。-V2sin45°+tan45°*cos60°.

【考点】T5：特殊角的三角函数值.

【专题】解答题

【分析】(1)将特殊角的三角函数值代入求解即可；

(2)将特殊角的三角函数值代入求解即可.

【解答】解：⑴原式=2XL-3X工-工

222

(2)原式=«X1-&X返+1X1=1.

222

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角

的三角函数值.

18.小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了50m后，到达山顶的点B.已知山

顶B到山脚下的垂直距离约是30m,求山坡的坡度.

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解答题

【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用正切函数的定义求解即

可.

【解答】解:由题意得：AB=50m,BC=30m,

根据勾股定理得：

AC=^AB2_BC2=^Q2_302=40(m),

所以tan/A=K=l^=W.

AC404

故山坡的坡度为w.

4

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是

从实际问题中整理出直角三角形.注意，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度I

的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度.

19.小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往塔

的方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那么该塔有多高？(小明的身高忽

略不计，结果保留根号)

D

BC

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】从题意可知AB=BD=50m,至B处，测得仰角为60。，sin60°=Dk.可求

BD

出塔高.

【解答】解：VZDAB=30°,ZDBC=60°,

，BD=AB=50m.

.*.DC=BD»sin60°=50X运25日(m),

2

答：该塔高为25^m.

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间

的联系，从而求解.

20.如图，4ABC内接于。0,BC是。0的直径，弦AF交BC于点E,延长

BC至I」点D,连接OA,AD,使得NFAC=NAOD,ZD=ZBAF.

(1)求证：AD是。。的切线；

⑵若。。的半径为5,CE=2,求EF的长.

B

【考点】ME：切线的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】⑴由BC是。。的直径，得到NBAF+NFAC=90。，等量代换得到ND+N

AOD=90。，于是得到结论；

(2)连接BF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：(1)：BC是。。的直径，

/.ZBAF+ZFAC=90°,

VZD=ZBAF,ZAOD=ZFAC,

.,.ZD+ZAOD=90°,

/.ZOAD=90°,

AAD是。0的切线；

(2)连接BF,

/.ZFAC=ZAOD,

.'.△ACE^ADCA,

；iAC_AE_CE；

,,庆=OA=AC'

；iAC_AE_2；

5"AC，

.,.AC=AE=V10»

VZCAE=ZCBF,

.♦.△ACEsZXBFE,

•AEBE