2022年中考数学复习 动点最值问题-胡不归

动点最值问题一一胡不归

1.△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若点。是BC边上的动点，则24O+OC的最小值为（）

A.4B.A/3+3C.6D.273+3

对角线0B的长为4娓,P为0B上一动点，则AP+返。户的最小值为

2.如图所示，菱形ABC。的边长为5,

5

()

0CX

A.4B.5C.2加D.3巡

=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则PB+叵PD的最小值等于（）

3.如图，12ABe。中，ZDAB=60°,AB

2

DP_________C

/\/

AB

A.V3B.3C.3&D.2+273

4.如图，团ABC。中，N£)AB=30°,AE1=6,BC=2,P为边C£＞上的一动点，则P8+2PO的最小值等于（）

2

DPC

AB

A.2B.4C.3D.5

LAC于点E,AE=2爬,。是线段BE上的一个动点，贝ljCD+返的最

5.如图，△ABC中，AB=AC=\O,BE.

5

小值是（)

C.10D.既

6.已知等边△ABC中AO_LBC,AD=12,若点P在线段AO上运动，当［AP+BP的值最小时，AP的长为（）

2

A.4B.8C.10D.12

7.如图，ZSABC中，48=AC=10,/A=45°,是△ABC的边4c上的高，点P是80上动点，则上■BP+CP

的最小值是（）

B.572C.10D.1072

8.如图.在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0,3«）,点C坐标为（2,0）,点B为线段OA上一个动点,

贝让A8+8C的最小值为（）

2

A

B.5C.3巡

9.如图，在△ABC中，ZA=\5°,A8=10,P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP,AP+PB

的最小值是（）

』

A.572c10D.8

3

10.如图，△ABC中，AB=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于点E,D是线段BE上的一个动点，则CD+恒BD的最

5

小值是（）

C.5遮D.10

11.如图，A8CO中，ND48=60°,A8=6,8C=1,P为边CD上的一动点，则尸8+返产。的最小值等于

2

D

B

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点用若定点P的坐标为（0,

6«）,点。是y轴上任意一点，则/PQ+QB的最小值为

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,8c=6.点。是在边8c上的动点，则ZsO+AO的最小值是

3

14.如图，E1ABC。中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,P为边CD上的一动点，则的最小值等于

2

15.如图，菱形ABC。的边长为6,NB=120°.点尸是对角线AC上一点（不与端点A重合），则lAP+尸力的最

2

小值为.

B

16.如图，△ABC中，AB=AC=IO,tanA-3,CDJ_4B于点。，点E是线段CD的一个动点，则8E+且°CE的

10

最小值是.

17.如图，二次函数y=-7+2x+3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点。，若点

P为y轴上的一个动点，连接PD,则考■PC+P。的最小值为.

18.在平面直角坐标系中，已知，A（2、历，0）,C（0,-1）,若尸为线段04上一动点，则CP+LAP的最小值

3

为

练习:

1.如图，在△A8C中，ZA=90°,ZB=60°,A8=2,若。是BC边上的动点，则2AO+OC的最小值是（）

BC

A.2yf^-6B.6C.V3+3D.4

2.如图，在△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC边上一动点，则A£>+」£>C的最小值为（）

2

A.2"\/3+6B.6C.“+3D.3

3.如图在△ABC中.NB=45°.AB=4.点P为直线BC上一点.当BP+2Ap有最小值时，NBAP的度数为

4.如图，回ABC。中，/D4B=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则尸8+出9的最小值等于

2

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+2心的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B,P点为该抛

物线对称轴上一点，则20P+AP的最小值为

动点最值问题一一胡不归（有答案）

1.△ABC中，ZA=90°,/B=60°,AB=2,若点。是边上的动点，则2AO+OC的最小值为（）

A.4B.V3+3C.6D.273+3

【解答】解：过点C作射线CE,使NBCE=30°,再过动点。作。FLCE,垂足为点F,连接A。，如图所示:

：：

在Rt^OFC中，ZDCF=30°,.DF^^DC,2AO+OC=2(AD+^DC)=2CAD+DF),

22

...当A,D,尸在同一直线上，即AFJ_CE时，4。+力尸的值最小，最小值等于垂线段4尸的长,

此时，/B=NAO8=60°,.•.△A3。是等边三角形，：.AD^BD=AB=2,

在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=2,：,BC=4,：.DC=2,：.DF=^DC=\,

2

：.AF=AD+DF=2+\=3,：.2(AD+DF)=2AF=6,；.2AD+DC的最小值为6,故选：C.

2.如图所示，菱形ABCO的边长为5,对角线0B的长为4娓,P为0B上一动点，则AP+^OP的最小值为

5

)

【解答】解：如图，过点A作于点H,过点尸作尸尸，0C于点F,连接AC交08于点J.

:四边形0A8C是菱形，...ACLOB,.•.OJuJBuZ泥，0/=<℃2一。j2=在'-（2后））=而

:.AC=2CJ=2娓,\"AHLOC,：.OC*AH^—*OB*AC,；.AH=2X当&必医=4,

225

.♦.sinNPOF=^="=返，:.PF=^OP,：.AP+^-OP=AP+PF,

OPOC555

•：AP+PF^AH,；.AP+迤•0P>4,.•.AP+匹0P的最小值为4,故选：A.

55

3.如图，回ABCO中，/D4B=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则依+但j。的最小值等于（）

2

【解答】解：如图，过点P作尸交AQ的延长线于点E,

'CAB//CD,：.ZEDP=-ZDAB=f)Oa,：.sinZEDP=^-^^.,：.EP=®PD

DP22

:.PB+叵PD=PB+PE,；.当点8,点P,点E三点共线且BELA力时，PB+PE有最小值，即最小值为BE,

2

•；sinN4=^=返，:.BE=3g故选：C.

AB2

4.如图，团A8C。中，ND48=30°,AB=6,BC=2,P为边C。上的一动点，则PB+』P£＞的最小值等于（）

2

A.2B.4C.3D.5

【解答】解：作PQLA。的延长线于Q,作的延长线于凡

VSABCD,J.AB//CD,：.ZQDC=ZA,VZDAB=30°,：.ZQDC=30°,.♦.史」，

PD2

：.QP=^p,：.PB+^PD=PB+QP,.•.当B、P、Q三点共线时，PB+QP最小,即PB+QP最小为BH,

'：AB=6,的最小值等于3.故选：C.

22

5.如图，/XABC中，AB=AC=10,BELAC于点E,AE=2正,£＞是线段BE上的一个动点，则CD+金B£＞的最

5

BB

A.2V5B.5V3c.10D.4V5

【解答】解：如图，作。H_LAB于"，CM_LAB于M.

•JBELAC,：.ZAEB^90°,：•BE={/=52_曾亚）2=4后

'：AB=AC,BE±AC,CM±AB,：.CM=BE=^（等腰三角形两腰上的高相等），

■:NBHD=NBEA=90°,sinZDBH=,:.DH=在BD,

BDAB55

/.CD+J^-BD=CD+DH,：.CD+DH^CM,：.CD+恒BD>4娓,，CC+在8。的最小值为4旄.

555

故选：D.

6.已知等边△4BC中4OJ_BC,A£>=12,若点P在线段AD上运动，当工AP+8P的值最小时，AP的长为（）

A.4B.8C.10D.12

【解答】解：如图，作BEJ_AC于点E,交AD于点P,「△ABC是等边三角形，ADA.BC,：.ZDAC=30°

.•.PE=24P当BPJ_AC时，上■AP+BPuPE+BP的值最小，此时，AP=2AO=8.故选：B.

223

7.如图，△ABC中，AB=AC=\0,NA=45°,8。是△A8C的边AC上的高，点P是8。上动点,BP+CP

的最小值是（）

D.1072

【解答】解：；N4=45°,BD1AC,：.ZABD=45°.过点P作PE_LAB于点E,由勾股定理得PE=苧BP-

.•.学BP+PC=PE+PC・当C、P、E三点共线，且CE1AB时，乎BP+PC=PE+PC的值最小为CE.

「△ABC中，AB=AC=10,BDLAC,CELAB,由等腰三角形腰上的高相等，：.BD=CE,

在RtZ\AB。中，勇=早=5&=CE.故返BP+PC=PE+PC=CE=5&.故选：B.

V2V22

8.如图.在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0,3«）,点C坐标为（2,0）,点B为线段OA上一个动点,

则的最小值为（

2A8+8C)

2

B.

【解答】解：如图，在x轴上取点。（-3,0）,连接A。,

过8作BELAD于E,过C作CF1AD于F,

•.抽11/。4。=毁=—^=返，ZD/A(9=30°,NADO=60。，：.EB=^AB,:AAB+BC=EB+BC2CF,

0A373322

：CD=OZ)+OC=3=5,.,.CF=CZ)sin60°=-^S,.•.」A8+BC的最小值为故选：A.

222

9.如图，在aABC中，ZA=I5°,4B=10,P为AC边上的一个动点（不与4、C重合），连接8P,则返AP+PB

2

的最小值是（）

「10日

D.8

3

【解答】解：如图，以4P为斜边在AC下方作等腰RtZXAOP,过B作8EJ_A。于E,

VZfi4D=45°,；.sinN如。=更=返，:.DP=®AP,：."H-AP+PB=DP+PBBE,

AP222

...*AP+PB的最小值为5y.故选：B.

：N8AC=15°,；,NBAD=60°,：.BE=ABsin6Qo=5“,

D是线段BE上的一个动点，则CD+&BD的最

10.如图，△ABC中，4B=AC=10,tan4=2,BEJ_AC于点E,

5

小值是（）

【解答】解：如图，作。H_LA8于H,CM_L48于M.

1

"：BEVAC,：.ZA£B=90°,VtanA=^=2,设AE=a,BE=2a,则有：100=/+4/,,\a=2(),

AE

."=27^-2娓（舍弃），：.BE=2a=4疾,

,：AB=AC,BE±AC,CMVAB,：.CM=BE=^（等腰三角形两腰上的高相等）,

；NDBH=NABE,ZBHD=ZBEA,AsinZDB^—=—=^,：.DH=^-BD,：.CD+J^-BD=CD+DH,

BDAB555

:.CD+D心CM,，C£>+逅泥，CD+&BD的最小值为4遍.

55

方法二：作CMJ_AB于M,交BE于点、D,则点。满足题意.通过三角形相似或三角函数证得返BZ）=OM,从

5

而得到CD+金BQ=CM=4泥.故选：B.

5

11.如图，ABC。中，ZDAB=60°,AB=6,BC=\,P为边CO上的一动点，则PB+返PO的最小值等于3

2-

【解答】解：如图，过点P作PELAD,交AZ）的延长线于点E,

a

'：Mi//CD,：.ZEDP=ZDAB=-6Q,：.sinZEDP=^-=J^-,.3返皿PB+叵PD=PB+PE,

DP222

当点B,点P,点E三点共线且BELA。时，P8+PE有最小值，即最小值为BE,

•.•雷必=些=返，.•.8E=3相，故答案为：3M.

AE2

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B.若定点P的坐标为（0,

6f），点。是y轴上任意一点，则*PQ+QB的最小值为二«_.

【解答】解：过点P作直线P。与y轴的夹角/。。。=30°,作8点关于)，轴的对称点8,过点作

交于点E、交y轴于点Q,

VB'ELPD,NOPE=30°,AQE=^PQ,VBQ=B'Q,

：.^PQ+QB=QE+B'Q=B'E,此时上PQ+QB取最小值,

22

：NOPO=30°,ZPOD=90",:.PD=20D,ZODP=60°,•尸的坐标为（0,6«）,；.尸。=6«,

OD2+（673）2=（20。）2,：.OD=6,

•.•直线y=-x+4的图象分别与)，轴和x轴交于点A和点B,(0,4),B(4,0),；.OB=4,

.,.OB'=4,：.B'D^\0,'：B'EVPD,ZODP=60°,/EB'D=30°,：.DE^—B'D^5,

：.B'E^^D2_DE2=^102_52=5V3-，/PQ+QB取最小值为5y，故答案为：5我.

13.如图，在aABC中，ZC=90°,AC=2,BC=6.点。是在边BC上的动点，则2BO+AQ的最小值是4+

_3一

2后

D

【解答】解：过B点作MB1AD交于AD的延长线于点M,

VZC=90°,：.MD=BD'sinZMBD,：.ZMBD=ZDAC,

当sinNC4D=Z时，MD=&BD,此时取最小值,

333

：AC=2,sin/C4£>=Z,8=&氏；.BD=6-

3555

•.•2BO+AO=4+2Z豆，故答案为：4+冬区.

333

14.如图，团ABCD中，ND4B=30°,AB=8,BC=3,尸为边C。上的一动点，则PB+工尸。的最小值等于4.

2

【解答】解：如图过点尸作A力的垂线交4。延长线于点E,

:四边形ABC。是平行四边形，J.AB//CD,.•./EZ)P=/D4B=30°,：.EP^—DP,

2

要求PB+JLPO的最小值，即求P8+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时,

2

PB+EP取最小值，最小值为BE的长,

♦.•在Rt/XABE中，ZEAB=30°,AB=8,：.BE=^AB=4.故答案为：4.

2

15.如图，菱形43CD的边长为6,ZB=120°.点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），贝4AP+P力的最

2

小值为3遥.

【解答】解：如图，过点P作PEJ_AB于点£过点。作。以L4B于点尸，

:四边形ABCD是菱形，且/8=120°,二/D4c=/C4B=30°,...PE=2AP,

2

VZDAF=60°,AZADF=30°,，4尸=工4。=工X6=3,:.DF=3&,

22

'：^AP+PD=PE+PD,...当点。，P,E三点共线且力EJ_AB时，PE+DP的值最小，最小值为。尸的长,

2

.•./AP+PQ的最小值为3T.故答案为：3

16.如图，ZVIBC中，AB=AC=10,tanA=3,CC_LAB于点。，点E是线段CO的一个动点，则BE+YIOcE的

10

最小值是_3万_.

【解答】解：如图，作EF_LAC于尸，

'：CDLAB,：.ZADC=9O0,VtanA=-^,=3，设4O=a,CD=3a,'：AD1+Cb1=AC2,.\a2+9a2=100,

ADJ

.,.“2=10,.,.a=<yi5或-A/15（舍去），-,•AD-a—y[lQ,CD=3a—3>flQ,.,.sinZACD=,

EF=CE,sinNECF=^®CE,，BE+J^CE=BE+EF,

1010

当B、E、F三点共线时，BE+J^CE=BE+EF=BF,

此时BFA.AC,则根据垂线段最短性质知BE+IGCEMB尸值最小,

10

此时B尸=48・sin/A=10X型=iox^®=3x/Tii-

ACiU10W1U

17.如图，二次函数y=-f+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点。，若点

P为y轴上的一个动点，连接皿则嚅PC+"的最小值为一争一

【解答】解：y=-/+2x+3--（x-3）（x+1）=-（x-1）2+4,

・•・当x=O时，>=3,当y=O时，x=3或x=l,该函数的对称轴是直线x=1,

・・•二次函数y=-/+2x+3的图象与x轴交于A、3两点，与y轴交于点C对称轴与无轴交于点Q,

・••点A的坐标为（-1,0）,点3的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）,点。的坐标为（1,0）,

连接CD，作AEJ_C。于点E,交y轴于点尸，

；0。=1,OC=3,ZCOD=90°,ACD=JlQ.".sinZOCD=-1==^32,B|JsinZPCE=2^12,

Vio1010

：.PE=^^-PC,•.•点A和点D关于点。对称，...PE+P。的最小值就是AE的长，

10

ZEAD+ZEDA=ZDCO+ZEDA=90°,：.ZEAD^ZDCO,•'•sin/£4。=2^,：.cosZEAD

1010

；4£>=2,；.AE=2X至页=至页，即义迈pc+尸。的最小值为生叵，故答案为：名叵.

1051055

18.在平面直角坐标系中，已知，A(2&,0),C(0,-1),若P为线段OA上一动点，则CP+」AP的最小值为

3

~3~

【解答】解:如图,

D

O

取一点。(0,1),连接AO,作CALLAO于点N,PM_LA£)于点M,在RtZ\AO£>中,

：0A=2&,0P=1ADJ。人2+QD2=3/卧丘2%。，NAMP=NAO£>=90°/\APM^/XADO

APM=AP即n=空...PM=LP,,\PC+1AP=PC+PM

0DAD,13,33

当CP_L4。时，CP+—AP^CP+PM的值最小,最小值为CN的长.

3

'：/\CND^^AOD,/.CN=CD即_2^=2:.CN=®2.所以CP+2AP的最小值为生

AOAD,2723,333

练习:

1.如图，在△ABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC边上的动点，则2AO+QC的最小值是()

D.4

【解答】解：过点C作射线CE,使/BCE=30°,再过动点。作QFLCE,垂足为点F,连接AQ,如图所示:

在RtZiOFC中，NDCF=30°,：.DF=^DC,'：2AD+DC=2(AD+^DC)=2(AD+DF),

22

...当A,D,尸在同一直线上，即AFLCE时，AD+力产的值最小，最小值等于垂线段A尸的长,

此时，N8=NAO8=60°,...△48。是等边三角形，：.AD^BD^AB=2,

在RtZXABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,；.BC=4,.'.DC=2,：.DF=^DC=\,

2

：.AF=AD+DF=^2+\=3,A2(AD+DF)=2AF=6,；.2AD+DC的最小值为6,故选：B.

2.如图，在△ABC中，NA=90°,ZB=60°,AB=2,若。是BC边上一动点，则AD+」DC的最小值为（）

A.2A/^6B.6C.V3+3D.3

【解答】解：过点C作射线CE,使/BCE=30°,再过动点。作。尸，CE,垂足为点凡连接40，如图所示:

在RtaCFC中，NDCF=30°,：.DF=^DC,"：AD+^DC=AD+DF,

22

...当A,D,F在同一直线上，即