2023中考数学分类汇编考点22-勾股定理

2023中考数学试题分类汇编：考点22勾股定理

一.选择题（共7小题）

1.（2023•滨州）在直角三角形中，假设勾为3,股为4,那么弦为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接根据勾股定理求解即可.

【解答】解：•.•在直角三角形中，勾为3,股为4,

弦为石石7=5.

应选：A.

2.（2023•枣庄）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,

AF平分NCAB,交CD于点E,交CB于点F.假设AC=3,AB=5,那么CE的

长为（）

A.-B.—C.—D.-

2335

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,

根据角平分线和对顶角相等得出NCEF=NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似

三角形的判定与性质得出答案.

【解答】解：过点F作FGJ_AB于点G,

VZACB=90°,CD±AB,

/.ZCDA=90o,

NCAF+NCFA=90。，ZFAD+ZAED=90°,

VAF平分NCAB,

，NCAF=NFAD,

，NCFA=NAED=NCEF,

，CE=CF,

：AF平分NCAB,ZACF=ZAGF=90°,

FC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

/.△BFG^ABAC,

•BF_FG

**AB~AC，

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

，BC=4,

...区吗

53

VFC=FG,

...应里

53

解得:FC=1,

即CE的长为I".

应选：A.

3.（2023•泸州）“赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国

古代数学的骄傲.如下图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小

正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边

长为b.假设ab=8,大正方形的面积为25,那么小正方形的边长为（）

A.9B.6C.4D.3

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题

目给出的数据即可求出小正方形的边长.

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

•.•每一个直角三角形的面积为：lab=1x8=4,

.,.4X^-ab+（a-b）2=25,

（a-b）2=25-16=9,

/.a-b=3,

应选：D.

4.（2023•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形

为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后

人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如下图的矩形由两个这样

的图形拼成，假设a=3,b=4,那么该矩形的面积为（）

A.20B.24C.—D.—

42

【分析】欲求矩形的面积，那么求出小正方形的边长即可，由此可设小正方

形的边长为x,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，

解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积.

【解答】解：设小正方形的边长为X,

Va=3,b=4,

2

，AB=3+4=7,

在RtZXABC中,AC2+BC2=AB2,

即（3+x〕2+（x+4）2=72,

整理得，x2+7x-12=0,

解得x=T+产或（舍去），

22

...该矩形的面积=U上回+3）（士叵+4）=24,

22

应选：B.

5.（2023•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是

169,小正方形的面积为49,那么sina-cosa=（）

A.—B.--C.—D.--

13131313

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,

然后根据正弦和余弦的定义即可求sina和cosa的值,进而可求出sina-cosa

的值.

【解答】解：..•小正方形面积为49,大正方形面积为169,

...小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,

在RtZiABC中，AC2+BC2=AB2,

即AC2+（7+AC）2=132,

整理得，AC2+7AC-60=0,

解得AC=5,AC=-12（舍去），

•"­B^VAB^AC^12-

sina=>A,BC^2

cosa==

AB13AB-l3

.,sina.cosa=A.i|7

131313

应选：D.

6.（2023•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作?数书九章?里记载有这

样一道题："问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三

里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为

5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中"里"是我国市制长度单

位，1里=500米，那么该沙田的面积为（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答

案.

【解答】解：•••52+122=132,

.•.三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形,

，这块沙田面积为：5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5]平方千

米）.

应选：A.

7.（2023•东营）如下图，圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂

蚁想要从A处沿圆柱外表爬到对角C处捕食，那么它爬行的最短距离是

（）

A.3V1+KB.3V2C.3v4t兀2D3/2

2

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短,

然后利用勾股定理即可求解.

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为

线段AC的长.

在RtZ\ADC中,ZADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5n,

应选：C.

二.填空题（共8小题）

8.（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）,B[0,3）,以

点A为圆心,AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,那么点C坐标为

1,0）

【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即

可.

【解答】解：•.•点A,B的坐标分别为（4,0）,（0,3）,

OA=4,OB=3,

在RtZ^AOB中，由勾股定理得：AB=^32+42=5»

，AC=AB=5,

A0C=5-4=1,

.•.点c的坐标为（-1,0）,

4

故答案为：（-I,0）,

9.（2023•玉林）如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,

那么AD的取值范围是2VADV8.

【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,作BFLAD于F.解直角三角形

求出AE、AF即可判断；

【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BFLAD于F.

在RtZkABE中,VZE=30°,AB=4,

；.AE=2AB=8,

在Rtz^ABF中，AF=；AB=2,

AAD的取值范围为2VADV8,

故答案为2<ADV8.

10.（2023•襄阳）CD是aABC的边AB上的高，假设CD=«,AD=1,AB=2AC,

那么BC的长为2y或2沂.

【分析】分两种情况：

①当AABC是锐角三角形，如图1,

②当AABC是钝角三角形，如图2,

分别根据勾股定理计算AC和BC即可.

【解答】解：分两种情况：

①当aABC是锐角三角形，如图1,

VCD±AB,

.,.ZCDA=90°,

VCD=>/3>AD=1,

，AC=2,

VAB=2AC,

，AB=4,

ABD=4-1=3,

BC=VCD2+BD2=732+（V3）2=2

②当AABC是钝角三角形，如图2,

同理得：AC=2,AB=4,

•*-BC=7CD2+BD2=7（V3）2+52=2VT；

综上所述，BC的长为2T或2b.

故答案为：2T或2J7.

11.（2023・盐城）如图，在直角^ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q

分别为边BC、AB上的两个动点，假设要使△APQ是等腰三角形且ABPCi是

直角三角形，那么AQ=E^

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ,NQPB=90。时，②

当AQ=PQ,NPQB=90°时；

【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ,NQPB=90。时，设AQ=PQ=x,

,.•PQ〃AC,

.,.△BPQ^ABCA,

•BQ_PQ

••就一而，

•10~x_x

**io=T

②当AQ=PQ,NPQB=90°时，设AQ=PQ=y.

VABQP^ABCA,

•PQ_BQ

AC"BC，

.y_10-y

••-=»

68

.30

-V=~

综上所述，满足条件的AQ的值为学或等•.

47

12.（2023•黔南州）如图，在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE

交于点F,且NBAC=45。，BD=6,CD=4,那么AABC的面积为60.

【分析】首先证明4AEF四△BEC,推出AF=BC=10,设DF=x.由AADCs4

BDF,推出黑=整，构建方程求出x即可解决问题；

DCDr

【解答】解：VAD±BC,BE±AC,AZAEF=ZBEC=ZBDF=90°,

VZBAC=45°,

；.AE=EB,

VZEAF+ZC=90°,ZCBE+ZC=90°,

，NEAF=NCBE,

6

.♦.△AEF之△BEC,

.*.AF=BC=10,设DF=x.

VAADC^ABDF,

.ADBD

••-,

DCDF

・10+x6

■,—:-=一，

4x

整理得x2+10x-24=0,

解得x=2或-12（舍弃），

/.AD=AF+DF=12,

，

..SAABC=y*BC»AD=yX10X12=60.

故答案为60.

13.（2023•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、

CD上，假设AE=泥，ZEAF=45",那么AF的长为生里.

【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,那

么NF=«x,再利用矩形的性质和条件证明△AMEsaFNA,利用相似三角形

的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定

理即可求出AF的长.

【解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,

・••四边形ABCD是矩形，

/.ZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,

.*.NF=V2X,AN=4-x,

VAB=2,

.\AM=BM=1,

VAE=V5，AB=2,

/.BE=1,

•*-ME=VBM2+BE2=V2»

VZEAF=45°,

/.ZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

NMEA=NNAF,

.,.△AME^AFNA,

.AM__ME

*'FN^AN，

.1一&

•,y[2x4-x，

解得：x=（，

•*,AF=VAD2+DF2=4>^-

J

故答案为：

14.（2023•湘潭）？九章算术?是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股〃

章中记载了一道“折竹抵地"问题："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，

问折者高几何？"翻译成数学问题是：如下图，4ABC中，NACB=90。，

AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=x,那么可列方程为x?+32=（10

-x）2.

【分析】设AC=x,可知AB=10-x,再根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：设AC=x,

VAC+AB=10,

.*.AB=10-x.

在RtAABC中，ZACB=90°,

.,.AC2+BC2=AB2,即X2+32=（10-x）2.

故答案为：x2+32=（10-x）2.

15.（2023•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在

杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯

上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离

为20cm（杯壁厚度不计）.

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A\根据两点之间线段

最短可知AB的长度即为所求.

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点AS

连接A，B,那么A，B即为最短距离，A,B=^/D2+BD2=V162+122=2°（cm）.

故答案为20.

三.解答题（共2小题）

16.（2023•杭州）如图，在ZkABC中,ZACB=90°,以点B为圆心，BC长为

半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC

8

于点E,连结CD.

(1)假设NA=28。，求NACD的度数.

(2)设BC=a,AC=b.

①线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由.

②假设AD=EC,求号的值.

b

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出NB,根据等腰三角形的性质求出

NBCD,计算即可；

(2)①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比拟即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可.

【解答】解：(1)VZACB=90°,ZA=28°,

：.ZB=62°,

VBD=BC,

AZBCD=ZBDC=59°,

AZACD=90°-ZBCD=31"；

(2)①由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=^2^2,

.,.AD=7a2+b2-a»

2222

解方程x+2ax-b=0得，x=-2a±V4a+4b=±4可-a,

线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根；

②•.•AD=AE,

，AE=EC=?,

2

由勾股定理得，a2