函数的定义与性质

汇报人:XX2024-02-04函数的定义与性质目录CONTENCT函数的基本概念函数的性质函数的运算函数的极限与连续函数的导数与微分函数的积分01函数的基本概念传统定义近代定义函数的定义函数是数学中的一种关系，它使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称f：A-->B为从集合A到集合B的一个函数。解析法列表法图象法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。列出部分自变量与函数的对应关系。以图象的形式表示函数与自变量之间的关系。函数的表示方法函数自变量的取值范围，通常表示为D。定义域函数因变量的取值范围，通常表示为f(D)或R(f)。值域函数的值域与定义域80%80%100%函数的图像在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描点得到的所有点的集合就是该函数的图象。直观地显示函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。通过描点法、图象变换法等绘制函数图像。函数图像的概念函数图像的作用函数图像的绘制02函数的性质单调递增单调递减单调区间函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在其定义域内任取两个数x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在定义域内单调递减。如果函数y=f(x)在某个区间I上单调递增或单调递减，则称I为该函数的一个单调区间。对于函数y=f(x)，如果在其定义域内任取两个数x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在定义域内单调递增。对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。奇函数偶函数非奇非偶函数对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数。如果函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数，则称其为非奇非偶函数。030201函数的奇偶性周期函数对于函数y=f(x)，如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，T为其一个周期。最小正周期对于周期函数y=f(x)，其所有周期中的最小正数称为该函数的最小正周期。函数的周期性上界和下界如果函数y=f(x)在其定义域内被一个数M所界定，即对于定义域内的任意x，都有f(x)≤M（或f(x)≥-M），则称M为该函数的一个上界（或下界）。有界函数对于函数y=f(x)，如果在其定义域内存在一个正数M，使得对于定义域内的任意x，都有|f(x)|≤M，则称该函数为有界函数。无界函数如果函数y=f(x)不是有界函数，则称其为无界函数。函数的有界性03函数的运算加法运算减法运算乘法运算除法运算函数的四则运算对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的和为y=f(x)+g(x)。对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的差为y=f(x)-g(x)。对于同一自变量x，两个函数y=f(x)和y=g(x)的积为y=f(x)×g(x)。对于同一自变量x（g(x)≠0），两个函数y=f(x)和y=g(x)的商为y=f(x)/g(x)。函数的复合运算复合函数的定义设y=f(u)的定义域为D，值域为M，函数u=g(x)的定义域为Dₓ，值域为Mₓ，如果Mₓ∩D≠∅，那么对于Mₓ∩D内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为：y=f[g(x)]。复合函数的运算顺序由内向外，先计算内层函数g(x)的值，再将其代入外层函数f(u)中计算得到y的值。反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把这个函数称为函数y=f(x)的反函数，记为x=f⁻¹(y)。反函数的性质一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。函数的反函数运算01020304平移变换对称变换伸缩变换翻折变换函数的初等变换通过改变函数y=f(x)的解析式中的某些项的系数，使函数的图像在坐标轴方向上压缩或拉伸，得到新的函数图像。以坐标轴或某直线为对称轴，对函数y=f(x)的图像进行对称变换，得到新的函数图像。将函数y=f(x)的图像沿x轴或y轴方向平移，得到新的函数图像。将函数y=f(x)的图像以某条直线为对称轴进行翻折，得到新的函数图像。04函数的极限与连续03极限的性质与运算法则包括极限的唯一性、有界性、保号性等，以及极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则。01自变量趋于有限值时函数的极限阐述当自变量趋近于某个有限值时，函数值的变化趋势和最终趋近的值。02自变量趋于无穷大时函数的极限描述当自变量趋近于正无穷或负无穷时，函数值的变化趋势和极限状态。函数的极限概念给出函数在某一点或某一区间内连续的定义，即函数值的变化量在自变量的变化量趋于零时也趋于零。连续性的定义包括连续函数的局部性质（如局部有界性、局部保号性）和整体性质（如介值定理、最大值和最小值定理）。连续函数的性质说明基本初等函数在其定义域内是连续的，以及由基本初等函数经过有限次四则运算和复合得到的初等函数也是连续的。初等函数的连续性函数的连续性

函数的间断点间断点的分类根据函数在间断点处的左右极限是否存在以及是否相等，将间断点分为第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点。间断点的判断方法通过计算函数在间断点处的左右极限，判断间断点的类型和位置。间断点的影响说明间断点对函数的整体性质和局部性质可能产生的影响，如影响函数的可积性、可导性等。有界性定理闭区间上的连续函数一定是有界的。最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定能够取到其最大值和最小值。介值定理如果函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，那么它在该闭区间内至少取得一次介于这两个值之间的所有值。这些性质是闭区间上连续函数的重要特征，也是数学分析和实际问题中常用的工具。闭区间上连续函数的性质05函数的导数与微分导数描述了函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。导数的定义导数在几何上表示函数图像在某一点处的切线的斜率。导数的几何意义若函数在某点可导，则该函数在该点必定连续；但连续不一定可导。可导与连续的关系导数的概念基本初等函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。导数的四则运算法则和、差、积、商的导数计算公式。复合函数的导数链式法则，用于计算复合函数的导数。隐函数与参数方程的导数通过隐函数求导法则和参数方程求导法则计算导数。导数的计算123微分是函数改变量的线性部分，即在一个数集中，当一个数靠近时，函数在这个数处的极限被称为函数在该处的微分。微分的定义微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的增量。微分的几何意义在一元函数中，可导与可微等价；但在多元函数中，可微一定可导，可导不一定可微。可微与可导的关系微分的概念利用微分可以进行函数的近似计算，如求函数的近似值、求根等。微分在数值计算中的应用通过微分可以估计测量误差对计算结果的影响。微分在误差估计中的应用利用微分可以求解函数的极值，进而求解最优化问题。微分在最优化中的应用微分在近似计算中的应用06函数的积分不定积分是微分的逆运算对于给定的函数f(x)，其不定积分∫f(x)dx表示f(x)的原函数或反导数。不定积分与微分的关系若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x)=f(x)，且∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是任意常数。不定积分的几何意义不定积分∫f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的面积函数的导数。不定积分的概念030201基本积分公式熟练掌握基本初等函数的积分公式，如∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C等。换元积分法通过变量代换将复杂的不定积分转化为基本积分形式进行计算。分部积分法将复杂的不定积分分解为两个或更多个较为简单的积分进行计算。不定积分的计算对于给定的函数f(x)在区间[a,b]上的定积分∫_a^bf(x)dx表示在[a,b]上f(x)与x轴所围成的面积。定积分是特殊和式的极限若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则∫_a^bf(x)dx存在且唯一。定积分的存在性定积分具有线性性、可加性、区间可加性等基本性质。定积分的性质定积