数学人教A版必修3模块综合测试

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(D)A．0.95 B．0.7C．0.35 D．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.2．已知样本3,5,7,4,6，则该样本的标准差为(B)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2解析：∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，∴s＝eq\r(\f(1,5)×[3－52＋…＋6－52])＝eq\r(\f(1,5)×4＋0＋4＋1＋1)＝eq\r(2).3．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[15,20]内的频数为(B)A．20 B．30C．40 D．50解析：样本落在[15,20]内的频率是1－5(0.04＋0.1)＝0.3，则样本落在[15,20]内的频数为0.3×100＝30.4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是(A)A．19,15 B．15,19C．25,22 D．22,25解析：由茎叶图及中位数的定义可以得到甲、乙两名运动员得分的中位数分别是19,15，故选A．5．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为(D)A．1000,0.50 B．800,0.50C．800,0.60 D．1000,0.60解析：第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为eq\f(400,0.40)＝1000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.6．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是eq\f(1,6)，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a，b时，则满足a<|b2－2a|<eq\f(10,a)的概率为(B)A．eq\f(1,18) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,6)解析：∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论．若a＝1时，b＝2或3；若a＝2时，b＝1，∴共有3种情况满足条件，∴概率为P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).7．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如图)．s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是(C)A．s1>s2 B．s1＝s2C．s1<s2 D．不确定解析：由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.则eq\x\to(x)甲＝84，eq\x\to(x)乙＝84，则s1＝eq\r(\f(1,5)[78－842＋…＋92－842])＝eq\r(22)，同理s2＝eq\r(62)，故s1<s2，所以选C．8．某考察团对全国10大城市职工人均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.66x＋1.562(单位：千元)．若某城市居民消费为7.675千元，由此可估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为(D)A．66% B．72.3%C．67.3% D．83%解析：把eq\o(y,\s\up6(^))＝7.675代入方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.66x＋1.562，解得x≈9.262，则所求百分比≈eq\f(7.675,9.262)≈83%.9．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一人当组长，则其中女生小丽当选为组长的概率是(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)解析：共5个基本事件，小丽当选为组长是其中一个基本事件，故其概率为eq\f(1,5).10．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)解析：记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a>b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).11．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率为(B)A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(4,5)解析：任取两个小球，所有可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5或7的情况有：(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)共4种，所以所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).12．某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间(分钟)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数25501555公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额y(元)与乘车时间t(分钟)的关系是y＝200＋40eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))，其中eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))表示不超过eq\f(t,20)的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为(D)A．0.5 B．0.7C．0.8 D．0.9解析：由题意知y≤300，即200＋40eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))≤300，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t,20)))≤2.5，解得0≤t<60，由表可知t∈[0,60)的人数为90人，故所求概率为eq\f(90,100)＝0.9.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为1.解析：甲组中应抽取的城市数为eq\f(6,24)×4＝1(个)．14．下图是样本容量为200的频率分布直方图，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的概率约为0.4.解析：在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以，其频数为200×0.32＝64.落在[2,10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.15．利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n>13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(13,37).解析：由题意得eq\f(13－1,n－1)＝eq\f(1,3)，∴n＝37，∴在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(13,37).16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量x(千件)2356成本y(万元)78912由表中数据得到的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为14.5万元．解析：由表中数据得eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝9，代入回归直线方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝4.6，∴当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1×9＋4.6＝14.5.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00mm，试求这批球的直径误差不超过0.03mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合计1001频率分布直方图如图．(2)误差不超过0.03mm，即直径落在[39.97,40.03]范围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．18．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，eq\x\to(x)＝eq\f(25,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(250,5)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380.于是可得：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5；eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.(3)据上面求得的回归直线方程，当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)．所以当广告费支出10百万元时，销售额约为82.5百万元．19．(12分)青少年“心理健康”问题引起社会关注，希望中学对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率[50.5,60.5)20.04[60.5,70.5)80.1610[80.5,90.5)[90.5,100.5]140.28合计1.00(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图．(2)在频率分布直方图中，求梯形ABCD的面积．(3)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人？解：(1)第1列的空填[70.5,80.5)；第2列的空从上到下依次为16,50；第3列的空从上到下依次填0.20,0.32.补图：(2)梯形ABCD的面积实为分布在[70.5,90.5)的频率的值．所以其面积为0.20＋0.32＝0.52.(3)由频率分布表可知，所抽样本中成绩优秀者的频率为0.28.所以可以估计该校成绩优秀者的频率为0.28，即成绩优秀的人数为0.28×600＝168.20．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，b)，(eq\x\to(a)，b)，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，b)其中a，eq\x\to(a)分别表示甲组研发成功和失败；b，eq\x\to(b)分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3)；方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×10＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×5))＝eq\f(2,9).乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为eq\x\to(x)乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)；方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))2×9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))2×6))＝eq\f(6,25).因为eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，共7个．故事件E发生的频率为eq\f(7,15).将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝eq\f(7,15).21．(12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq\f(5,39)，求x、y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为eq\f(7,10).(2)依题意得：eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴eq\f(48,80＋x)＝e