第3章 正弦电路稳态分析

电路分析基础Ⅰ2012年8月本章研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路(渐近稳定电路)通常称为正弦电路或正弦稳态电路。第3章正弦电路分析正弦稳态分析的重要性在于：正弦信号是最基本的信号，它容易产生、加工和传输；(2)很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。(3)用相量法分析正弦稳态十分有效。(4)已知电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。分析正弦稳态的有效方法——相量法。正弦量的基本特征及相量表示法KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式阻抗串、并联电路的分析计算正弦电路的有功功率和功率因数学习要点第3章正弦电路分析第3章正弦电路分析3.1正弦量的基本概念及其相量表示法3.2KCL、KVL及元件伏安关系的相量形式3.3阻抗与导纳3.4

正弦交流电路的一般分析方法3.5

正弦电路的功率交流电的概念(P205-208)如果电流或电压每经过一定时间（T

）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)TutuTt3.1正弦量的基本概念如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。

正弦交流电路ti表达式为：正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向，然后才能用数学表达式来描述。实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反ti正弦交流电的正方向iuR用小写字母表示交流瞬时值3.1.1正弦波的特征量

i ：

电流幅值（最大值）

：

角频率（弧度/秒）：

初相角特征量:为正弦电流的最大值正弦波特征量之一

--幅度

在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。最大值电量名称必须大写,下标加m。如：Um、Im则有（均方根值）可得当

时，交流直流热效应相当有效值电量必须大写，如：U、I有效值概念交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值可得当

时，i=2Isin(t+)i可写为：同理:u=Umsin(t+)2mUU=u=2Usin(t+)u可写为：问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V

若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压

描述变化周期的几种方法

1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒，毫秒..正弦波特征量之二

--角频率3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹，千赫兹

...iT正弦波特征量之三

--初相位：

t=0

时的相位，称为初相位或初相角。说明：

给出了观察正弦波的起点或参考点，常用于描述多个正弦波相互间的关系。i：正弦波的相位角或相位()()2121

jjjwjw

j-=+-+=tt

两个同频率正弦量间的相位差(初相差)

t>0=0<0两种正弦信号的相位关系同相位落后于相位落后领先于相位领先相位差为0与同相位可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。如：结论:

因角频率（

）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变例幅度：已知：频率：初相位：A21

jj

j-=90

-（-90

）=180

=()()2211

sin

sinw90

w-=+

=tIitIimm90

如果相位差为+180

或-180,称为两波形反相例

试求正弦量的振幅Fm、初相

与频率f

。解：将正弦量表达式化为基本形式：所以Fm=10，

=5/6rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3.1.2正弦波的相量表示方法（P208-211）

瞬时值表达式

相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

波形图i正弦波的表示方法：重点相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。

概念

：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。正弦波的相量表示法矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω

像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数就叫做正弦量的相量。相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，只能用箭头符号表示相对应的关系：可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量(复常数)来表示。正弦量相量有效值1.描述正弦量的有向线段称为相量

(phasor)。若其幅度用最大值表示，则用符号：最大值相量的书写方式2.在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：mUmIUI

3.相量符号U、I

包含幅度与相位信息。mUU或一般地：可以任意选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量；但选用有效值相量更为普遍些。在没有特指的情况下，指的是有效值相量。相量：用复平面(二维空间)中的复常数表示正弦量的振幅或有效值、初相。以正弦电压为例：相量图：在复平面上可用一个矢量表示相量。为了形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。这样，把相量在复平面上表示出来构成的图称为相量图。参考相量：假设为零相位的相量。画几个同频率正弦量的相量图时，可选择某一相量作为参考相量先画出，再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。参考相量的位置可根据需要，任意选择。正弦波的相量表示法举例例1：将u1、u2

用相量图表示

相位：幅度：相量大小设：U1U2相位哪一个领先？哪一个落后？U2U1领先于同频率正弦波的相量画在一起，构成相量图。例2：同频率正弦波相加--平行四边形法则U2U1Uu=u1+u2=()2221

sin2

jw+==tUu()11

sin2jw+tUu()

sin2jw+tU21UUU+=U2U1U–

=

=180º–

用余弦定理求U：U2=U12+U22–2U1U2cos

U2U1U

用正弦定理求

角：sin

UU2sin

==

1+

()

sin2jw+tUu=新问题提出：平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。相量

复数表示法复数运算相量的复数表示（P202-205）将相量放到复平面上，可如下表示：Uab+1UjjsincosjUUjbaU+=+=a、b分别为U在实轴和虚轴上的投影欧拉公式jÐÞUj=eUj代数式

指数式

极坐标形式

jj+=+=jUjbaU)sin(cosab+1U设a、b为正实数jjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限jjeUjbaU=-=jjeUjbaU=+-=在第二象限jjeUjbaU=--=在第三象限在一、二象限，一般取值：180°0°在三、四象限，一般取值：0°-180°+1U1

1=60°

2=120°U2U3

3=-120°计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例：相量的复数运算1.复数加、减运算222111jbaUjbaU+=+=设：jjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121则：2.复数乘、除法运算)(212121jj+==jeAAAAA乘法：212211jjjjeAAeAA==设：()212121jj-=jeAAAA除法：复数符号法应用举例例1:已知瞬时值，求相量。已知:

求：

i

、u

的相量解：A506.86301003024.141jI+=Ð=Ð=ooV5.190110602206021.311jU-=-Ð=-Ð=oo求：例2：已知相量，求瞬时值。解：已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量形式为：A10A601003021oojeII=-Ð=例题：P205

8-1P2108-2作业：P217

8-1、8-2、8-3、8-4、8-5波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法

TijjÐÞ=+=UeUjbaUjUI符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”U最大值

---大写+下标一.

电阻电路P211-212、P233-234

uiR根据

欧姆定律

设则3.1.3单一参数的正弦交流电路tItRURuitUuwwwsin2sin2sin2====1.频率相同2.相位相同3.

有效值关系：电阻电路中电流、电压的关系4.

相量关系o0Ð=UURIU=UI5.相量图o0Ð=IIo0Ð=UUo0Ð=IRRI=电阻电路中的功率P233-234

uiR1.瞬时功率

p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写=2UIsin2t2.（耗能元件）结论：1.随时间变化ωtuipωt电阻的瞬时功率波形图p=2UIsin2t2.平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值

大写

uiRP=UIU=IR=I2R=U2/R二.电感电路P213

基本关系式：设cos2==tLIdtdiLuww则iuL)90sin(2o+=tUw)90sin(2o+=tIwXL电感电路中电流、电压的关系

1.频率相同

2.相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）)90sin(2o+=tUuwiu设：其中：

U=IXL，XL=

L3.有效值感抗（Ω）定义：4.相量关系o0Ð=II设：oo9090Ð=Ð=IUUXLÐo0=IjXL或

I=U/jXL5.相量图o0Ð=IIo90Ð=UUU=IjXL

I=U/jXL复数符号：有效值：

I=U/XLUI电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息()LXjIU=电感电路中的功率P2341.瞬时功率

p

：iuL储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程uiuiuiui+PP>0uiiuL电压电流实际方向p为正弦波，频率加倍

2.平均功率

P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）3.无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。基本关系式:设：三、电容电路P213-216uiC则：

1.频率相同2.相位相差90°

（i

领先u90°

）电容电路中电流、电压的关系iu3.有效值或容抗（Ω）定义：I则：

4.相量关系设：则：电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息领先！电容电路中的功率P234ui1.瞬时功率p充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωt

2.平均功率P瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3.无功功率Q（电容性无功功率取负值）单位：var，乏1.单一参数电路中的基本关系电路参数基本关系复阻抗L复阻抗电路参数基本关系C电路参数R基本关系复阻抗小结在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。3.1.4单一参数电路中复数形式的欧姆定律

电阻电路电感电路电容电路复数形式的欧姆定律单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图（正方向）复数阻抗电压、电流关系瞬时值有效值相量图相量式功率有功功率无功功率Riu设则u、i

同相0LiuCiu设则设则u领先i90°u落后i90°00基本关系电路中全部电流都具有同一频率ω，则可用振幅相量或有效值相量表示：KCL:3.2KCL、KVL的相量形式P211-212相量形式的KCL定律：对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点，流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零。1流出节点的电流取“+”号，流入节点的电流取“-”号。2流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况下:注意：例5

已知试求电流i(t)及其有效值相量。解：根据图(a)电路的时域模型，得图(b)所示的相量模型——将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。ii1i2(a)iS(b)列图(b)相量模型中节点1的KCL方程，由此可得则：相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否基本正确。有效值相量ÍÍ2Í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。相量形式为：1与回路绕行方向相同的电压取”+”号，相反的电压取”-”号。2沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说注意例6

求uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知

解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-图(b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得时间表达式各相量的关系如右图+1j例7

图示电路，已知求:u1(t),u2(t),u(t)及有效值相量。解：相量模型如图(b)，根据相量形式的KCL求电流相量根据相量形式的VCR，得：根据相量形式的KVL，得到时域表达式相量图如图(c)所示。(串联电路选取电流为参考相量)例8

电路如图(a)所示,已知解:相量模型如图(b),电压相量根据RLC元件相量形式的VCR方程求电流。求：

i1(t),i2(t),i(t)及其有效值相量。相量形式的KCL，得到时域表达式：相量图如图(c)所示。(并联电路选取电压为参考相量)总结：电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系一.电阻相量形式：uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系：u,i同相相量模型R+-相量关系时域频域j

L相量模型+-有效值关系

U=wLI相位关系u超前

i90°相量图二.电感i(t)u

(t)L+-时域模型

tu,iu

i0波形图感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。wXLXL=U/I=L=2fL，单位:欧感抗U=wLI(3)

由于感抗的存在使电流落后电压。错误的写法时域频域有效值关系

I=wCU相位关系i超前u90°相量图

tu,iu

i0波形图二.电容时域模型i

(t)u(t)C+-相量模型+-容抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。容抗I=wCU(3)

由于容抗的存在使电流领先电压。错误的写法w电路定律的相量形式和电路的相量模型一.基尔霍夫定律的相量形式二.电路元件的相量关系三.电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jwL1/jwCR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。一、R、L、C元件VCR的相量关系如下：设电流、电压的参考方向关联，由

3.3

阻抗与导纳P220-226电阻容抗(与

成反比)感抗(成正比)

R、L、C元件电压与电流相量间的关系类似欧姆定律，电压与电流相量之比是一个与时间无关的量(单位：

)阻抗：可得欧姆定律的相量形式：一般无源二端网络N0导纳：显然：N0+-G、C、L元件的导纳以下G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量，它是一个复数。阻抗是复数，实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量，

Z=

u-

i称为阻抗角，阻抗的模

|Z|=U/I一般情况：RX|Z|

Z阻抗三角形：当X>0时，

Z>0，端口电压超前电流，网络呈感性，电抗元件可等效为一个电感；当X<0时，

Z<0，端口电流超前电压，网络呈容性，电抗元件可等效为一个电容；当X=0时，

Z=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。实部G称为电导分量，虚部B称为电纳分量，导纳角

Y=

i-

u=-

Z。GB|Y|

Y导纳三角形：当B>0时，

Y>0，端口电流超前电压，网络呈容性，电纳元件可等效为一个电容；当B<0时，

Y<0，端口电压超前电流，网络呈感性，电纳元件可等效为一个电感；当B=0时，

Y=0，端口电压与电流同相，网络呈电阻性，可等效为一个电阻。无源网络相量模型有两种等效电路，一种是根据阻抗Z=R+jX得到的电阻R与电抗jX串联电路，如图(c)；另一种是根据导纳Y=G+jB得到的电导G与电纳jB的并联，如图(e)。且，一般情况下均为

的函数；阻抗角或导纳角在一、四象限内。由于在一般情况下，注意：n个阻抗串联，等效阻抗为：电流与端口电压相量的关系为阻抗串联和并联等效1、阻抗串联第k个阻抗上的电压与端口电压相量的关系为称为n个阻抗串联时的分压公式。2、导纳并联n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即电压与其端口电流相量的关系为第k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为这是导纳并联时的分流公式。例9求图(a)网络在

=1rad/s和

=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。解：

=1rad/s时的相量模型如图(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效电路如图(c)所示同理，

=2rad/s时的相量模型如图(b)所示，求得等效阻抗为等效电路如图(e)，相应的时域等效电路为一个0.5Ω的电阻与1/3F电容的串联。例10试求等效阻抗和相应的等效电路。解：相量模型如图(b)。设在端口加电流源，用相量形式KVL方程求电压相量等效阻抗为其等效电路如图(c)所示。3分析RLC串联电路相量模型如图(b)所示。等效阻抗其中：当X=XL-XC>0时，

Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感；当X=XL-XC<0时，

Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为R串联电容；

当X=XL-XC=0时，

Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为R。电压三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z例11u(t)=10sin2tV。试求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。

解：相量模型如图(b)所示。等效阻抗相量电流RLC元件上的电压相量时间表达式

各电压电流的相量图如图(c)所示。端口电压u(t)的相位超前于端口电流相位i(t)45°，该RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。4分析GCL并联电路相量模型如图(b)所示。等效导纳当B=BC-BL>0时，

Y>0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为G并联电容；当B=BC-BL<0时，

Y<0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为G并联电感；当B=BC-BL=0时，

Y=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为G

。电流三角形如下：容性BC>BL感性BC<BL

Y

Y例12求:u(t),iR(t),iL(t),iC(t)。已知:解相量模型如图(b)。等效导纳：求相量电压：电流相量时间表达式相量图如图(c)所示。从中看出各电压电流的相量关系，例如端口电流的相位超前于端口电压相位36.9°，RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性作业：P2439-1、9-3例题：P2249-1、9-23.4正弦交流电路的一般分析方法

P227-233将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量法。运用相量法分析正弦交流电路时，直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图一般正弦交流电路的解题步骤3、用复数符号法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。具体步骤如下：例1下图中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的读数解题方法有两种：1.利用复数进行相量运算2.利用相量图求结果AAB

C25

UOC1解法1:利用复数进行相量运算已知：I1=10A、

UAB=100V，则：A读数为10安

求：A、UO的读数即：设：为参考相量，AAB

C25

UOC1UO读数为141伏

求：A、UO的读数已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25

UOC1例2已知：R1、R2、L、C求：各支路电流的大小LCu将电路中的电压电流都用相量表示，并用复数表示相量；电阻电感电容都用复数阻抗表示相量模型原始电路LCu解:节点电位法已知参数：节点方程A由节